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高三理科数学复习教案:圆锥曲线与方程总复习 教案
【】欢迎来到查字典数学网高三数学教案栏目,教案逻 辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。 因此小编在此为您编辑了此文:高三理科数学复习教案:圆 锥曲线与方程总复习教案希望能为您的提供到帮助。 本文题目:高三理科数学复习教案:圆锥曲线与方程总复习 教案 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用; 2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性 质; 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单 几何性质; 4.了解圆锥曲线的简单应用; 5.理解数形结合的思想; 6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 本章重点:1. 椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单 性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程 或曲线的轨迹;4.数形结合的思想,方程的思想,函数的思
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想,坐标法. 本章难点:1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用;2.直 线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系. 圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识 结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现,小 题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基 本技能和基本方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或 压轴题,综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、 逻辑推理等方面的能力. 知识网络 9.1 椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例 1】已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两 焦点的距离分别为 453 和 253,过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的 方程. 【解析】由椭圆的定义知,2a=453+253=25,故 a=5, 由勾股定理得,(453)2-(253)2=4c2,所以 c2=53, b2=a2-c2=103, 故所求方程为 x25+3y210=1 或 3x210+y25=1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但
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是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也 可设椭圆的统一方程形式:mx2+ny2=1(m0,n0 且 m (2)在求椭圆中的 a、b、c 时,经常用到椭圆的定义及解三 角形的知识. 【变式训练 1】已知椭圆 C1 的中心在原点、焦点在 x 轴上, 抛物线 C2 的顶点在原点、焦点在 x 轴上.小明从曲线 C1,C2 上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标 (x,y).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆 C1 上,也不在抛物线 C2 上.小明的记录如下: 据此,可推断椭圆 C1 的方程为 . 【解析】方法一:先将题目中的点描出来,如图,A(-2,2), B(-2,0),C(0,6),D(2,-22),E(22,2),F(3,-23). 通过观察可知道点 F,O,D 可能是抛物线上的点.而 A,C,E 是椭圆上的点,这时正好点 B 既不在椭圆上,也不在抛物线 上. 显然半焦距 b=6,则不妨设椭圆的方程是 x2m+y26=1,则将 点 A(-2,2)代入可得 m=12,故该椭圆的方程是 x212+y26=1. 方法二:欲求椭圆的解析式,我们应先求出抛物线的解析式, 因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些. 不妨设有两点 y21=2px1,①y22=2px2,②y21y22=x1x2, 则可知 B(-2,0),C(0,6)不是抛物线上的点.
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而 D(2,-22),F(3,-23)正好符合. 又因为椭圆的交点在 x 轴上,故 B(-2,0),C(0,6)不 可能 同时出现.故选用 A(-2,2),E(22,2)这两个点代入,可得椭 圆的方程是 x212+y26=1. 题型二 椭圆的几何性质的运用 【例 2】已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点, F1PF2=60. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)设椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1(a0),|PF1|=m, |PF2|=n,在△F1PF2 中, 由余弦定理可知 4c2=m2+n2-2mncos 60, 因为 m+n=2a,所以 m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 所以 4c2=4a2-3mn,即 3mn=4a2-4c2. 又 mn(m+n2)2=a2(当且仅当 m=n 时取等号), 所以 4a2-4c23a2,所以 c2a214, 即 e12,所以 e 的取值范围是[12,1). (2)由(1)知 mn=43b2,所以 =12mnsin 60=33b2, 即△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴 长有关. 【点拨】椭圆中△F1PF2 往往称为焦点三角形,求解有关问 题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时, 要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如
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|PF1||PF2|(|PF1|+|PF2|2)2,|PF1|a-c. 【变式训练 2】已知 P 是椭圆 x225+y29=1 上的一点,Q,R 分别是圆(x+4)2+y2=14 和圆 (x-4)2+y2=14 上的点,则|PQ|+|PR|的最小值是. 【解析】设 F1,F2 为椭圆左、右焦点,则 F1,F2 分别为两 已知圆的圆心, 则|PQ|+|PR|(|PF1|-12)+(|PF2|-12)=|PF1|+|PF2|-1=9. 所以|PQ|+|PR|的最小值为 9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例 3】(2019 全国新课标)设 F1,F2 分别是椭圆 E: x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 |AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=43a. l 的方程为 y=x+c,其中 c=a2-b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组 化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0, 则 x1+x2=-2a2ca2+b2,x1x2=a2(c2-b2)a2+b2. 因为直线 AB 斜率为 1,所以 |AB|=2|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2],
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即 43a=4ab2a2+b2,故 a2=2b2, 所以 E 的离心率 e=ca=a2-b2a=22. (2 )设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知 x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c,y0=x0+c=c3. 由|PA|=|PB|kPN=-1,即 y0+1x0=-1c=3. 从而 a=32,b=3,故 E 的方程为 x218+y29=1. 【变式训练 3】已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a0)的离心率为 e,两 焦点为 F1,F2,抛物线以 F1 为顶点,F2 为焦点,P 为两曲 线的一个交点,若|PF1||PF2|=e,则 e 的值是() A.32 B.33 C.22 D.63 【解析】设 F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0),则椭圆左准线 x=-a2c,抛物线准线为 x= -3c,x0-(-a2c)=x0-(-3c)c2a2=13e=33.故选 B. 总结提高 1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系 数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三 个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定 a、 b 的值(即定量),若定位条件不足应分类讨论,或设方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,mn)求解. 2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹 是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为 常数进行计算推理.
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3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三 角形的几何条件入手,且不可顾此失彼,另外一定要注意椭 圆离心率的范围. 9.2 双曲线 典例精析 题型一 双曲线的定义与标准方程 【例 1】已知动圆 E 与圆 A:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 B: ( x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 E 的轨迹方程. 【解析】设动圆 E 的半径为 r,则由已知|AE|=r+2,|BE|=r-2, 所以|AE|-|BE|=22,又 A(-4,0),B(4,0),所以 |AB|=8,22|AB|. 根据双曲线定义知,点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线 的右支. 因为 a=2,c=4,所以 b2=c2-a2=14, 故点 E 的轨迹方程是 x22-y214=1(x2). 【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条件,结合双曲线定义求解,要特别注意轨迹 是否为双曲线的两支. 【变式训练 1】P 为双曲线 x29-y216=1 的右支上一点,M,N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和 (x-5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为() A.6 B.7 C.8 D.9
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【解析】选 D. 题型二 双曲线几何性质的运用 【例 2】双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为 A,x 轴上有一点 Q(2a,0),若 C 上存在一点 P,使 =0,求此双曲 线离心率的取值范围. 【解析】设 P(x,y),则由 =0,得 APPQ,则 P 在以 AQ 为直 径的圆上, 即 (x-3a2)2+y2=(a2)2,① 又 P 在双曲线上,得 x2a2-y2b2=1,② 由①②消去 y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0, 即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0, 当 x=a 时,P 与 A 重合,不符合题意,舍去; 当 x=2a3-ab2a2+b2 时,满足题意的点 P 存在,需 x=2a3-ab2a2+b2a, 化简得 a22b2,即 3a22c2,ca62, 所以离心率的取值范围是(1,62). 【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立 不等式,是求离心率的取值范围的常用方法. 【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0, b0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是() A.k2-e21 B.k2-e21
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C.e2-k21 D.e2-k21 【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的 斜率 k 只需满足-ba 题型三 有关双曲线的综合问题 【例 3】(2019 广东)已知双曲线 x22-y2=1 的左、右顶点分 别为 A1、A2,点 P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的 两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H(0,h)(h1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有 一个交点,且 l1l2,求 h 的值. 【解析】(1)由题意知|x1|2,A1(-2,0),A2(2,0),则有 直线 A1P 的方程为 y=y1x1+2(x+2),① 直线 A2Q 的方程为 y=-y1x1-2(x-2).② 方法一:联立①②解得交点坐标为 x=2x1,y=2y1x1,即 x1=2x, y1=2yx,③ 则 x0,|x|2. 而点 P(x1,y1)在双曲线 x22-y2=1 上,所以 x212-y21=1. 将③代入上式,整理得所求轨迹 E 的方程为 x22+y2=1,x0 且 x2. 方法二:设点 M(x,y)是 A1P 与 A2Q 的交点,①②得 y2=-y21x21-2(x2-2).③ 又点 P(x1,y1)在双曲线上,因此 x212-y21=1,即 y21=x212-1.
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代入③式整理得 x22+y2=1. 因为点 P,Q 是双曲线上的不同两点,所以它们与点 A1,A2 均不重合.故点 A1 和 A2 均不在轨迹 E 上.过点(0,1)及 A2(2, 0)的直线 l 的方程为 x+2y-2=0. 解方程组 得 x=2,y=0.所以直线 l 与双曲线只有唯一交点 A2. 故轨迹 E 不过点(0,1).同理轨迹 E 也不过点(0,-1). 综上分析,轨迹 E 的方程为 x22+y2=1,x0 且 x2. (2)设过点 H(0,h)的直线为 y=kx+h(h1), 联立 x22+y2=1 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0. 令=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得 h2-1-2k2=0, 解得 k1=h2-12,k2=-h2-12. 由于 l1l2,则 k1k2=-h2-12=-1,故 h=3. 过点 A1,A2 分别引直线 l1,l2 通过 y 轴上的点 H(0,h), 且使 l1l2,因此 A1HA2H,由 h2(-h2)=-1,得 h=2. 此时,l1,l2 的方程分别为 y=x+2 与 y=-x+2, 它们与轨迹 E 分别仅有一个交点(-23,223)与(23,223). 所以,符合条件的 h 的值为 3 或 2. 【变式训练 3】双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点 分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 的直线与双曲线的右支 交于 A,B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三 角形,则 e2 等于()
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A.1+22 B.3+22 C.4-22 D.5-22 【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解. 据题意设|AF1|=x,则|AB|=x,|BF1|=2x. 由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a (|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a,即 x=22a=|AF1|. 故在 Rt△AF1F2 中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2. 又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a,即 4c2-8a2=22-2a, 两边平方整理得 c2=a2(5-22)c2a2=e2=5-22,故选 D. 总结提高 1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几 何性质,但应特别注意不同点,如 a,b,c 的关系、渐近线 等. 2.要深刻理解双曲线的定义,注意其中的隐含条件.当 ||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|时,P 的轨迹是双曲线;当 ||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时,P 的轨迹是以 F1 或 F2 为端点 的射线;当 ||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|时,P 无轨迹. 3.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画 出渐近线,要掌握以下两个问题: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线;
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(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线 y=bax,可将双曲线方程设为 x2a2-y2b2=(0),再利用其他条 件确定的值,求法的实质是待定系数法. 9.3 抛物线 典例精析 题型一 抛物线定义的运用 【例 1】根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点 P(2,-4); (2)抛物线焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A, |AF|=5. 【解析】(1)设方程为 y2=mx 或 x2=ny. 将点 P 坐标代入得 y2=8x 或 x2=-y. (2)设 A(m,-3),所求焦点在 x 轴上的抛物线为 y2=2px(p0), 由定义得 5=|AF|=|m+p2|,又(-3)2=2pm,所以 p=1 或 9, 所求方程为 y2=2x 或 y2=18x. 【变式训练 1】已知 P 是抛物线 y2=2x 上的一点,另一点 A(a,0) (a0)满足|P A|=d,试求 d 的最小值. 【解析】设 P(x0,y0) (x00),则 y20=2x0, 所以 d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1. 因为 a0,x00, 所以当 0
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当 a1 时,此时有 x0=a-1,dmin=2a-1. 题型二 直线与抛物线位置讨论 【例 2】(2019 湖北)已知一条曲线 C 在 y 轴右侧,C 上每一 点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对 于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交 点 A,B 的任一直线,都有 0?若存在,求出 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 【解析】(1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x, y)满足: (x-1)2+y2-x=1(x0). 化简得 y2=4x(x0). (2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1), B(x2,y2). 设 l 的方程为 x=ty+m,由 得 y2-4ty-4m=0, =16(t2+m)0,于是 ① 又 =(x1-1,y1), =(x2-1,y2). (x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y20.② 又 x=y24,于是不等式②等价于 y214y224+y1y2-(y214+y224)+10 (y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+10.③ 由①式,不等式③等价于 m2-6m+14t2.④
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对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+10,即 3-22 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个 交点 A,B 的任一直线,都有 0,且 m 的取值范围是(3-22, 3+22). 【变式训练 2】已知抛物线 y2=4x 的一条弦 AB,A(x1,y1), B(x2,y2),AB 所在直线与 y 轴的交点坐标为(0,2),则 1y1+1y2= . 【解析】 y2-4my+8m=0, 所以 1y1+1y2=y1+y2y1y2=12. 题型三 有关抛物线的综合问题 【例 3】已知抛物线 C:y =2x2,直线 y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)求证:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2)是否存在实数 k 使 =0?若存在,求 k 的值;若不存在,说 明理由. 【解析】(1)证明:如图,设 A(x1,2x21),B(x2,2x22), 把 y=kx+2 代入 y=2x2,得 2x2-kx-2=0, 由韦达定理得 x1+x2=k2,x1x2=-1, 所以 xN=xM=x1+x22=k4,所以点 N 的坐标为(k4,k28). 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y-k28=m(x-k4), 将 y=2x2 代入上式,得 2x2-mx+mk4 -k28=0,
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因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0, 所以 m=k,即 l∥AB. (2)假设存在实数 k,使 =0,则 NANB, 又因为 M 是 AB 的中点,所以|MN|= |AB|. 由(1)知 yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+ 4)=k24+2. 因为 MNx 轴,所以|MN|=|yM-yN|=k24+2-k28=k2+168. 又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2(k2)2-4(-1)=12k2+1k2+16. 所以 k2+168=14k2+1k2+16,解得 k=2. 即存在 k=2,使 =0. 【点拨】直线与抛 物线的位置关系,一般要用到根与系数 的关系;有关抛物线的弦长问题,要注意弦是否过焦点,若 过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦 点,则必须使用一般弦长公式. 【变式训练 3】已知 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=1 的切线,切点分别为 M、N,则|MN|的最 小值是. 【解析】455. 总结提高
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1.在抛物线定义中,焦点 F 不在准线 l 上,这是一个重要的 隐含条件,若 F 在 l 上,则抛物线退化为一条直线. 2.掌握抛物线本身固有的一些性质:(1)顶点、焦点在对称 轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线的距离为 p;(4) 过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为 2p. 3.抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图 形的对应关系.求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线的 类型,可采用待定系数法. 4.抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容 易把握.但由于抛物线的离心率为 1,所以抛物线的焦点有很 多重要性质,而且应用广泛,例如:已知过抛物线 y2=2px(p0) 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,设 A(x1,y1),B(x2, y2),则有下列性质:|AB|=x1+x2+p 或|AB|=2psin2(为 AB 的 倾斜角),y1y2=-p2,x1x2=p24 等. 9.4 直线与圆锥曲线的位置关系 典例精析 题型一 直线与圆锥曲线交点问题 【例 1】若曲线 y2=ax 与直线 y=(a+1)x-1 恰有一个公共点, 求实数 a 的值. 【解析】联立方程组 (1)当 a=0 时,方程组恰有一组解为 (2)当 a0 时,消去 x 得 a+1ay2-y-1=0,
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①若 a+1a=0,即 a=-1,方程变为一元一次方程-y-1=0, 方程组恰有一组解 ②若 a+1a0,即 a-1,令=0,即 1+4(a+1)a=0,解得 a= -45, 这时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上所述,a=0 或 a=-1 或 a=-45. 【点拨】本题设计了一个思维陷阱,即审题中误认为 a0,解 答过程中的失误就是不讨论二次项系数 =0,即 a=-1 的可能 性,从而漏掉两解.本题用代数方法解完后,应从几何上验 证一下:①当 a=0 时,曲线 y2=ax,即直线 y=0,此时与已 知直线 y=x-1 恰有交点(1,0);②当 a=-1 时,直线 y=-1 与抛 物线的对称轴平行,恰有一个交点(代数特征是消元后得到 的一元二次方程中二次项系数为零);③当 a=-45 时直线与抛 物线相切. 【变式训练 1】若直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4 有且只有一 个公共点,则实数 k 的取值范围为() A.{1,-1,52,-52} B.(-,-52][52,+) C.(-,-1][1,+) D.(-,-1)[52,+) 【解析】由 (1-k2)x2-2kx-5=0, k=52,结合直线过定点(0,-1),且渐近线斜率为 1,可知答 案为 A. 题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题 【例 2】(2019 辽宁)设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a0)的右焦点为
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F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜 角为 60, =2 . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=154,求椭圆 C 的方程. 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y10,y20. (1)直线 l 的方程为 y=3(x-c),其中 c=a2-b2. 联立 得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0. 解得 y1=-3b2(c+2a)3a2+b2,y2=-3b2(c-2a)3a2+b2. 因为 =2 ,所以-y1=2y2,即 3b2(c+2a)3a2+b2=2-3b2(c-2a)3a2+b2. 解得离心率 e=ca=23. (2)因为|AB|=1+13|y2-y1|,所以 2343ab23a2+b2=154. 由 ca=23 得 b=53a,所以 54a=154,即 a=3,b=5. 所以椭圆的方程为 x29+y25=1. 【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问 题,以及用待定系数法求椭圆方程. 【变式训练 2】椭圆 ax2+ by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两 点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 32,则 ab 的值为 . 【解析】设直线与椭圆交于 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),弦中点坐标为(x0,y0),代入椭圆方程两式相减 得 a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0
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2ax0+2by0y1-y2x1-x2=0ax0-by0=0. 故 ab=y0x0=32. 题型三 对称问题 【例 3】在抛物线 y2=4x 上存在两个不同的点关于直线 l: y=kx+3 对称,求 k 的取值范围. 【解析】设 A(x1,y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线 l 对 称的两点,由题意知 k0. 设直线 AB 的方程为 y=-1kx+b, 联立 消去 x,得 14ky2+y-b=0, 由题意有=12+414k0,即 bk+10.(*) 且 y1+y2=-4k.又 y1+y22=-1kx1+x22+b.所以 x1+x22=k(2k+b). 故 AB 的中点为 E(k(2k+b),-2k). 因为 l 过 E,所以-2k=k2(2k+b)+3,即 b=-2k-3k2-2k. 代入(*)式,得-2k-3k3-2+1k3+2k+3k30 k(k+1)(k2-k+3)-1 【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1,y1)、B(x2, y2)关于直线 l 对称,则满足直线 l 与 AB 垂 直,且线段 AB 的中点坐标满足 l 的方程; (2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称,求有关参 数的范围问题,利用对称条件求出过这两点的直线方程,利 用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的
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坐标,利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值 范围. 【变式训练 3】已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于 x+y=0 对称 的两点 A,B,则|AB|等于() A.3 B.4 C.32 D.42 【解析】设 AB 方程:y=x+b,代入 y=-x2+3,得 x2+x+b-3=0, 所以 xA+xB=-1,故 AB 中点为(-12,-12+b). 它又在 x+y=0 上,所以 b=1,所以|AB|=32,故选 C. 总结提高 1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别 式方法及弦中点问题的处理方法. 2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程 组的解的讨论,即联立方程组 通过消去 y(也可以消去 x)得到 x 的方程 ax2+bx+c=0 进行讨 论.这时要注意考虑 a=0 和 a0 两种情况,对双曲线和抛物线 而言,一个公共点的情况除 a0,=0 外,直线与双曲线的渐 近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,都只有一个交点 (此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见,直线 与圆锥曲线只有一个公共点,并不是直线与圆锥曲线相切的 充要条件. 3.弦中点问题的处理既可以用判别式法,也可以用点差法; 使用点差法时,要特别注意验证相交的情形.
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9.5 圆锥曲线综合问题 典例精析 题型一 求轨迹方程 【例 1】已知抛物线的方程为 x2=2y,F 是抛物线的焦点,过 点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作抛 物线的两条切线 l1 和 l2,记 l1 和 l2 交于点 M. (1)求证:l1 (2)求点 M 的轨迹方程. 【解析】(1)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程 为 y=kx+12. 联立 消去 y 整理得 x2-2kx-1=0.设 A 的坐标为(x1,y1),B 的坐标为(x2,y2),则有 x1x2=-1,将抛物线方程改写为 y=12x2,求导得 y=x. 所以过点 A 的切线 l1 的斜率是 k1=x1,过点 B 的切线 l2 的 斜率是 k2=x2. 因为 k1k2 =x1x2=-1,所以 l1l2. (2)直线 l1 的方程为 y-y1=k1(x-x1),即 y-x212=x1(x-x1). 同理直线 l2 的方程为 y-x222=x2(x-x2). 联立这两个方程消去 y 得 x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1), 整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0, 注意到 x1x2,所以 x=x1+x22. 此时 y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.
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由(1)知 x1+x2=2k,所以 x=x1+x22=kR. 所以点 M 的轨迹方程是 y=-12. 【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一,本题用的 就是直接法.要注意求轨迹方程和求轨迹是两个不同概念, 求轨迹除了首先要求我们求出方程,还要说明方程轨迹的形 状,这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关 系了如指掌. 【变式训练 1】已知△ABC 的顶点为 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是() A.x29-y216=1 B.x216-y29=1 C.x29-y216=1(x3) D.x216-y29=1(x4) 【解析】如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6, 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 x29-y216=1(x3),故选 C. 题型二 圆锥曲线的有关最值 【例 2】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对 角线 BD 所在直线的斜率为 1.当 ABC=60 时,求菱形 ABCD 面 积的最大值. 【解析】因为四边形 ABCD 为菱形,所以 ACBD. 于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n. 由 得 4x2-6nx+3n2-4=0.
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因为 A,C 在椭圆上,所以=-12n2+640,解得-433 设 A,C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=3n2, x1x2=3n2-44, y1=-x1+n,y2=-x2+n. 所以 y1+y2=n2. 因为四边形 ABCD 为菱形,且 ABC=60,所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S=32|AC|2. 又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162,所以 S=34(-3n2+16) (-433 所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 43. 【点拨】建立目标函数,借助代数方法求最值,要特别注意 自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出 n 的取值范围,虽然也能得出答案,但是得分损失不少. 【变式训练 2】已知抛物线 y=x2-1 上有一定点 B(-1,0)和两 个动点 P、Q,若 BPPQ,则点 Q 横坐标的取值范围是. 【解析】如图,B(-1,0),设 P(xP,x2P-1),Q(xQ,x2Q-1), 由 kBPkPQ=-1,得 x2P-1xP+1x2Q-x2PxQ-xP=-1. 所以 xQ=-xP-1xP-1=-(xP-1)-1xP-1-1. 因为|xP-1+1xP-1|2,所以 xQ1 或 xQ-3. 题型三 求参数的取值范围及最值的综合题 【例 3】(2019 浙江)已知 m1,直线 l:x-my-m22=0,椭圆 C: x2m2+y2=1,F1,F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. (1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程;
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(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,△AF1F2,△BF1F2 的 重心分别为 G,H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实 数 m 的取值范围. 【解析】(1)因为直线 l:x-my-m22=0 经过 F2(m2-1,0), 所以 m2-1=m22,解得 m2=2, 又因为 m1,所以 m=2. 故直线 l 的方程为 x-2y-1=0. (2)A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去 x 得 2y2+my+m24-1=0, 则由=m2-8(m24-1)=-m2+80 知 m28, 且有 y1+y2=-m2,y1y2=m28-12. 由于 F1(-c,0),F2(c,0),故 O 为 F1F2 的中点, 由 =2 , =2 ,得 G(x13,y13),H(x23,y23), |GH|2=(x1-x2)29+(y1-y2)29. 设 M 是 GH 的中点,则 M(x1+x26,y1+y26), 由题意可知,2|MO||GH|,即 4[(x1+x26)2+(y1+y26)2](x1-x2)29+(y1-y2)29, 即 x1x2+y1y20. 而 x1x2+y1y2=(my1+m22)(my2+m22)+y1y2=(m2+1)(m28-12). 所以 m28-120,即 m24. 又因为 m1 且 0,所以 1 所以 m 的取值范围是(1,2).
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【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆、点与 圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力. 【变式训练 3】若双曲线 x2-ay2=1 的右支上存在三点 A、B、 C 使△ABC 为正三角形,其中一个顶点 A 与双曲线右顶点重 合,则 a 的取值范围为 . 【解析】设 B(m,m2-1a),则 C(m,-m2-1a)(m1), 又 A(1,0),由 AB=BC 得(m-1)2+m2-1a=(2m2-1a)2, 所以 a=3m+1m-1=3(1+2m-1)3,即 a 的取值范围为(3,+). 总结提高 1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符 合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几 何条件,用坐标法将其转化为寻求变量间的关系.这类问题 除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算 能力,因此这类问题成为高考命题的热点,也是同学们的一 大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、 代入法、参数法、待定系数法. 2.最值问题的代数解法,是从动态角度去研究解析几何中的 数学问题的主要内容,其解法是设变量、建立目标函数、转 化为求函数的最值.其中,自变量的取值范围由直线和圆锥 曲线的位置关系(即判别式与 0 的关系)确定.
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3.范围问题,主要是根据条件,建立含有参变量的函数关系 式或不等式,然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用 圆锥曲线上点的坐标的取值范围,运用求函数的值域、最值 以及二次方程实根的分布等知识.
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