数列求和专项训练题(学生)


数列求和的常用方法
第一类:公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前 n 和公式: Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2
(q ? 1) (q ? 1)

? na1 ? 2、等比数列前 n 和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ?
自然数方幂和公式: 3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 Sn ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

【例】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 4, n ? N * ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

【练习】已知 log 3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ??? ? x ? ??? 的前 n 项和. log 2 3

第二类:分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 若数列 ?cn ? 的通项公式为 cn ? an ? bn ,其中数列 ?an ? , ?bn ? 分别是等差数列和等比数 列,求和时一般用分组结合法。 【例】数列 1 , 2 ,3 , 4

1 2

1 4

1 8

1 1 ,?, n n ,? 求数列的前 n 项和. 16 2

数列求和的常用方法

1

【练习】数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 2n ?1

第三类:裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 常用的通项分解(裂项)如: (1) an ? f ? n ? 1? ? f ? n ? (2) an ?

1 1 1 ? ? n ? n ? 1? n n ? 1

( an ?

1 1?1 1 ? ? ? ? ?) n?n ? k ? k ? n n ? k ?

(3) an ?

1 ? 1 1 ? ? ?? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1
1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

(4) an ?

(5) an ? log a ?1 ? 【例 1】数列 1,

? ?

1? ? ? log a ? n ? 1? ? log a n n?

1 1 1 , , ?, , ? ,求该数列的前 n 项和. 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? n

数列求和的常用方法

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【例 2】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5, a5 ? a7 ? 22 . (1)求 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an an ?1

【例 3】数列

1 1 1 1 , , ,?, , ? ,求该数列的前 n 项和. 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n?n ? 2?

小结:要先观察通项类型,在裂项求和时候,尤其要注意究竟是像例 1 一样剩下首尾两项, 还是像例 3 一样剩下四项. 【例 4】数列 ?an ? 的通项公式是 an ? A. 11 B. 99

1 ,若前 n 项和为 10,则项数为( n ?1 ? n
D. 121



C. 120

【例 5】数列 ?an ? 的通项公式是 an ? log 2 ?1 ?

? ?

1? ? ,求该数列的前 127 项和. n?

数列求和的常用方法

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第三类:错位相减法求和 这种方法主要用于求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 ( Sn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an ? bn ) , 其中 ?an ? , ?bn ? 分别是等差数列和等比数列. 【例 1】求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . (1) 1? 2, 2 ? 22 ,3 ? 23 , 4 ? 24 ,?, n ? 2n ? (2)

1 2 3 4 n , 2 , 3 , 4 ,? , n ? 2 2 2 2 2

【练习】求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . (1) 1? 2,3? 2 ,5 ? 2 ,7 ? 2 ,?, ? 2n ?1? ? 2 ?
2 3 4 n

(2)

2 4 6 8 2n , 2 , 3 , 4 ,? , n ? 2 2 2 2 2

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4

【例 2】已知数列 {a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 ,设 4 4

bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn .求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn;
4

第四类:合并求和法 针对一些特殊的数列, 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质, 因此在求数列的和时, 可将这些项放在一起求和,然后再求 Sn . 【例】求 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 99 ? 100 的值.
2 2 2 2 2 2 2 2

第五类:倒序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 ? a1 ? an ? 。 【例】若函数 f ? x ? 对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 2 . (1) an ? f ? 0 ? ? f ? 明你的结论; (2)数列 ?

?1? ?2? ? n ?1 ? 数列 ?an ? 是等差数列吗?是证 ? ? f ? ? ??? f ? ? ? f ?1? , ?n? ?n? ? n ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an an ?1 ?

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【例习】求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ??? ? sin 88 ? sin 89 的值.
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

第六类:利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

??? 1 的和 【例】求 1 ? 11 ? 111 ? ??? ? 111 ? ? ?
n个1

数列通项与求和的综合题
1.已知各项均为正数的数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ,
?

有 2S n ? 2 pan ? pan ? p , ? p ? R? .
2

(1)求常数 p 的值; (3)记 bn ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式;

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 T n . n?3

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2.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 , ?bn ? 为等比数列,且 a1 ?1 ? b1, b1 ? a2 ? a1 ? ? b2 , (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn

3.(2013 广东文科)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足
2 4Sn ? an n? 1 n,? N ? 且 , a2 , a5 , a14 构成等比数列. ?1 ? 4

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

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4.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70 ,且 a 2 , a 7 , a22 成 等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ≤Tn ? . 6 8 ? Sn ?

5.(2010·山东高考理科·T18)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an ? 的 前 n 项和为 Sn . (1)求 an 及 Sn ;(2)令 bn ?

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

公司档案管理制度

一、总则?

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1、为加强本公司档案工作,充分发挥档案作用,全面提高档案管理水平,有效地保护及利用档案,为公司发展服务,特

制定本制度。

2、公司档案,是指公司从事经营、管理以及其他各项活动直接形成的对公司有保存价值的各种文字、图表、声像等不同形式的历史记录。公司档案分为受控档案和非受控档案。

3、公文承办部门或承办人员应保证经办文件的系统完整(公文上的各种附件一律不准抽存)。结案后及时归档。工作变动或因故离职时应将经办的文件材料向接办人员交接清楚,不得擅自带走

或销毁。?二、文件材料的收集管理 1、公司指定专人负责文件材料的管理。

2、文件材料的收集由各部门或经办人员负责整理,交总经理审阅后归档。

3、一项工作由几个部门参与办理的,在工作中形成的文件材料,由主办部门或人员收集,交行政部备案。会议文件由行政部收三、归档范围?

1、重要的会议材料,包括会议的通知、报告、决议、总结、典型发言、会议记录等。

2、本公司对外的正式发文与有关单位来往的文书。

3、本公司的各种工作计划、总结、报告、请示、批复、会议记录、统计报表及简报。?

4、本公司与有关单位签订的合同、协议书等文件材料。5、本公司职工劳动、工资、福利方面的文件材料。?

6、本公司的大事记及反映本公司重要活动的剪报、照片、录音、录像等。四、归档要求

1、档案质量总的要求是:遵循文件的形成规律和特点,保持文件之间的有机联系,区别不同的价值,便于保管和利用。?

2、归档的文件材料种数、份数以及每份文件的页数均应齐全完整。

3、在归档的文件材料中,应将每份文件的正件与附件、印件与定稿、请示与批复、转发文件与原件,分别立在一起,不得分开,文电应合一归档。

4、不同年度的文件一般不得放在一起立卷;跨年度的总结放在针对的最后一年立卷;跨年度的会议文件放在会议开幕年。?

5、档案文件材料应区别不同情况进行排列,密不可分的文件材料应依序排列在一起,即批复在前,请示在后;正件在前,附件在后;印件在前,定稿在后;其它文件材料依其形成规律或应

保持文件之间的密切联系并进行系统的排列。?

6、案卷封面,应逐项按规定用钢笔书写,字迹要工整、

五、档案管理人员职责 1、按照 有关规定做好 文件材料的收集、整理、分类、归档等工作。2、按照归档范围、要求,将文件材料按时归档。3、工作人员应当遵纪守法、忠于职守,努力维

护公司档案的完整与安全。

1、公司档案只有公司内部人员可以借阅,借阅者都要填写《借阅单》,报主管人员批准后,方可借阅,其中非受控文档的借阅要由部门经理签字批准,受控文档的借阅要由总经理签字批准。

2、档案借阅的最长期限为两周;对借出档案,档案管理人员要定期催还,发现损坏、丢失或逾期未还,应写出书面报告,报总经理处理。

数列求和的常用方法

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走在路上,挫折是难免的,低潮是必然的,孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候,总有寄人篱下的时候,总有遭人诽谤与暗算的时候。这些时候,要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理,

只要你能够耐心等待,受得了折磨,守得住底线,一切都会证明,生活不会抛弃你,命运不会舍弃你。

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