【竞赛及提前招生】2011年长郡中学理科实验班招生考试数学试卷_图文


2011 年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1. (4 分)函数 A. 图象的大致形状是( B. ) C. D.

2. (4 分) (2007?临沂)小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内切圆(阴影)区域的 概率为( )

A.

B.

π

C.

π

D.

3. (4 分)满足不等式 n A .8

200

<5 的最大整数 n 等于( B.9

300

) C.10

D.11

4. (4 分)甲、乙两车分别从 A,B 两车站同时开出相向而行,相遇后甲行驶 1 小时到达 B 站,乙再行驶 4 小时到 达 A 站.那么,甲车速是乙车速的( ) A .4 倍 B.3 倍 C .2 倍 D.1.5 倍 5. (4 分)图中的矩形被分成四部分,其中三部分面积分别为 2,3,4,那么,阴影三角形的面积为( )

A .5

B.6

C .7

D.8

6. (4 分)如图,AB 是圆的直径,CD 是平行于 AB 的弦,且 AC 和 BD 相交于 E,∠AED=α,那么△ CDE 与△ ABE 的面积之比是( )

A.cosα

B.sin2α

C.cos2α

D.1﹣sinα

7. (4 分)两杯等量的液体,一杯是咖啡,一杯是奶油.舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油 杯里.这时,设咖啡杯里的奶油量为 a,奶油杯里的咖啡量为 b,那么 a 和 b 的大小为( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.与勺子大小有关 8. (4 分)设 A,B,C 是三角形的三个内角,满足 3A>5B,3C<2B,这个三角形是( )

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www.jyeoo.com A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.都有可能

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8 不重复地填写在下面连等式的方框中,使这个连等式成立: 1+□ +□ =9+□ +□ =8+□ +□ =6+□ +□ _________ . 10. (5 分) 如图, 正三角形与正六边形的边长分别为 2 和 1, 正六边形的顶点 O 是正三角形的中心, 则四边形 OABC 的面积等于 _________ .

11. (5 分)计算:

= _________ .

12. (5 分)五支篮球队举行单循坏赛(就是每两队必须比赛 1 场,并且只比赛一场) ,当赛程进行到某一天时,A 队已赛了 4 场,B 队已赛了 3 场,C 队已赛了 2 场,D 队已赛了 1 场,那么到这一天为止一共已经赛了 _________ 场,E 队比赛了 _________ 场. 13. (5 分) (2006?无锡)已知∠AOB=30°,C 是射线 OB 上的一点,且 OC=4.若以 C 为圆心,r 为半径的圆与射 线 OA 有两个不同的交点,则 r 的取值范围是 _________ .

14. (5 分)如图,△ ABC 为等腰直角三角形,若 AD= AC,CE= BC,则∠1 _________ ∠2(填“>”、“<”或 “=”)

三、解答题(共 3 小题,满分 38 分) 15. (12 分) (2009?深圳)迎接大运,美化深圳,园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭 配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆,乙种花卉 40 盆, 搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆,乙种花卉 90 盆. (1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你 帮助设计出来. (2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元,搭配一个 B 种造型的成本是 960 元,试说明(1)中哪种方案成本最 低?最低成本是多少元?

16. (12 分)如图,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,AC=BC,D 为⊙O 中
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上一点,延长 DA 至点 E,使 CE=CD.

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www.jyeoo.com (1)求证:AE=BD; (2)若 AC⊥BC,求证:AD+BD= CD.

17. (14 分) (2007?河北)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点 P 从点 B 出发沿折线段 BA﹣AD﹣DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动;点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动,过点 Q 向上作射线 QK⊥BC, 交折线段 CD﹣DA﹣AB 于点 E. 点 P、Q 同时开始运动, 当点 P 与点 C 重合时停止运动,点 Q 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当点 P 到达终点 C 时,求 t 的值,并指出此时 BQ 的长; (2)当点 P 运动到 AD 上时,t 为何值能使 PQ∥DC; (3)设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S,分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时,S 与 t 的函数关系式; (不必写 出 t 的取值范围) (4)△ PQE 能否成为直角三角形?若能,写出 t 的取值范围;若不能,请说明理由.

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2011 年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考 试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1. (4 分)函数 A. 图象的大致形状是( B. ) C. D.

考点: 反比例函数的图象. 分析: 由题意只需找到图象在 x 轴下方的不经过原点的函数图象即可. 解答: 解:由函数解析式可得 x 可取正数,也可取负数,但函数值只能是负数; 所以函数图象应在 x 轴下方,并且 x,y 均不为 0. 故选 D. 点评: 解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置.
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2. (4 分) (2007?临沂)小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内切圆(阴影)区域的 概率为( )

A.

B.

π

C.

π

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概率. 计算题. 针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比. 解:∵如图所示的正三角形, ∴∠CAB=60°, 设三角形的边长是 a,
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∴AB= a, ∵⊙O 是内切圆, ∴∠OAB=30°,∠OBA=90°, ∴BO=tan30°AB= a, a ,而圆的半径是
2

则正三角形的面积是

a,面积是

a,

2

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www.jyeoo.com 因此概率是 故选 C. a÷
2

a=

2



点评:

用到的知识点为:边长为 a 的正三角形的面积为: 求解.

a ;求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形

2

3. (4 分)满足不等式 n A .8

200

<5 的最大整数 n 等于( B.9

300

) C.10

D.11

考点: 幂的乘方与积的乘方. 分析: 将不等式左右两边理由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂,通过计算可求出 n 的最大值. 解答: 解:n200=(n2)100,5300=(125)100, 2 所以 n <125,最大整数 n=11. 故选 D. 点评: 本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的.
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4. (4 分)甲、乙两车分别从 A,B 两车站同时开出相向而行,相遇后甲行驶 1 小时到达 B 站,乙再行驶 4 小时到 达 A 站.那么,甲车速是乙车速的( ) A .4 倍 B.3 倍 C .2 倍 D.1.5 倍 考点: 分式方程的应用. 专题: 行程问题. 分析: 如果设 A,B 两车站路程为 s,甲、乙车速分别为 a,b,那么当甲、乙两车分别从 A,B 两车站同时开出相
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向而行到相遇时所用时间为 不变可列出方程 = 变可列出方程 =

.又相遇后甲行驶 1 小时到达 B 站,根据甲由 A 车站行驶到 B 车站的时间

+1①,同样,乙再行驶 4 小时到达 A 站,根据乙由 B 车站行驶到 A 车站的时间不 +4②,将方程①②变形,即可求出 的值,从而得出正确选项.

解答: 解:设 A,B 两车站路程为 s,甲、乙车速分别为 a,b. 由题意,有 变形得 . ,

两式相除,得



故选 C. 点评: 本题考查分式方程在行程问题中的应用.分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.行程问题常 用的基本关系式为路程=速度×时间,解题时,紧紧抓住行程问题的三个基本量:路程、速度、时间进行分 析.注意本题所设未知数有三个,但只能列出两个方程,不能求出未知数的具体值,将两个方程变形,求
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www.jyeoo.com 出 a 与 b 的比值即可. 5. (4 分)图中的矩形被分成四部分,其中三部分面积分别为 2,3,4,那么,阴影三角形的面积为( )

A .5

B.6

C .7

D.8

考点: 面积及等积变换. 专题: 几何图形问题. 分析: 如图所示,设矩形面积为 s,按图中所设的长度,得 a(c+d)=4,bc=6,d(a+b)=8,从而结合图形可得 出关于 s 的一个等式,然后将选项代入判断即可得出答案. 解答: 解:设矩形面积为 s,按图中所设的长度,得 a(c+d)=4,bc=6,d(a+b)=8, s=(a+b) (c+d)=ac+ad+bc+bd, ∵ac+ad=4,bc=6,da+bd=8, ∴18﹣ad=s, ∴ac=s﹣14, 三式相乘,得 a(c+d)?bc?d(a+b)=abcds=4×6×8,ads=32①; 又 ac=s﹣14,bd=s﹣10,所以 abcd=(s﹣14) (s﹣10) ,6ad=(s﹣14) (s﹣10)②; 由①②得 s(s﹣14) (s﹣10)=192, 用四个选项的值验证,当阴影面积为 7 时 s=16,s(s﹣14) (s﹣10)=16×2×6=192 成立. 故选 C.
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点评: 本题考查面积及等积变换,有一定难度,在解答本题时将图形合适的分解是解答本题的关键. 6. (4 分)如图,AB 是圆的直径,CD 是平行于 AB 的弦,且 AC 和 BD 相交于 E,∠AED=α,那么△ CDE 与△ ABE 的面积之比是( )

A.cosα

B.sin2α

C.cos2α

D.1﹣sinα

考点: 相似三角形的判定与性质;圆周角定理. 分析: CD 与 AB 平行,则△ CDE 与△ ABE 相似,要求△ CDE,△ ABE 的面积之比,只需求出两三角形的相似比; 连接 AD,构造直角三角形,然后利用锐角三角形函数求出相似比,面积比等于相似比的平方. 解答: 解:连接 AD, ∵AB∥DC, ∴△CDE∽△ABE,
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∴S△ CDE:S△ ABE= ∵AB 是圆的直径, ∴∠ADB=90°,



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www.jyeoo.com ∴cos∠AED= ∵∠AED=α, ∴ =cosα, =cos α.
2



∴S△ CDE:S△ ABE= 故选 C.

点评: 本题结合锐角三角形函数考查了相似三角形的性质,两三角形相似,面积比等于相似比的平方. 7. (4 分)两杯等量的液体,一杯是咖啡,一杯是奶油.舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油 杯里.这时,设咖啡杯里的奶油量为 a,奶油杯里的咖啡量为 b,那么 a 和 b 的大小为( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.与勺子大小有关 考点: 分式的混合运算. 专题: 应用题. 分析: 设各杯的量为 1,一勺的量为 x.第一次:咖啡杯里的奶油量为 x,奶油杯里的咖啡量为 0;第二次:咖啡
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杯里的奶油量为

,奶油杯里的咖啡量为

,分别计算再进行比较即可.

解答: 解:设各杯的量为 1,一勺的量为 x. 第一次:咖啡杯里的奶油量为 x,奶油杯里的咖啡量为 0; 第二次:咖啡杯里的奶油量为 奶油杯里的咖啡量为 . ,

所以 a=b. 故选 C. 点评: 此题考查分式的混合运算在实际生活中的应用,理清题意,找到等量关系是关键. 8. (4 分)设 A,B,C 是三角形的三个内角,满足 3A>5B,3C<2B,这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.都有可能 考点: 三角形内角和定理. 专题: 推理填空题. 分析: 由 3A>5B,3C<2B,得到 3A+2B>5B+3C,则 A>B+C,不等式两边加 A,得到 2A>A+B+C,在利用三 角形的内角和定理得 A>90°,即可判断三角形的形状. 解答: 解:∵3A>5B,2B>3C, ∴3A+2B>5B+3C, 即 A>B+C, 不等式两边加 A, ∴2A>A+B+C,而 A+B+C=180°, ∴2A>180°,即 A>90°, ∴这个三角形是钝角三角形.
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www.jyeoo.com 故选 B. 点评: 本题考查了三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和为 180°.也考查了代数式的变形能力以及三角形 的分类. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8 不重复地填写在下面连等式的方框中,使这个连等式成立: 1+□ +□ =9+□ +□ =8+□ +□ =6+□ +□ 1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2 . 考点: 有理数的加法. 专题: 计算题. 分析: 先将数字 1,2,3,4,5,6,7,8 相加可得 36,再将 1,9,8,6 相加可得 24,又(36+24)÷4=60÷4=15, 可知每组数字的和为 15 等式成立. 解答: 解:∵1+2+3+4+5+6+7+8=36,1+9+8+6=24, 36+24=60, 60÷4=15, ∴1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2. 故答案为:8,6,5,1,3,4,7,2. 点评: 本题考查了有理数的加法,趣味性较强,有一定的难度,找准每组数字的和是解题的关键.
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10. (5 分) 如图, 正三角形与正六边形的边长分别为 2 和 1, 正六边形的顶点 O 是正三角形的中心, 则四边形 OABC 的面积等于 .

考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: 过点 O 作三角形边的垂线,垂足为 E、F,根据 O 为等边△ ABC 的中新可得 OE=OF,即四边形 OABC 的 面积等于四边形 OEBF 的面积,故求四边形 OEBF 的面积即可解题. 解答: 解: 过点 O 作三角形边的垂线,垂足为 E、F, ∵O 为等边△ ABC 的中心,∴OE=OF, 所求四边形 OABC 的面积等于四边形 OEBF 的面积,
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即正三角形面积的 . 正三角形的面积为 ×2× 故四边形 OABC 的面积= 故答案为 . = , ,

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点评: 本题考查了等边三角形面积的计算,考查了等边三角形中心为角平分线、中线、高线、垂直平分线的交点, 本题中求证四边形 OABC 的面积等于四边形 OEBF 的面积是解题的关键. 11. (5 分)计算: = .

考点: 分母有理化. 专题: 计算题. 分析: 一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.注意解答本题要进行两次分母有理化. 解答: 解:原式= = = .
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故应填



点评: 主要考查二次根式的有理化.根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根式有理化主要利用 了平方差公式,所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.即一项符号和绝对值相 同,另一项符号相反绝对值相同. 12. (5 分)五支篮球队举行单循坏赛(就是每两队必须比赛 1 场,并且只比赛一场) ,当赛程进行到某一天时,A 队已赛了 4 场,B 队已赛了 3 场,C 队已赛了 2 场,D 队已赛了 1 场,那么到这一天为止一共已经赛了 6 场,E 队比赛了 2 场. 考点: 有理数的加减混合运算. 分析: 由 A 队已赛了 4 场,B 队已赛了 3 场,C 队已赛了 2 场,D 队已赛了 1 场可知,A 和全部对手进行了比赛, D 除 A 外都没有比,B 除 D 外都比过,C 和 DE 没有比,推出 E 得比赛场次,再算出一共得比赛场次即可 解得. 解答: 解:每队要进行 4 场比赛 ∵A 队已赛了 4 场,B 队已赛了 3 场,C 队已赛了 2 场,D 队已赛了 1 场, ∴D 只和 A 比赛,没和其他队比赛,B 和 ACE 都进行了比赛,C 和 AB 举行了比赛,E 和 AB 进行了比赛, 故 E 队比赛了 2 场,到这一天为止一共已经赛了(4+3+2+1+2)÷2=6 场. 故答案为 6、2. 点评: 本题主要考查学生的逻辑推理能力,注意两队进行 1 场比赛,最后的场次相加应除以 2.
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13. (5 分) (2006?无锡)已知∠AOB=30°,C 是射线 OB 上的一点,且 OC=4.若以 C 为圆心,r 为半径的圆与射 线 OA 有两个不同的交点,则 r 的取值范围是 2<r≤4 .

考点: 直线与圆的位置关系;含 30 度角的直角三角形. 分析: 根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答. 若 d<r,则直线与圆相交;若 d=r,则直线于圆相切;若 d>r,则直线与圆相离.
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www.jyeoo.com 解答: 解:由图可知,r 的取值范围在 OC 和 CD 之间. 在直角三角形 OCD 中,∠AOB=30°,OC=4, 则 CD= OC= ×4=2; 则 r 的取值范围是 2<r≤4.

点评: 解答本题要画出图形,利用数形结合可轻松解答.注意:当 d=半径时,有一个交点,故 r>2. 14. (5 分)如图,△ ABC 为等腰直角三角形,若 AD= AC,CE= BC,则∠1 = ∠2(填“>”、“<”或“=”)

考点: 等腰直角三角形;勾股定理. 分析: 先过 E 作 EF⊥AB,设 CA=CB=3,利用勾股定理求出 EF=BF= 得出答案. 解答: 解:过 E 作 EF⊥AB,
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,再证明 Rt△ DCE 与 Rt△ AFE 相似即可

设 CA=CB=3,AB=3 AD= AC=1,CD=2 CE= BC=1,EB=2 EF=BF= AF=AB﹣BF=3 所以 = ,



=2



所以,Rt△ DCE 与 Rt△ AFE 相似. 所以,∠1=∠2. 故填:=.

点评: 此题考查学生对等腰直角三角形,勾股定理和相似三角形的判定与性质的理解和掌握,此题的关键是过 E 作 EF⊥AB,这是此题的突破点,然后利用相似三角形即可证明,此题属于中档题. 三、解答题(共 3 小题,满分 38 分)

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www.jyeoo.com 15. (12 分) (2009?深圳)迎接大运,美化深圳,园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭 配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆,乙种花卉 40 盆, 搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆,乙种花卉 90 盆. (1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你 帮助设计出来. (2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元,搭配一个 B 种造型的成本是 960 元,试说明(1)中哪种方案成本最 低?最低成本是多少元? 考点: 一元一次不等式组的应用. 专题: 方案型. 分析: (1)摆放 50 个园艺造型所需的甲种和乙种花卉应<现有的盆数,可由此列出不等式求出符合题意的搭配 方案来; (2)根据两种造型单价的成本费可分别计算出各种可行方案所需的成本,然后进行比较;也可由两种造型 的单价知单价成本较低的造型较多而单价成本较高的造型较少,所需的总成本就低. 解答: 解: (1)设搭配 A 种造型 x 个,则 B 种造型为(50﹣x)个,依题意得
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解这个不等式组得 ∴31≤x≤33



∵x 是整数, ∴x 可取 31,32,33 ∴可设计三种搭配方案 ①A 种园艺造型 31 个 B 种园艺造型 19 个 ②A 种园艺造型 32 个 B 种园艺造型 18 个 ③A 种园艺造型 33 个 B 种园艺造型 17 个. (2)方法一: 由于 B 种造型的造价成本高于 A 种造型成本.所以 B 种造型越少,成本越低,故应选择方案③,成本最低, 最低成本为 33×800+17×960=42720(元) 方法二: 方案①需成本 31×800+19×960=43040(元) 方案②需成本 32×800+18×960=42880(元) 方案③需成本 33×800+17×960=42720(元) ∴应选择方案③,成本最低,最低成本为 42720 元. 点评: 本题主要考查不等式在现实生活中的应用,运用了分类讨论的思想进行比较.

16. (12 分)如图,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,AC=BC,D 为⊙O 中 (1)求证:AE=BD; (2)若 AC⊥BC,求证:AD+BD=

上一点,延长 DA 至点 E,使 CE=CD.

CD.

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考点: 圆周角定理;全等三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: (1) 根据同弧上的圆周角相等, 得∠CBA=∠CDE, 则∠ACB=∠ECD, 可证明△ ACE≌△BCD, 则 AE=BD;
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(2)根据已知条件得,∠CED=∠CDE=45°,则 DE= CD,从而证出结论. 解答: 证明: (1)在△ ABC 中,∠CAB=∠CBA. 在△ ECD 中,∠E=∠CDE. ∵∠CBA=∠CDE, (同弧上的圆周角相等) , ∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA, ∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°,∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°, ∴∠ACB=∠ECD, ∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD. ∴∠ACE=∠BCD, 在△ ACE 和△ BCD 中,∠ACE=∠BCD;CE=CD;AC=BC, ∴△ACE≌△BCD. ∴AE=BD; (2)若 AC⊥BC,∵∠ACB=∠ECD. ∴∠ECD=90°, ∴∠CED=∠CDE=45°, ∴ , 又∵AD+BD=AD+EA=ED, ∴AD+BD= CD. 点评: 本题是一道综合题,考查了圆周角定理和全等三角形的判定和性质,解答这类题一些学生不会综合运用所 学知识解答问题,不知从何处入手造成错解. 17. (14 分) (2007?河北)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点 P 从点 B 出发沿折线段 BA﹣AD﹣DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动;点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动,过点 Q 向上作射线 QK⊥BC, 交折线段 CD﹣DA﹣AB 于点 E. 点 P、Q 同时开始运动, 当点 P 与点 C 重合时停止运动,点 Q 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当点 P 到达终点 C 时,求 t 的值,并指出此时 BQ 的长; (2)当点 P 运动到 AD 上时,t 为何值能使 PQ∥DC; (3)设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S,分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时,S 与 t 的函数关系式; (不必写 出 t 的取值范围) (4)△ PQE 能否成为直角三角形?若能,写出 t 的取值范围;若不能,请说明理由.

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www.jyeoo.com 考点: 等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形的性质;平行四边形的判定. 专题: 压轴题;动点型. 分析: (1)把 BA,AD,DC 它们的和求出来再除以速度每秒 5 个单位就可以求出 t 的值,然后也可以求出 BQ 的长; (2)如图 1,若 PQ∥DC,又 AD∥BC,则四边形 PQCD 为平行四边形,从而 PD=QC,用 t 分别表示 QC, BA,AP,然后就可以得出关于 t 的方程,解方程就可以求出 t; (3) ①当点 E 在 CD 上运动时, 如图 2 分别过点 A、 D 作 AF⊥BC 于点 F, DH⊥BC 于点 H, 则四边形 ADHF 为矩形,然后根据已知条件可以证明△ ABF≌△DCH,根据全等三角形的性质可以得到 FH=AD=75,
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BF=CH=30,DH=AF=40,再求出 tanC= ,在 Rt△ CQE 中,QE,QC 就可以用 t 表示,这样射线 QK 扫过 梯形 ABCD 的面积为 S 也可以用 t 表示了; ②当点 E 在 DA 上运动时,如图 1.过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,由①知 DH=40,CH=30,又 QC=3t,从而 ED=QH=QC﹣CH=3t﹣30,现在的射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积 S 就是梯形 QCDE,可以用 t 表示了. (4)△ PQE 能成为直角三角形. ①当点 P 在 BA(包括点 A)上,即 0<t≤10 时,如图 2.过点 P 作 PG⊥BC 于点 G,则 PG=PB?sinB=4t, 又有 QE=4t=PG,易得四边形 PGQE 为矩形,此时△ PQE 总能成为直角三角形 ②当点 P、E 都在 AD(不包括点 A 但包括点 D)上,即 10<t≤25 时,如图 1.由 QK⊥BC 和 AD∥BC 可 知,此时,△ PQE 为直角三角形,但点 P、E 不能重合,即 5t﹣50+3t﹣30≠75,解得 t≠ .

③当点 P 在 DC 上(不包括点 D 但包括点 C) ,即 25<t≤35 时,如图 3.由 ED>25×3﹣30=45, 可知,点 P 在以 QE=40 为直径的圆的外部,故∠EPQ 不会是直角.由∠PEQ<∠DEQ,可知∠PEQ 一定是 锐角.对于∠PQE, ∠PQE≤∠CQE,只有当点 P 与 C 重合,即 t=35 时,如图 4,∠PQE=90°,△ PQE 为直角三角形. 解答: 解: (1)t=(50+75+50)÷5=35(秒)时,点 P 到达终点 C. (1 分) 此时,QC=35×3=105,∴BQ 的长为 135﹣105=30. (2 分) (2)如图 1,若 PQ∥DC,又 AD∥BC,则四边形 PQCD 为平行四边形,从而 PD=QC,由 QC=3t,BA+AP=5t 得 50+75﹣5t=3t,解得 t= 经检验,当 t= .

时,有 PQ∥DC. (4 分)

(3)①当点 E 在 CD 上运动时,如图 2.分别过点 A、D 作 AF⊥BC 于点 F,DH⊥BC 于点 H,则四边形 ADHF 为矩形,且△ ABF≌△DCH,从而 FH=AD=75,于是 BF=CH=30.∴DH=AF=40. 又 QC=3t,从而 QE=QC?tanC=3t? (注:用相似三角形求解亦可) ∴S=S△ QCE= QE?QC=6t ; (6 分) ②当点 E 在 DA 上运动时,如图 1.过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,由①知 DH=40,CH=30,又 QC=3t,从而 ED=QH=QC﹣CH=3t﹣30. ∴S=S 梯形 QCDE= (ED+QC)DH=120t﹣600. (8 分)
2

=4t.

(4)△ PQE 能成为直角三角形. (9 分)
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www.jyeoo.com 当△ PQE 为直角三角形时,t 的取值范围是 0<t≤25 且 t≠ (注: (4)问中没有答出 t≠ 或 t=35. (12 分)根据全等三角形的性质

或 t=35 者各扣(1) ,其余写法酌情给分)

下面是第(4)问的解法,仅供教师参考: ①当点 P 在 BA(包括点 A)上,即 0<t≤10 时,如图 2. 过点 P 作 PG⊥BC 于点 G,则 PG=PB?sinB=4t, 又有 QE=4t=PG,易得四边形 PGQE 为矩形,此时△ PQE 总能成为直角三角形. ②当点 P、E 都在 AD(不包括点 A 但包括点 D)上,即 10<t≤25 时,如图 1. 由 QK⊥BC 和 AD∥BC 可知,此时,△ PQE 为直角三角形,但点 P、E 不能重合, 即 5t﹣50+3t﹣30≠75,解得 t≠ .

③当点 P 在 DC 上(不包括点 D 但包括点 C) , 即 25<t≤35 时,如图 3.由 ED>25×3﹣30=45, 可知,点 P 在以 QE=40 为直径的圆的外部,故 ∠EPQ 不会是直角. 由∠PEQ<∠DEQ,可知∠PEQ 一定是锐角. 对于∠PQE,∠PQE≤∠CQE,只有当点 P 与 C 重合,即 t=35 时,如图 4,∠PQE=90°,△ PQE 为直角三角形. 综上所述,当△ PQE 为直角三角形时,t 的取值范围是 0<t≤25 且 t≠ 或 t=35.

点评: 此题综合性很强,把图形的变换放在梯形的背景中,利用等腰梯形的性质结合已知条件探究图形的变换, 根据变换的图形的性质求出运动时间.
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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:fxx;mengcl;蓝月梦;ljj;lanchong;leidan;zhjh;王岑;心若在;CJX;bjf; wdxwwzy;lf2-9;ln_86;Liuzhx;gsls;499807835;HJJ;HLing;workholic;bjy(排名不分先后)
菁优网 2013 年 4 月 3 日

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