2018学年高中数学北师大版选修4-1课件:1.3.1+2 圆内接四边形 托勒密定理 精品_图文


阶 段 一 §3 3.1 *3.2 圆与四边形 圆内接四边形 托勒密定理 阶 段 三 阶 段 二 学 业 分 层 测 评 1.了解圆内接四边形的概念. 2.掌握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论. [基础· 初探] 教材整理 1 圆内接四边形的性质定理及推论 (1)圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补 . 图 131 ∠C =180° 如图 131, 四边形 ABCD 内接于⊙O, 则有: ∠A+ , ∠B+∠D= 180° . (2)推论 图 132 圆内接四边形的任何一个外角都等于 它的内对角 . ∠D . 如图 132,∠CBE 是圆内接四边形 ABCD 的一外角,则有:∠CBE= 1.如图 133, ABCD 是⊙O 的内接四边形, 延长 BC 到 E, 已知∠BCD∶∠ECD =3∶2,那么∠BOD 等于( ) 【导学号:96990037】 图 133 A.120° B.136° C.144° D.150° 【解析】 ∵∠BCD∶∠ECD=3∶2, ∴∠ECD=72° , ∴∠BOD=2∠A=2∠ECD=144° . 【答案】 C 2.如图 134 所示, 四边形 ABCD 内接于⊙O, 若∠BOD=110° , 那么∠BCD 的度数为________. 图 134 1 1 【解析】 ∵∠A=2∠BOD=2×110° =55° , ∴∠BCD=180° -55° =125° . 【答案】 125° 教材整理 2 圆内接四边形的判定定理及推论 (1)判定定理:如果一个四边形的 内对角互补,那么这个四边形四个顶点共 圆. 如图 135①,若∠A+∠C=180° ,∠B+∠D=180° ,则四边形 ABCD 内接 于⊙O. (2)推论:如果四边形的一个外角等于 其内对角,那么这个四边形的四个顶 点共圆. 如图 135②,若∠CBE=∠D,则四边形 ABCD 内接于⊙O. 图 135 3.下列说法正确的个数有( ) ①平行四边形内接于圆;②梯形内接于圆;③菱形内接于圆;④矩形内接 于圆;⑤正方形内接于圆. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 【解析】 根据圆内接四边形的判定定理知,④⑤正确. 【答案】 B [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________ [小组合作型] 圆内接四边形的性质 如图 136,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,在 AB 上截取 PA=AC, PA DA 以 PC 为直径的圆分别交 AB,BC,AC 于 D,E,F.求证:PB=DP. 图 136 【精彩点拨】 先利用 PC 是圆的直径,得到 PF∥BC,再利用圆内接四边 形的性质,得到 DF∥PC,最后利用平行线分线段成比例证明结论. 【自主解答】 连接 DF,PF. ∵PC 是直径, ∴PF⊥AC. ∵BC⊥AC, PA FA ∴PF∥BC,∴PB=FC. ∵四边形 PCFD 内接于⊙O, ∴∠ADF=∠ACP, ∵AP=AC, ∴∠APC=∠ACP. ∴∠ADF=∠APC.∴DF∥PC, DA FA PA DA ∴DP=FC,∴PB=DP. 1.在本题的证明过程中,都是利用角相等证明了两直线平行,然后利用直线 平行,得到比例式相等. 2.圆内接四边形的性质如对角互补,一个外角等于其内对角,可用来作为三 角形相似或两直线平行的条件,从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系. [再练一题] 1.已知四边形 ABCD 内接于圆, DE∥AC, 交 BC 的延长线于 E, 求证: AB· CE =AD· CD. 【证明】 如图,连接 BD, ∵DE∥AC, ∴∠E=∠ACB. ∵∠ACB=∠ADB, ∴∠ADB=∠E. 在△ABD 与△CDE 中, ∵∠ADB=∠E, ∠BAD=∠DCE, ∴△ABD∽△CDE. AB AD ∴CD=CE. 故 AB· CE=AD· CD. 圆内接四边形的判定 如图 137,在△ABC 中,E,D,F 分别为 AB,BC,AC 的中点, 且 AP⊥BC 于 P. 图 137 求证:E,D,P,F 四点共圆. 【精彩点拨】 证明本题可先连接 PF,构造四边形 EDPF 的外角∠FPC, 证明∠FPC=∠C,再证明∠FPC=∠FED 即可得出结论. 【自主解答】 连接 PF, ∵AP⊥BC,F 为 AC 的中点, 1 ∴PF=2AC. 1 ∵FC=2AC, ∴PF=FC, ∴∠FPC=∠C. ∵E,F,D 分别为 AB,AC,BC 的中点, ∴EF∥CD,ED∥FC, ∴四边形 EDCF 为平行四边形, ∴∠FED=∠C, ∴∠FPC=∠FED, ∴E,D,P,F 四点共圆. 1.本题证明的关键是如何使用点 E,D,F 是中点这一条件. 2.要判定四点共圆, 多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证 明. [再练一题] 2.在△ABC 中,AB=AC,延长 CA 到

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