椭圆的简单几何性质(4)-直线与椭圆的位置关系_图文


直线与椭圆的位置关系 前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题. 点与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 C · · · A B 种类: 种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 点P(x0,y0)在椭圆内 点P(x0,y0)在椭圆上 点P(x0,y0)在椭圆外 x02 y 02 ? 2 ?1 2 a 2 b 2 x0 y0 ? 2 ?1 2 a2 b2 x0 y0 ? 2 ?1 2 a b 直线与椭圆的位置关系的判定 由方程组: 代数方法 Ax+By+C=0 x y ? 2 ?1 2 a b 方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 2 2 mx2+nx+p=0(m≠ 0) = n2-4mp 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离 >0 =0 <0 关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长 k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为 直线具有斜率 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它的弦长 1 2 ? AB ? 1? k2 x1 ? x2 ? (1? k2 ) ? ( x ? x ) ? 4 x x 1 2 ? ? 1 ? 2 ? y1 ? y 2 ? 1 2 k y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ) 注 :实质上是由两点间距离公式推导出来的 ,只是用了交点坐标 设而不求的技巧而已 (因为 计算. 当直线斜率不存在是,则 AB ? y1 ? y2 ,运用韦达定理来进行 . 处理弦中点问题:“点差法”、“韦达定理” 例1、 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 归纳:这类问题的两种解决方法 (1)联立方程组,解出直线与圆锥曲线的交点,再利用两点距离公式来求解; (2)联立方程组,运用“设而不求”解法技巧,结合韦达定理完成求解。 例2、如图,已知椭圆 ax ? by ? 1与直线x+y-1=0交 2 2 AB ? 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点, 斜率是 2 ,试求a、b的值。 y 2 A M o B x l :4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆 例3、椭圆 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是 多少? 分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式. x2 y2 ? ?1 ,直线 25 9 d? 4 x0 ? 5 y0 ? 40 42 ? 52 4 x0 ? 5 y0 ? 40 且 ? ?1 ? 25 9 41 l m m x0 2 y0 2 尝试遇到困难怎么办? 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考. 思考:最大距离为多少? x y 思考 1:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 例4 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积. 2 2 分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知, 要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组 解:∵椭圆 x2 2 思考 1: 已知点 分别是椭圆 F 、 F ? y ? 1 的左、右 例4 1 2 2 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 2 ? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 3 x2 ? 4 x ? 0 ? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2 4 ∴ x1 ? x2 ? 4 2 ? 2 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ? = ( x ? x ) ? 4 x x 2 1 2? ? 1 3 3 , x1 x2 ? 0 ∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ? ∴ S F1 AB 0 ? ( ?1) ? 1 2 = 2 1 1 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2 = . 答: △F AB 的面积等于 4 1 2 2 3 3 3 练1:已知椭圆 的焦点为 F1 , F2 ,在直 线 l : x? y?6? 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为 焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程. x2 y2 ? ?1 9 5 x y ? ?1 20 16 分析:∵椭圆的焦点为 (?2,0),(2,0) 关键是怎样求出椭圆的长轴大小. 2 2 x 2 y2 练2:直线y=kx+1与椭圆 ? ? 1 5 m 恒有公共点, 求m的取值范围。 1 1 ? ?m? 2 2 思维挑战题: x2 y2 试确定实数 m 的取值范围 , 使得椭圆 ? ?1 4 3 上存在关于直线 y ? 2 x ? m 对称的点. 练习巩固: x2 y2 1.过椭圆 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. x ? 2 y ? 4 ? 0

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