四川省眉山市高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值(第2课时)讲义 新人教A版必修1_图文


1.3.1单调性与最大(小)值 (第2课时)

?定义法证明单调性

【 补 充 例 题 】 证 明 函 数 f ( x ) = 2 x + 3 在 ( ? ? , + ? ) 上 是 增 函 数 .

解 : 任 取 x 1 , x 2 ? ( ? ? , + ? ) , 设 x 1 < x 2 , 任 取 值

则f(x1)?f(x2) =(2x1 +3) ? (2x2 +3)

=2x1 ? 2x2

=2(x1 ? x2 )

x

1

<

x


2

? x1 ? x2 <0 ?f(x1)?f(x2)<0

即f(x1)<f(x2)

增函数:
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)< f(x2),那么 就说 f(x) 在这个 区间上是增函数.

作差 变形
定号

? 函 数 f ( x ) = 2 x + 3 在 ( ? ? , + ? ) 上 是 增 函 数 . 下结论

例 2: 物 理 学 中 的 玻 意 耳 定 律 p?k(k为 正 常 数 )告 诉 我 们 , V
对 于 一 定 量 的 气 体 , 当 其 体 积 V减 小 时 , 压 强 p将 增 大 .
试 用 函 数 的 单 调 性 证 明 之 .

二、基础知识讲解 4、利用定义法证明函数 f(x) 在给定的区间 D 上的 单调性的一般步骤:
第一步:任取值。任取 x1,x2∈D,且x1<x2;
第二步:作差、变形。将 f(x1)-f(x2) 通过因式分解、 配方、有理化等方法,将差转换为积或商的形式, 有利于判断差的符号。
第三步:定号。确定差的符号。
第四步:下结论(即根据定义指出函数 f(x) 在给定 的区间 D 上的单调性).

P30 探究: 观察反比例函数 y ? 1 的图象. (1) 这个函数的定义域是什么?x

(2) 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论.

解 : 函 数 y ? 1 在 区 间 (? ? ,0 ) 和 ( 0 ,+ ? ) 上 减 函 数

x

( 1 ) 任 取 x 1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ) , 且 设 x 1 < x 2 ,

则f(x1)?f(x2)

? 1 ? 1 ? x2 ? x1

x1 x2

x1 x2

变 形 技 巧 1: 通 分 ? 化 为 若 干 个 可 确 定 正 负 的 因 式 的 乘 积
y

x1,x2?(-?,0), 且 x1<x2,

?x1?x2<0, x1?x2?0,

1

? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) < 0 , 即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,

-1 O 1
-1

x

? 函 数 y?1在 区 间 (?? ,0)上 减 函 数 . x

三、练习巩固

C 1 、 已 知 函 数 f(x)在 (? ? ,? ? )上 是 增 函 数 , 且 a? R , 则 ()

A .f(a)?f(2 a)

B .f(a2)?f(a)

C .f(a?3 )?f(a?2) D .f(6 )?f(a)

A 2、下 列 函 数 , 在 区 间 (0,1)上 是 增 函 数 的 是 ( )
A.y?|x| B.y?3?x
C.y?1 D.y??x2?4 x
C 3、函 数 y?|x?2|在 区 间 [?3,0]上 是 ( )
A.单 调 递 减 B.单 调 递 增 C.先 减 后 增 D.先 增 后 减

思 考 题 : P39A 组 第 3题 探 究 一 次 函 数 y?m x?b(x? R)的 单 调 性 , 并 证 明 你 的 结 论 .

D 4 、 函 数 f(x)?(2 a? 1 )x?b 是 R 上 的 增 函 数 , 则 ()

A . a?1 2

B .a??1 C .a?1 D .a??1

2

2

2

5 、 函 数 y?x2- 2x? 1 的 单 调 递 增 区 间 是 [_ 1_ ,_ ?_ ?_ _ )? 单 调 递 减 区 间 是 _ _ ( _ ?_ ?_ _ , 1_ ]

6 、 函 数 y?x 2- 2 a x? 1 的 单 调 递 增 区 间 是 [_ a_ ,_ ?_ ?_ _ )? 单 调 递 减 区 间 是 _ (_ ?_ ?_ _ ,_ a_ ]

7 、 函 数 y? ? x 2? 2 (a? 1 )x? 1 在 (? ? ,4 )上 是 增 函 数 ,
则 a 的 取 值 范 围 是 _ (_ ?_ ?_ _ ,_ ?_ 5_ ]

二、新课讲解

y

y

B3

yC

A

1

-1 o x

-1 o

x

oa

x

y ? ?x2 ? 2x

y ? ?2x ? 1? x ? ?1?

y ? f (x)

思别考是观:三察请个比观函较察数这以图三上象个三的图个象最图,高象找点,出。可点以A、发B现、点CA的、共B同、特C征分。

以y=-x2-2x为例,函数的图象有一个最高点(-1,1),

(1)对于任意x∈R,都有其函数值 f(x) ≤ 1 ,

(2)存在x=__-_1__,有 _f_(-_1_)_ =1, 我们就说f(x)有 最大值为1 。

二、新课讲解
1、最大值:
设函数 y=f(x) 的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤ M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。
记为: ymax= f(x0)
注:两个条件缺一不可(“任意”,“存在”)。

二、新课讲解
y

A

函数的图象有一个最高点(-1,1),

1 (1)对于任意x∈R,都有其函数值 f(x) ≤ 1,

-1

o

x

(2)存在x=__-_1__,有 _f_(_-1_)_ =1, 我们就说f(x)有 最大值为1。

y ? ?x2 ? 2x

y y=x2
4 3 2 1
-2 -1 O 1 2 x

函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0,0), (1)对于任意x∈R,都有 f(x) ≥0 , (2)存在x = __0_,有__f_(0_)_=__0___, 我们就说f(x)有 最小值为0 。

二、新课讲解
1、最大值: 设函数 y=f(x) 的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤ M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M .
那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 ymax=f(x0)
2、最小值: 设函数 y=f(x) 的定义域为I,如果存在实数N 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≥ N; (2)存在 x1∈I,使得f(x1)=N .
那么,我们称 N 是函数y=f(x)的最小值。 ymin=f(x1)

二、新课讲解

y

43

2 1

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

x

(1)由左边函数图象可得:
函数最大值是____3 ________;
? 1 函数最小值是____________.
函数的最值是“全局性质”

y
43
2 1 -2 -1 O 1 2

(2)由左边函数图象可得:
2 函数最大值是____________; 0 函数最小值是____________.

x

可存在多个自变量的值,其 函数值等于最大(小)值.

二、新课讲解

y=x+1, x?-2

y

3

(函3)数由最左大边值函是数_图_不_象_存可__得_在_:____;

2 1

? 1 函数最小值是____________.

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

x

y
3

y=x+1, x?R
(函4)数由最左大边值函是数_图_不_象_存可__得_在_:____;

2

函数最小值是__不__存___在_____.

1

函数不一定都存在“最值” -3 -2 -1 O 1 2 3 x 存在最大值的同时也不一定

存在最小值,反之亦然.

三、例题讲解
例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期 望在它达到最高点时暴裂,如果烟花距地面的高度hm与 时间t s之间的关系为h(t)??4.9t2?14.7t?18,那么烟花 冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高 度是多少(精确到1m) ?
分析:函数 的图象如右 显然,函数图象的顶点就是烟花上 升的最高点,
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻, 纵坐标就是这时距地面的高度。

解:由二次函数的知识,
h?t???4.9t2 ?14.7t?18 ??4.9(t?1.5)2?116.1
4
由 图 象 可 得 : 当 t? ?1 4 .7? 1 .5 时 , 函 数 有 最 大 值 为 2 ? ( ? 4 .9 )

4?(?4.9)?18?14.72

h?

?29(m)

4?(?4.9)

答:烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻,距地面的

高度约为29m。

四、练习
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减,在区间[-2,11]上递增,画出 f(x)
的一个大致的图象,从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个 最小值 .

y
ab O c

b 在[a, c]上,当x ? ______时,
函数有最_小_____值.
x

y

ab O c

b 在[a, c]上,当x ? ______时,
x 函数有最__大____值.

3、求二次函数f ( x) ? x2 ? 2x+2在下列区间内的最值。

(1) R 当x ? 1时,函数有最小值为1;
最大值不存在.

(2) [ ? 1,0] 当x ? 0时,函数有最小值为2;
当x ? ?1时,函数有最大值为5.

y y ? x2 ? 2x+2

(3) [2,3] 当x ? 2时,函数有最小值为2; 4

3

当x ? 3时,函数有最大值为5.

2

(4) [0,3] 当x ? 1时,函数有最小值为1;

1

当x ? 3时,函数有最大值为5.

-1 O 1 2 x

求二次函数在区间[a, b]上的最值步骤 :

(1)判断开口方向;(2)判断区间与对称轴位置关系;

(3)找出最值点.

归纳:
y
p qO y
O pq

二次函数:y ? ax2 ? bx+c(a ? 0) 在闭区间[ p, q]上的最值

x

当p<q< ?

b 2a

时,ymin

?

f (q),ymax

?

f ( p)

x



?

b 2a

<p<q时,ymin

?

f ( p),ymax

?

f (q)

y pO

当p

?

?

b 2a

<q时,ymin

?

4ac ? 4a

b2



q x ymax ? f (q)(若f (q)>f (p))

或ymax ? f (p)(若f (q)<f (p))

三单 、调 例函 题数 讲在 解 闭 区 间 上 的 最 值 必 在 端 点 处 取 得
例4 判断函数f ( x) ? 2 ? x ??2, 6??的单调性,求最值. x ?1

解 : 任 取 x 1 , x 2 ? [ 2 ,6 ] , 且 x 1 < x 2 ,

22 f(x1)?f(x2)?x1?1?x2?1?

2(x2 ? x1) (x1 ?1)(x2 ?1)

由 2?x1<x2?6得 : x 2 ? x 1 ? 0 , x 1 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 ,

? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) > 0 , 即 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) ,

? f(x)=2是 [2,6]上 的 减 函 数 . x?1
因 此 , f(x)m ax?f(2)?22 ?1?2, f(x)min?f(6)?62?1?5 2.

变式练习

1、函数f

(x)

?

2 在区间[?3, ?2]上的最大值 x ?1

?__12__,

最小值 _?__2__

2、函数f

3 (x)

?

x x

? ?

1 1

在区间[?3,

?2]上的最大值

1 _2___,

最小值 __1___ ,函数f ( x)的值域是 _[_1_,_1_]

3

32

五、小结归纳
1、最大值/最小值
一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为I,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M . 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在,则都是唯一的,但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值, 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值,关键是先判断函数的 单调性。

六、作业 1、(作业本) P39 习题1.3 B组 第1题


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