2019学年高中数学北师大版必修五课件:1.3.3.2.1-等比数列的前n项和ppt讲练课件_图文


第一章 数 列

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栏目 导引

第一章 数 列

3.2

等比数列的前 n 项和
等比数列的前 n 项和

第 1 课时

1.等比数列的前 n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 ? ?na1,q=1, n ? a1(1-q ) Sn=? 1- q ?_____________ ? ?q≠1 首项、末项与公比 ? ?na1,q=1, ? a1(1-anq) Sn=? 1-q , ?______________ ? ?q≠ 1

选用 公式

2.等比数列前 n 项和的性质 (1)连续 m 项的和(如 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍组成等比 数列. [注意] 当 q≠-1 或 q=-1 且 m 为奇数时,此性质成立.
(2){an}为公比不为 1 的等比数列?Sn=Aqn+B(A+B=0). a1 S1 S2 Sn n (3) = = =…= ( q -1≠0). 1-q 1-q 1-q2 1-qn S偶 (4)等比数列{an}中,若项数为 2n,则 =q;若项数为 2n+1, S奇 S奇-a1 则 =q. S偶

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 求 等 比数 列 {an} 的 前 n 项 和 时 , 可 直 接 套 用 公 式 Sn = a1(1-qn) 来求.( × ) 1-q (2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列, 则其前 n 项和 为 Sn=na.( √ ) (3)等比数列{an}的首项为 1,a4=8,则前 5 项和为 31.( √ )

等比数列 1,x,x2,x3,…(x≠0)的前 n 项和 Sn 为( 1- x n A. 1-x ? 1- xn ? (x≠1), 1 - x C.? ? ?n(x=1) 1-xn-1 B. 1-x ?1-xn 1 ? (x≠1), 1 - x D.? ? ?n(x=1)


)

解析:选 C.当 x=1 时,数列为常数列,又 a1=1,所以 Sn= n. a1(1-xn) 1-xn 当 x≠1 时,q=x,Sn= = . 1-x 1-x

等比数列{an}的前 n 项和 Sn=k· 3n+1,则 k 的值为( A.全体实数 C.1 B.-1 D.3

)

解析:选 B.当 n=1 时,a1=S1=3k+1;当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=k· 3n-k· 3n-1=2k· 3n-1.令 3k+1=2k 得 k=-1.

1 在等比数列{an}中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 项和 8 为________.

1 解析:设其公比为 q,因为 a1=1,a4=a1q = . 8
3

1 所以 q= .所以 S10= 2
1 答案:2- 9 2

? 1? 1×?1-210? ? ?

1 1- 2

1 =2- 9. 2

1.等比数列前 n 项和公式的两点认识 (1)当 q=1 时,等比数列是常数列, 所以 Sn=na1. (2)q≠1 时,等比数列前 n 项和 Sn 有两个求解公式. a1(1-qn) 当已知 a1,q 与 n 时,用 Sn= (q≠1)较方便; 1-q a1-anq 当已知 a1,q 与 an 时,用 Sn= (q≠1)较方便. 1-q

2.等比数列中用到的数学思想 (1)分类讨论的思想:利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q =1 和 q≠1 两种情况讨论. a1 (2)函数的思想:等比数列的通项公式 an=a1q = q ·qn(q>0 a1 且 q≠1)常和指数函数相联系; 等比数列前 n 项和 Sn= · (qn q- 1 a1 -1)(q≠1). 设 A= , 则 Sn=A(qn-1)也与指数函数相联系. q-1
n-1

等比数列前 n 项和的基本运算 (1)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项 和.若 Sn=126,则 n=________. (2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数 列{an}的前 n 项和等于________.

【解析】

(1)因为 a1=2,an+1=2an,

所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 又因为 Sn=126, 2(1-2n) 所以 =126,所以 n=6. 1-2

(2)设等比数列的公比为 q,
3 ? ?a1+a1q =9, 则有? 2 3 ? ?a1·q =8,

a1=8, ? ? ? a = 1 , ? 1 解得? 或? 1 ? q = 2 ? ?q= . ? 2 又{an}为递增数列,
? ?a1=1, 所以? ? ?q=2,

1-2n 所以 Sn= =2n-1. 1-2 答案:(1)6 (2)2n-1

?1? 在本例(2)条件下,求数列?a ?的前 ? n?

n 项和 Tn.

?1? 解: 由本例解析知数列?a ?的首项为 ? n?

1 1, 公比为 , 则 Tn= 2

?1?n 1-?2? ? ?

1 1- 2

=2-

. 2n - 1

1

等比数列前 n 项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,共涉及五个量: a1,an,n,q,Sn,其中首项 a1 和公比 q 为基本量,且“知三 求二”,常常列方程组来解答. (2)对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分 或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换.

1.(1)设数列{an}满足:2an=an+1(n∈N+),且 S4 前 n 项和为 Sn,则 的值为( a2 15 A. 2 C.4 ) 15 B. 4 D.2

(2)在等比数列{an}中,若 q=2,S4=1,则 S8=________.

S4 解析: (1)由题意知, 数列{an}是以 2 为公比的等比数列, 故 = a2 a1(1-24) 1-2 15 = ,选 A. 2 a1 × 2 (2)设首项为 a1,因为 q=2,S4=1, a1(1-24) 1 所以 =1,即 a1= , 15 1-2 1 8 ( 1 - 2 ) 8 a1(1-q ) 15 所以 S8= = =17. 1-q 1-2

答案:(1)A (2)17

等比数列前 n 项和的性质 (1)已知等比数列{an}中,若前 10 项的和是 10,前 20 项的和是 30,则前 30 项的和是________. (2)已知等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且奇数项的和 比偶数项的和大 80,则公比 q=________.

【解析】

(1)法一:因为数列{an}是等比数列,

所以有 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列, 所以(S20-S10)2=S10(S30-S20), 即(30-10)2=10×(S30-30), 即 S30-30=40,即 S30=70.

法二:由性质 Sm+n=Sn+qnSm,得 S20=S10+q10S10, 即 30=10+10q10,所以 q10=2. 所以 S30=S20+q20S10=30+40=70.
? ? ?S奇+S偶=-240, ?S奇=-80, (2)由题意,得? 解得? ? ? ?S奇-S偶=80, ?S偶=-160.

S偶 -160 所以 q= = =2. S奇 -80

【答案】

(1)70

(2)2

等比数列前 n 项和性质的应用 (1)等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0),则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为 qn(q≠-1). S偶 S奇-a1 (2)若项数为 2n,则 =q(S 奇≠0);若项数为 2n+1,则 S奇 S偶 =q(S 偶≠0).

2.(1)在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3 +a4=60,那么 a7+a8=( A.135 C.95 ) B.100 D.80

1 (2)若等比数列{an}的公比为 ,且 a1+a3+…+a99=60,则{an} 3 的前 100 项和为________.

解析:(1)由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+ 60 3 a8 成等比数列,其首项为 40,公比为 = . 40 2 所以
?3?3 a7+a8=40×?2? =135. ? ?

(2)令 X=a1+a3+…+a99=60,Y=a2+a4+…+a100,则 S100 =X+Y, Y 1 由等比数列前 n 项和性质知: =q= , X 3 所以 Y=20,即 S100=X+Y=80.

答案:(1)A (2)80

等比数列前 n 项和的实际应用 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环 境建设,以发展旅游产业.根据规划,本年度投入 800 万元, 1 以后每年投入将比上年减少 . 本年底当地旅游业收入估计为 5 400 万元.由于该项目建设对旅游业的促进作用,预计今后的 1 旅游业收入每年会比上年增加 .设 n 年内(本年度为第一年)总 4 投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an 和 bn.

【解】

第一年投入为 800 万元,第二年投入为
? 1?n-1 800?1-5? 万元, ? ?

? 1? 800?1-5?万 ? ?

元,…,第 n 年投入为 所以 n 年内的总投入为

? ? 1? 1?n-1 an=800+800?1-5?+…+800?1-5? ? ? ? ?

=4 000(1-0.8n)(万元). 第一年旅游业收入为 400 万元, 第二年旅游业收入为
? 1? 400?1+4?万元,…, ? ?

第 n 年旅游业收入为

? 1?n-1 400?1+4? 万元, ? ?

所以,n 年内的旅游业总收入为
? ? 1? 1?n-1 bn=400+400?1+4?+…+400?1+4? ? ? ? ?

=1 600(1.25n-1)(万元).

解答数列应用题的步骤 对于一个实际问题,首先要弄清题目中所含的数量关系,考察 是否可通过建立数列模型来解决,是否可以转化为等比数列的 问题,基本思路清晰后再着手解题.要注意: (1)认真审题,弄清题意,将实际问题转化为适当的数学模型. (2)合理设元,建立等比数列模型,依据其性质及方程思想求出 未知元素,并依据结论作出合理解释. (3)实际问题解答完成后一定要有结论.

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下 问题: “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共 有灯( A.1 盏 C.5 盏 ) B.3 盏 D.9 盏

解析: 选 B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列, 记为{an}, a1(1-27) 则前 7 项的和 S7=381,公比 q=2,依题意,得 = 1-2 381,解得 a1=3,选择 B.

易错警示

等比数列求和中的误区

设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3, 求此数列的公比 q. 【解】 当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;
a1(1-q3) 当 q≠1 时, =3a1q2,因为 a1≠0, 1-q 1 所以 1+q+q =3q ,2q -q-1=0,解得 q=- . 2
2 2 2

1 综上所述,公比 q 的值是 1 或- . 2

本题易忽视 q=1 这一情况,从而得出错解,在利用等比数列 求和公式前, 先看公比 q, 若其中含有字母, 就应按 q=1 和 q≠1 进行讨论.

1.数列{2n-1}的前 99 项和为( A.2100-1 C.299-1

) B.1-2100 D.1-299

解析:选 C.数列{2n-1}为等比数列,首项为 1,公比为 2,故其 1-299 前 99 项和为 S99= =299-1. 1-2

4 2.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 3 项和等于( A.-6(1-3 )
-10

)

1 B. (1-3-10) 9 D.3(1+3-10)

C.3(1-3-10)

an+1 1 解析:选 C.因为 3an+1+an=0,所以 a =- ,所以数列{an} 3 n 1 是以- 为公比的等比数列. 3 4 因为 a2=- ,所以 a1=4,所以 3 =3(1-3-10).故选 C.
? ? 1?10? 4?1-?-3? ? ? ? ? ? S10= ? 1? 1-?-3? ? ?

3. 已知等比数列{an}是递增数列, Sn 是{an}的前 n 项和. 若 a1, a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6=________.

解析:因为 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,且 q>1, 1×(1-26) 所以 a1=1,a3=4,则公比 q=2,因此 S6= =63. 1-2 答案:63

4.一个项数为偶数的等比数列,全部各项之和为偶数项之和 的 4 倍,前 3 项之积为 64,求其通项公式.
解:设此数列为{an},其首项为 a1,公比为 q,全部奇数项、偶 数项之和分别记为 S 奇、S 偶,由题意知 S 奇+S 偶=4S 偶,即 S 奇 =3S 偶. S偶 1 因为数列{an}的项数为偶数,所以 q= = . S奇 3
3 又因为 a1·a1q·a1q2=64,所以 a3 · q =64,即 a1=12. 1

故所求通项公式为

?1?n-1 ? ? an=12· . ?3?

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