四川省成都市石室中学高2018届高三下期二诊模拟考试数学文试卷WORD版


石室中学高 2018 届 2017~2018 学年下期二诊模拟考试 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. i 是虚数单位,则复数

6i 的虚部为 1? i
B. ? 3 C.3i
1 4

A.3

D. ? 4i

x 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 ? }. 那么集合 A ? CU B 等于

A.{x | ?2 ? x ? 3} B.{x | ?2 ? x ? 3}

C.{x | x ? ?2} D.{x | x ? 3}

? x?0 ? 3.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 6 ?

A. ? 3 B.6

C.

3 2

D.3

4.若 sin(? ? ? ) ?

1 ? , ? ? ? ? ,则 sin 2? 的值为 3 2

A. ?

4 2 2 2 2 2 B. ? C. 9 9 9

D.

4 2 9

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

A.2 B.

3 2

C.

5 8 D. 3 5

6. 一个底面为正方形的四棱锥,其三视图如图所示,若这个四棱锥的体积 为 2 ,则此四棱锥最长的侧棱长为

A.2 3 B. 11

C. 13

D. 10

7.等比数列 {an } 中, a2 ? 0 则 " a2 ? a5 " 是 " a3 ? a5 " 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ? 2 f (2) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线

x ? 1 对称,则 f (2) ?

A. 9、已知 为 A. B.

B.

C.

D.

是双曲线 的左、右焦点, 点 在 上, ?B ?

2? 3



,则 的离心率

C.
2

D.

10.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? 2cos x ? 1,将 f ( x ) 图像的横坐标伸长为原来的 2 倍, 再向左平移 概率为

?
2

个单位后得到函数 g ( x) ,在区间 [0, ? ] 上随机取一个数 x ,则 g ( x) ? 1 的

A.

1 1 1 1 B. C. D. 3 4 5 2

11.若函数 y=f(x)的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常 数 t,则称函数 y=f(x)为“t 函数”.下列函数中为“2 函数”的是
3 ①y=x-x

②y=x+e ③y=xlnx B.③④ C.①③

x

④y=x+cosx D.②④

A.① ②

12、已知向量 满足 别为 ,则 等于

,若

, 的最大值和最小值分

A.

B.2

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13、从某小学随机抽取 名同学,将他们的身高(单 位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若 要从身高在 三 组内的学生中,用分层抽样的方法选取 人参加 一项活动,则从身高在 内的学生中选取 的人数应为 14、 已知数列 ?an } 的各项都为正数, 前 n 项和为 Sn ,

若 {log 2 an } 是公差为 1 的等差数列,且 S5 =62 , 则 a2 =
15.已知四面体 ABCD 的所有棱长都为

,O 是该四面体内一点,且点 O 到平面 ABC、平面 ACD、 . 为抛物

平面 ABD、平面 BCD 的距离分别为 ,x, 和 y,则 + 的最小值是

16. 为抛物线 上一点,且在第一象限,过点 作 垂直该抛物线的准线于点 线的焦点, 为坐标原点, 若四边形 的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分 17.(本小题满分 12 分) , C的 对 边 , 如 图 , a , b, c 分 别 是 锐 角 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B

b s i nA? a c o s B =, a 2sin ?BAC ? .
(1)求 sin C 的值; (2)若点 D 在边 BC 上且 BD ? 3CD , ?ABC 的面积为 14,求 AD 的长度. 18. (本小题满分 12 分) 交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用(基 准保费)统一为 a 元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年车辆发生道路交 通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表: 交强险浮动因素和费率浮动比率表 浮动因素 A B C D E F 上一个年度未发生有责任道路交通事故 上两个年度未发生有责任道路交通事故 上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 浮动比率 下浮 10% 下浮 20% 下浮 30% 0% 上浮 10% 上浮 30%

4 5

某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况, 随机抽取了 70 辆车龄已满三年该品牌同 型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格: 类型 数量 A 10 B 13 C 7 D 20 E 14 F 6

(1)求一辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;

(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记 为事故车.假设购进一辆事故车亏损 6000 元,一辆非事故车盈利 10000 元,且各种投保类型车的频 率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题: ①若该销售商店内有 7 辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选 2 辆,求这 2 辆车恰好有一辆为事故车的概率; ②若该销售商一次性购进 70 辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值(结果用分 数表示). 19.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形,且 PA ? 平面 ABCD ,

?ABC ? 60 ,点 E 是 BC 中点,点 F 在线段 PD 上且满足 PF ? 2 FD ,

PA ? AB ? 2 . (1)证明: AE ? 面 PAD ; (2)求多面体 PAECF 的体积.
20、(本小题满分 12 分)

1 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过椭圆上顶点和右顶点的直线与 2 a b
圆O : x ? y ?
2 2

12 相切, O 为坐标原点. 7

(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )若斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点( A 在 x 轴上方) ,交 x 轴正半轴于 P 点 , 若

PB ? 3PA ? 0 ,求 ?AOB 的面积.

21.(本小题满分 12 分) 已知 a ? R , f ( x) ? (ax ? 1) ln x . (1)若 f ( x) ? x ? ln x ? x 在 [2, ??) 恒成立,求 a 的取值范围;
2

(2)若 f ( x ) 有两个极值点 ,

,求 a 的范围并证明 f ( x1 ) ? 4 .

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计 分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标

方程为 ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点

? ? x ? ?2 ? ? 的直线 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( 为参 t 2 t 2

数),
直线 与曲线 相交于 两点.

(1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程; (2)若 PA ? PB ? AB ,求 a 的值.
2

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 3x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x) ? 4? | x ? 1| (2)若 a ? 0 且 | x ? a | ? f ( x) ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

石室中学高 2018 届 2017-2018 学年下期二诊模拟考试 数学参考答案(文科)
一、选择题. 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 D 9 D 10 D 11 B 12 C

二、填空题. 13. 3 ; 三、解答题. 17. 解: (1)由题知 sin B sin A ? sin A cos B ? 2 sin A ,则 sin B ? cos B ? 2 , 14. 4 ; 15.

8 1 5 2 2 27 ;16. ( x ? )2 ? ( y ? ) ? 3 2 4 8

sin( B ? ) ? 1 ,因 B 为锐角,所以 B ? ……………………3 分, 4 4
4 3 由 sin ?BAC ? , 得 cos ?BAC ? 5 5

?

?

所以 sin C ? sin(?B ? ?BAC ) ?

7 2 …………………….6 分 10

(2)由正弦定理

BC sin ?BAC 4 2 ? ? AB sin C 7



1 BC ? AB ? sin B ? 14 , BC ? AB ? 28 2 ……………….8 分 2

解得 AB ? 7, BC ? 4 2 ……………………9 分 所以 BD ? 3 2 ,由余弦定理, AD ? AB ? BD ? 2 AB ? BD ? cos B ,
2 2 2

解得 AD ? 5 …………………………12 分 18. .(1) 一辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率为:

14+6 2 = ;…4 分 70 7

(2) ①由已知可得,7 辆(车龄已满三年)该品牌二手车中,有两辆事故车,记为 A1,A2 , 5 辆非事故车,分别记为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,从 7 辆车中任选两辆共有 21 种情况,其中恰好有一辆为 事故车共有 10 种情况,所以其概率为

10 . ……………8 分 21

②由已知可得,70 辆(车龄已满三年)该品牌二手车中,有 20 辆事故车, 50 辆非事故车,所以一 辆车盈利的平均值为:

20 ? ? -6000 ? +50 ?10000 38000 = 元. ……………12 分 120 7

19.(1)由 ABC D 是菱形,则 AB=BC,又 ?ABC ? 60 ,所以 ?ABC 是等边三角形,又 E 是 BC 中点,则 AE ? BC ,又 AD//BC ,则 AE ? AD , 由 PA ? 平面 ABCD ,得 AE ? AP , AP AD=A ,则 AE ? 面 PAD ;……………6 分

VPAECF =VP-ABCD -VP-ABE -VE-ACD
(2) = SABCD ? PA- SABE PA- SACD ( ……………12 分 ? PA)

1 1 1 3 3 3 4 3 3 2 3 7 3 = = 3 3 9 9

1 3

20.解: (1)设切线为 bx ? ay ? ab ? 0 ,则

?ab a ?b
2 2

?

12 7

x2 y 2 1 b2 2 2 C ? ? 1 ………5 分 又因为 e ? ? 1 ? 2 ,解得 a ? 4, b ? 3 ,所以椭圆 的方程 4 3 2 a

?x ? y ? n ? (2)设直线 l 为 x ? y ? n(n ? 0) ,联立 ? x 2 y 2 , ?1 ? ? 3 ?4
得 7 y 2 ? 6ny ? 3n2 ?12 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

y1 ? y2 ? ?

6n 3n 2 ? 12 , ②由 ? ? 0 ,可得 0 ? n2 ? 7 …….7 分 ① y1 y2 ? 7 7
3n 9n , y2 ? ? , 7 7

又因为 PB ? 3PA ? 0 ,可得 ?3 y1 ? y2 ③…………8 分由①③解得 y1 ?

代入②

7 7 ?27n 2 3n 2 ? 12 2 ? ,解得 n ? , n ? ,………10 分 49 7 4 2

S?AOB

1 6n 2 3 ? n ? ( y1 ? y2 ) ? ? ………12 分 2 7 2
x ?1 ……2 分 ln x

21. 解(1)由题: ax ln x ? ln x ? x 2 ? ln x ? x 得: a ?

1 ln x ? 1 ? x ?1 x 设 h( x ) ? ( x ? 2) , h '( x ) ? 2 (ln x ) ln x 1 1 1 x ?1 设: u ( x) ? ln x ? 1 ? , u '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 ( x ? 1) x x x x

? u ( x) 在 [1, ??) 单增,?u( x) ? u(1) ? 1 ? 0 ? h '( x) ? 0( x ? 1) …………………………4 分

? h( x) 在 [1, ??) 单增,? hmin ( x) ? h(2) ?

1 1 ……………………………………6 分 ?a ? ln 2 ln 2 1 ax ? 1 (2) f '( x) ? a ln x ? a ? , f ''( x ) ? ( x ? 0) , x x2
①若 a ? 0 时, 知: f '( x) 在 (0, ??) 单调递增,不合题… ②若 a ? 0 时, 知: f '( x) 在 (0, ? ) 单调递增,在 ( ? 只需要 f '(? ) ? a ln(? ) ? 2a ? 0 ??

1 a

1 , ??) 单调递减 a

1 a

1 a

1 ? e ?2 ? a ? ?e 2 ………………….9 分 a 1 ? x2 a

此时知道: f ( x ) 在 (0, x1 ) 单减, ( x1 , x2 ) 单增, ( x2 , ??) 单减, 且易知: 0 ? x1 ? ? 又由 f '( x1 ) ? 0 ? a ln x1 ? a ?

1 1 ? 0 ? ln x1 ? ?1 x1 ax1 1 1 ? 1) ? 2 ? ax1 ? ax1 ax1

? f ( x1 ) ? (ax1 ? 1) ln x1 ? (ax1 ? 1)(

又 ?1 ? ax1 ? 0 ? f ( x1 ) ? 4 …………………………………………………12 分

22. (1)由

=

整理得

=

,

∴曲线 的直角坐标方程为

=

,

直线 的普通方程为 =

…………………………………………………….5 分

(2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程

=

中,



,



两点对应的参数分别为

,则有

=

=

,



=

,∴

=



=



=



,解得

或者

(舍去),

∴ 的值为 1…………………………………………………………………………….10 分

23. (1)不等式 当 当 当 时, , 时, ,解之得 ,解之得 ,无解. …………………..5 分 ;





综上,不等式的解集为

(2)令

,则



时,



欲使不等式恒成立,只需 又因为 ,所以 ,即

,即

. .………………………10 分


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