优选教育第一部分第二章第一课时等比数列的概念及通项公式.ppt_图文


第一



2.3

课时

二 章

等 比

等比 数列

数 列

数 列

的概 念及 通项

公式

理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练

知识点一
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分析下面几个数列 (1)12,14,18,116,… (2)一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,通 过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮, 邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下, 这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1,20,202,203,….
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(3)某人年初投资10 000元,如果年收益率是5%, 那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05,10 000×1.052,…,10 000×1.055,
问题1:上面数列是等差数列吗? 提示:不是. 问题2:以上数列中后项与前项的比有何特点? 提示:每一个数列后项与前项的比都等于同一常数.
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等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 比等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数 列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示.
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等比数列{an}的公比为 q,由定义知,aa12=q,aa23 =q,aa43=q,…aan-n1=q,有 n-1 个式子. 问题 1:q 能等于 0 吗?
提示:q≠0.
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问题2:这n-1个式子相乘后的结果是什么?能求出an吗? 提示:aan1=qn-1;an=a1·qn-1. 问题3:an的表达式与哪种函数相类似? 提示:指数型函数,因为 an=aq1·qn.
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等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{an},有an= a1qn-1 ,其 中a1为首项,q为公比.
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1.对等比数列的定义的理解 (1)“从第2项起”有两层含义,第一层是第一 项没有“前一项”,第二层是包含第一项后的所有项. (2)“每一项与前一项的比”意思也有两层,第一层 指相邻的两项之间,第二层指后项与前项的比.
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2.等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q,可以确定一个等比数列. (2)在公式an=a1qn-1中,有an,a1,q,n四个 量,已知其中任意三个量,可以求得第四个量.
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[例 1] 设数列{an}满足 a1=1,an+2an-1+3= 0(n≥2).判断数列{an+1}是否是等比数列?
[思路点拨] 按照等比数列的定义,只需判断 aan+n+1+11是否是常数,注意条件的应用
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[精解详析] 由题意知 an+1+2an+3=0(n≥1)成立, ∴an+1=-2an-3.∴aan+n+1+11=-2aann+-13+1=-2(常数). 又 a1+1=2, ∴数列{an+1}是以 2 为首项,以-2 为公比的等比数列.
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[一点通] 判定数列是等比数列常用方法: (1)定义法:aan+n1=q(常数)或aan-n 1=q(常数)(n≥2)?{an} 为等比数列. (2)通项法:an=a1·qn-1(其中 a1,q 为非零常数, n∈N*)?{an}为等比数列. 说明:做为解答题,一般用定义法证明.
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1.下面所给四个数列,是等比数列的是________.

①2,4,8,16,20

②2,4,6,8,10

③2,4,8,16,32

④1,-1,1,-1.

解析:①②不是等比数列,

③④是等比数列,公比是2和-1.

答案:③④

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2.已知数列{an}中,a1=2,2an-an-1+1= 0(n≥2). (1)判断数列{an+1}是否为等比数列?并说明理由; (2)求an.
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解:(1)∵a1=1,2an-an-1+1=0(n≥2), ∴2an=an-1-1. ∴2(an+1)=an-1+1,即aan-n+1+11=12. ∴数列{an+1}是以 3 为首项,12为公比的等比数列. (2)由(1)得 an+1=3·(12)n-1,即 an=3·(12)n-1-1.
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[例 2] 等比数列{an}中,a2=-13,a6=-27, 求{an}的通项公式.
[思路点拨] 利用通项公式求出 a1,q 得{an} 的通项公式.
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[精解详析] 法一:设等比数列{an}的公比为 q,由

已知得???a1q=-13

,解得???a1=-19 或???a1=19

.

??a1q5=-27

??q=3

??q=-3

∴{an}的通项公式是 an=-19·3n-1

或 an=19·(-3)n-1. 即 an=-3n-3 或 an=(-1)n-1·3n-3.

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法二:∵a6=a2·q4,∴-27=-13·q4. ∴q4=81,∴q=±3, 根据 an=a2·qn-2,有 an=-13·3n-2 或 an=-13·(-3)n-2, 即 an=-3n-3 或 an=(-1)n-1·3n-3.

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[一点通] (1)a1 和 q 是等比数列的基本量,只要求 出 a1 和 q 通项公式就可求,求 a1 和 q 常采用解方程组 法.
(2)在等比数列中已知 am(m≠1)时,求出公比,利 用 an=amqn-m 求通项即可,不必再求 a1.
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3.(2011·广州一测)各项都为正数的等比数列{an}中, a1=2,a6=a1a2a3,则公比q的值为________. 解析:由已知得 a1q5=a·q·q2, ∴2·q5=8·q3. ∵q>0, ∴q2=4. ∴q=2. 答案:2
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4.在等比数列{an}中,已知 a3+a6=36,a4+a7=18, an=12,求 n. 解:法一:∵a3+a6=36,a4+a7=18, ∴a1q2+a1q5=36,① a1q3+a1q6=18,② ② ①得 q=12,∴14a1+312a1=36,∴a1=128,
而 an=a1qn-1,∴12=128×(12)n-1,∴n=9.
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法二:∵a4+a7=a3q+a6q=q(a3+a6), ∴q=aa43++aa76=1386=12,而 a3+a6=a3(1+q3), ∴a3=a13++qa36=1+3618=32. ∵an=a3qn-3,∴12=32(12)n-3,∴n=9.
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[例3] 从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒了1升然后 添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀,如 此继续下去,问:第n次操作后溶液的浓度是多少?若a= 2时,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
[思路点拨] 本题可设第 n 次操作后的浓度为 an, 第 n+1 次操作后的浓度为 an+1,根据题意可得到 an+1= an(1-1a).
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[精解详析] 设开始的浓度为 1,操作一次后溶 液浓度 a1=1-1a,设操作 n 次后溶液的浓度为 an, 则操作 n+1 次后溶液的浓度为 an+1=an(1-1a).从 而建立了递推关系.
∴{an}是以 a1=1-1a为首项,公比为 q=1-1a的 等比数列.
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∴an=a1qn-1=(1-1a)n. 即第 n 次操作后酒精的浓度是(1-1a)n. 当 a=2 时,由 an=(12)n<110,解得 n≥4. 故至少应操作 4 次后才能使酒精浓度小于 10%.
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[一点通] 数列实际应用题常与现实生活和生产 实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类 问题的核心,常用的方法有:(1)构造等差、等比数列 的模型,然后用数列的通项公式或求和公式解;(2)通 过归纳得到结论,再用数列知识求解.
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5.某单位某年十二月份的产值是同一年一月 份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增 长率是________.
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解析:由题意知,这一年中的每一个月的产值成等比数 列,设一月份的产值为 a1,则十二月份产值为 a12,设 平均增长率为 x,则 a1(1+x)11= a12,∵(1+x)11=aa112= m.∴x=11 m-1.即此年的月平均增长率为11 m-1. 答案:11 m-1
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6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报 告,1999年上海市完成GDP(GDP是国民生产总值) 4035亿元,2000年上海市GDP预期增长9%,市委、 市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制 在0.08%,若GDP与人口按这样的速度增长,则要 使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍,至少需 要多少年?(按1999年本市常住人口总数约1 300万计 算)(lg 3=0.477 1,lg 2=0.301 0)
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解:上海市每年人口总数组成数列{an},每年 GDP 组成数列

{bn},依题意数列{an}、{bn}均为等比数列,年人均 GDP 组成

数列{bann},也是等比数列,且{bann}的首项为ba11,公比 q=1+1+0.90%8%.

设 n 年后市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍.

则(ba11)·(1+1+0.90%8%)n≥2·ab11,得

n≥lg1l.10g.02009

,即 8

n≥9,故要使

本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍至少需要 9 年.

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1.如何理解等比数列的定义: (1)注意一些关键词:从第2项起、每一项与它的前一 项的比、同一个常数. (2)我们要强调一点:“公比q≠0”,等比数列的每一项 都不为0,即an≠0,若公比q或数列中的某一项为0,都会 使得定义中的后一项与前一项的比值没有意义.
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2.等比数列的通项公式: 在通项公式an=a1qn-1中,有四个量a1、n、q、 an, 已知其中三个可求另一个,或已知两个量,通过构造方 程(组)达到求解的目的,在等比数列中,公式an=amqn- m也称为通项公式.
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