2015年河南省普通高中招生考试数学试题与参考答案及评分标准(word)


2015 年河南省普通高中招生考试试卷


注意事项: 圆珠笔直接答在试卷上. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一 题号 1~8 二 9~15 16 17 18 19



1. 本试卷共 8 页,三个大题,满分 120 分,考试时间 100 分钟. 请用蓝、黑色水笔或

三 20 21 22 23 总分

分数

得分

评卷人

一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案 的代号字母填入题后括号内. 【 (C) π 】

1. 下列各数中最大的数是 ( A)5 (B) 3

(D)-8 【 】

2. 如图所示的几何体的俯视图是

3. 据统计,2014 年我国高新技术产品出口总额达 40 570 亿元. 将数据 40 570 亿用科学记数 法表示为【 】 (B) 0.40570× 1010 (C) 40.570× 1011 (D)4.0570× 1012

(A) 4.0570× 10 9

4. 如图,直线 a ,b 被直线 c,d 所截,若∠1=∠2,∠3=125° ,则 ∠4 的度数为【 (A) 55° 】 (B) 60° (C) 70° (D) 75°

5. 不等式组 ?

? x ? 5 ? 0, 的解集在数轴上表示为 ?3 ? x ? 1





6. 小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分,80 分,90 分, 若依次按照 2:3:5 的比例确定成绩,则小王的成绩是 (A) 255 分 (B)84 分 (C)84.5 分 【 (D)86 分 】

7. 如图,在 ? ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于 点 E. 若 BF=6,AB=5,则 AE 的长为 (A)4 (B) 6 (C) 8 【 (D) 10 】

8. 如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为 1 个单位长度的半圆 O1, O2,O3,? 组成一条平滑的曲线. 点 P 从原点 O 出发,沿这条曲线 向右运动,速度为每秒 ( A)(2014,0) ( C )(2015,1)

? 个单位长度,则第 2015 秒时,点 P 的坐标是【 2
( B )(2015,-1)



( D )(2016,0)

得分

评卷人

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分)

9. 计算:(-3) 0+3-1 =

.

10. 如图,△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,DE//AC. 若 DB=4,DA=2,BE=3,则 EC = 11. 如图,直线 y=kx 与双曲线 y ? = . .

2 ( x ? 0) 交于点 A(1,a) ,则 k x

12. 已知点 A(4,y1) ,B( 2 ,y2) ,C(-2,y3)都在二次函数

y = (x-2)2-1 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是

.

13. 现有四张分别标有数字 1,2,2,3 的卡片,它们除数字外完全相同. 把卡片背面朝上洗 匀,从中随机抽取一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,则两次抽出的卡 片所标数字不同的概率是 .

? 于点 E. 以点 14. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=90° ,点 C 为 OA 的中点,CE⊥OA 交 AB

? 交 OB 于点 D. 若 OA=2,则阴影部分的面积为 O 为圆心, OC 的长为半径作 CD

.

15. 如图,正方形 ABCD 的边长是 16,点 E 在边 AB 上,AE=3,点 F 是边 BC 上不与点 B, C 重合的一个动点,把△EBF 沿 EF 折叠, 点 B 落在 B′ 处,若△CDB′ 恰为等腰三角形, 则 DB′ 的长为 .

三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 得分 评卷人 16.(8 分)先化简,再求值:

a 2 ? 2ab ? b2 1 1 ? ( ? ) ,其中 a ? 5 ? 1 , b ? 5 ? 1 . 2a ? 2b b a

得分

评卷人

17.(9 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点,延长 BP 到点 C,使 PC=PB,D 是 AC 的中点,

连接 PD,PO. (1)求证:△CDP∽△POB; (2)填空: ① 若 AB=4 , 则 四 边 形 AOPD 的 最 大 面 积 为 ; ② 连接 OD,当∠PBA 的度数为 时,四边形 BPDO 是菱形.

得分

评卷人 18.(9 分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径” ,某市记者开展 了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.

根据以上信息解答下列问题: (1)这次接受调查的市民总人数是 ; ;

(2)扇形统计图中, “电视”所对应的圆心角的度数是 (3)请补全条形统计图;

(4) 若该市约有 80 万人, 请你估计其中将电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径” 的总人数.

得分

评卷人 19.(9 分)已知关于 x 的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. (1)求证:对于任意实数 m,方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程的一个根是 1,求 m 的值及方程的另一个根.

得分

评卷人

20.(9 分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度,他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30° ,朝大树 方向下坡走 6 米到达坡底 A 处, 在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48° .

若坡角∠FAE=30° ,求大树的高度 . (结果保留 整数,参考数据: sin48°≈0.74 , cos48°≈0.67 , tan48°≈1.11, 3 ≈1.73)

得分

评卷人

21.(10 分)某游泳馆普通票价 20 元/张,暑假为了促销,新推出两 种优惠卡: ① 金卡售价 600 元/张,每次凭卡不再收费;

② 银卡售价 150 元/张,每次凭卡另收 10 元. 暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数. 设游泳 x 次时,所需 总费用为 y 元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y 与 x 之间的函数关系式; (2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点 A、B、 C 的坐标; (3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.

得分

评卷人

22.(10 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B=90° ,BC=2AB=8,点 D, E 分别是边 BC, AC 的中点, 连接 DE. 将△EDC 绕点 C 按顺时针方 向旋转,记旋转角为 α.

(1)问题发现 ① 当 ? ? 0? 时, (2)拓展探究 试判断:当 0°≤α<360° 时, (3)问题解决 当△EDC 旋转至 A,D,E 三点共线时,直接写出线段 BD 的长.

AE AE ? _____ ;② 当 ? ? 180 ? 时, ? _____ . BD BD AE 的大小有无变化?请仅就图 2 的情况给出证明. BD

得分

评卷人

23.(11 分)如图,边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上,以 点 C 为顶点的抛物线经过点 A,点 P 是抛物线上点 A,C 间的一个 动点(含端点) ,过点 P 作 PF⊥BC 于点 F. 点 D,E 的坐标分别为

(0,6) , (-4,0) ,连接 PD,PE,DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; (2) 小明探究点 P 的位置发现: 当点 P 与点 A 或点 C 重合时, PD 与 PF 的差为定值. 进 而猜想:对于任意一点 P,PD 与 PF 的差为定值. 请你判断该猜想是否正确,并 说明理由; (3)小明进一步探究得出结论:若将“使△ PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点” , 则存在多个“好点” ,且使△ PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标.

2015 年河南省普通高中招生考试

数学试题参考答案及评分标准
说明: 1.如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同, 可根据提供的解法的评分标准精神进 行评分. 2.评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅 . 如果考生的解答在某一步出现错误, 影响后继部分而未改变本题的内容和难度, 视影响的程 度决定对后面给分的多少,但原则上不超过后继部分应得分数之半. 3.评分标准中,如无特殊说明,均为累 计给分. 4.评分过 程中,只给整数分数. 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 D 7 C 8 B

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 题号 答案 9 10 11 2 12 13
[来源:学科网]

14

15 16 或 4 5

4 3

3 2

y2 ? y1 ? y3

5 8

π 3 ? 12 2

三、解答题(本大题 8 分,共 75 分) 16. 原式=
2 (a ? b) a ?b ……………………………………………………4 分 ? 2(a ? b) ab

a ? b ab ? 2 a ?b ab = .……………………………………………………6 分 2
= 当 a ? 5 ? 1, b ? 5 ?1 时,原式=

( 5 ?1 ) ( 5 ? 1) 5 ? 1 ? ? 2 .…………8 分 2 2

17. (1) ∵点 D 是 AC 的中点,且 PC=PB, ∴DP∥AB, DP ? ∵ OB ?

1 AB ,∴∠CPD=∠PBO. ……………………………………3 分 2
∴△CDP≌△POB(SAS).………………………5 分

1 AB , ∴DP=OB. 2

(2)① 4 ;………………………………………………………………7 分 ② 60° .(注:若填为 60,不扣分)……………………………………9 分

18. (1)1000.………………………2 分 (2)54° .(注:若填为 54,不扣分)………………………………………………4 分 (3) (按人数为 100 正确补全条形图) ;??????????????6 分 (4) 80 ? ? 26 0 0 ? 40 0 0 ? ? 80 ? 66 0 0 ? 52.8(万人) . 所以估计该市其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约 为 52.8 万人. ??????????????9 分 19. (1)原方程可化为 x2 ? 5x ? 6 ? m ? 0 . ??????????1 分 ∴ ? ? (?5)2 ? 4 ?1? (6 ? m ) ? 25 ? 24 ? 4 m ? 1? m . ??????3 分 ∵ m ? 0, ∴1? m ? 0 .

∴对于任意实数 m,方程总有两个不相等的实数根. ????????4 分 (2)把代入 x ? 1 原方程,得 m ? 2 . ∴ m ? ?2 . ????????6 分 把 m ? 2 代入原方程,得 x ? 5x ? 4 ? 0 .
2

∴ x1 ? 1, x2 ? 4 .

∴m 的值为 ?2 ,方程的另一个根是 4. ??????????9 分 20. 延长 BD 交 AE 于点 G,过点 D 作 DH ⊥AE 于点 H. 由题意知:∠DAE =∠BGA=30° , DA=6,∴GD=DA=6. ∴GH=AH=DA ? cos30° =6 ?

3 ?3 3. 2

∴GA= 6 3 . ??????2 分

设 BC 的长为 x 米,在 Rt△GBC 中, GC= 在 Rt△ABC 中,AC=

BC x ? ? 3 x. ????4 分 tan ?BGC tan 30?

BC x ? . ????????????6 分 tan ?BAC tan 48? x ? 6 3 . ??????????8 分 ∵GC-AC=GA, ∴ 3 x ? tan 48?
∴ x ? 13 . 即大树的高度约为 13 米. ????????????10 分

21.(1) 银卡: y ? 10 x ? 150 ;????????????1 分 普通票: y ? 20 x . ??????????????2 分 (2)把 x ? 0 代入 y ? 10 x ? 150 ,得 y ? 150 . ∴A(0,150). ?????3 分

由题意知 ?

? y ? 20 x, ? y ? 10 x ? 150.

∴?

? x ? 15, ? y ? 300.

∴B(15,300). ????????4 分

把 y ? 600 代入 y ? 10 x ? 150 ,得 x ? 45 . ∴C(45,600). ????????5 分 (3)当 0 < x <15 时,选择购买普通票更合算; (注:若写为 0 ? x <15,不扣分) 当 x =15 时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算; 当 15 < x <45 时,选择购买银卡更合算; 当 x =45 时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比购买普通票合算; 当 x > 45 时 , 选 择 购 买 金 卡 更 合

算. ????????????10 分 22. ( 1 )① 分 ②

5 ; ………………………………………………1 2

5 .……………………………………………………2 分 2

(2)无变化.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)??????3 分 在图 1 中,∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE//AB. ∴

CE CD ? , ?EDC ? ?B ? 90? . CA CB

如图 2,∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变, ∴

CE CD ? 仍然成立.?????????4 分 CA CB AE AC ? .????????????6 分 BD BC

又∵ ?ACE ? ?BCD ? ? , ∴ V ACE : V BCD . ∴ 在 Rt△ABC 中, AC ? ∴

AB2 ? BC2 ? 42 ? 82 ? 4 5.


AC 4 5 5 ? ? . BC 8 2

AE 5 ? . BD 2



AE 的大小不变. ??????8 分 BD

(3) 4 5 或

12 5 . ??????????????10 分 5

【提示】当△EDC 在 BC 上方,且 A,D,E 三点共线时,四边形 ABCD 为矩形 ∴BD=AC= 4 5 ;当△EDC 在 BC 下方,且 A,E,D 三点共线时,△ADC 为直角三角形,

由勾股定理可求得 AD=8,∴AE=6,根据

5 12 5 AE = 可求得 BD = . 5 BD 2

23.(1)抛物线的解析式为: y ? ? (2)正确. 理由: 设

1 2 x ? 8 .…………………………………………3 分 8
A

A

D

E
F B

B
P ? x, ?

C

E D

C

? ?

1 2 ? x ? 8? , 8 ?

则 PF= 8 ? ? ? x 2 ? 8 ? ?

? 1 ? 8

? ?

1 2 x . ????4 分 8

过点 P 作 PM ? y 轴于点 M . 则 PD2 ? PM 2 ? DM 2 ? (? x)2 ? ?6 ? (? x 2 ? 8) ?

? ?

1 8

? ?

2

1 4 1 2 1 1 x? x? 4 ? ( x2 ? 2 ). 2 ∴ PD ? x 2 ? 2 . 64 2 8 8 1 2 1 2 ∴ PD ? PF ? x ? 2 ? x ? 2 . ∴猜想正确. ????????7 分 8 8 P D2 ?
(3)好点共 11 个;????????9 分 在点 P 运动时,DE 的长度不变,∴PE 与 PD 的和最小时,

△PDE 的周长最小. ∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2. 当 P,E,F 三点共线时,PE+PF 最小. 此时,点 P,E 的横坐标为-4,将 x=-4 代入 y ? ?

1 2 x ? 8 ,得 y=6. 8

∴P(-4,6) ,此时△PDE 周长最小,且△PDE 的面积为 12,点 P 恰为“好点”. ∴△PDE 周长最小时点 P 的坐标为(-4,6). ??????????11 分 【提示】△PDE 的面积 S = ?

1 2 1 x ? 3x ? 4 ? ? ( x ? 6) 2 ? 13. 由于-8≤x≤0,可得 4≤S≤13, 4 4

所以 S 的整数值为 10 个. 由图象可知,当 S=12 时,对应的“好点”有 2 个,所以“好点”共有 11 个.


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