20192012届高考数学一轮复习课件空间几何体的结构及三视图、直观图.ppt_图文


1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结 构特征,理解柱、锥、台、球的结构特征. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,会用斜 二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法,画出 简单空间图形的三视图与直观图,了解空间 图形的不同表示形式. 4.能识别三视图所表示的空间几何体;理解 三视图和直观图的联系,并能进行转化.

1.   下列说法中正确的是 ? 四边形的几何体是棱柱

?

A.有两个面互相平行,其余各面都是平行 B.用一个平面去截一个圆锥,可以得到一 个圆台和一个圆锥 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角 形的几何体是棱锥 D.将一个直角三角形绕其一条直角边旋转 一周,所得圆锥的母线长等于斜边长

解析: 由棱柱、圆锥、棱锥的定义知, A、B、C不正确,故选D.

  2.下图 1是由哪个平面图形旋转得到的?

?

解析: 圆台是直角梯形绕其一直角边 旋转而成,圆锥是直角三角形绕其一 直角边旋转而成,故选A.

3.某几何体的直观图如图所示, 该几何体的主(正)视图和左 (侧)视图都正确的是 ?
A

?
B

C

D

解析: 视图应有一条实对角线, 且对角线应由上到下,左视时, 看到一个矩形,且不能有实对角线, 故淘汰A、D,故选B.

4.已知正三角形ABC的边长为a, 那么?ABC的平面直观图?A?B?C? 的面积为   .

解析: 如图,图①、图②所示的分别是实际 图形和直观图.从图②可知,A? B? ? AB ? a, 1 3 6 O?C ? ? OC ? a,所以C ? D? ? O?C ? sin 45? ? a, 2 4 8 1 1 6 6 2 所以S ? A? B ?C ? ? A? B?? C ? D? ? ? a ? a? a . 2 2 8 16

5.如图是一个空间几何体的三视图, 若它的体积是3, 则a ? .

解析: 由三视图可知 几何体为一个直三棱柱, 底面三角形中,边长为2的边上的高为a, 1 则V ? 3 ? ? 2 ? a ? 3 3,所以a ? 3. 2

1 .柱、锥、台、球的结构特征
几何体 多面体 有两个面互相平行,其余 各面都是四边形,并且每 相邻两个四边形的公共边 都互相平行 有一个面是多边形,其余 各面都是有一个公共顶点 的三角形 用一个平行于棱锥底面的 平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分,叫做棱台 几何特征 图形

棱柱

棱锥

棱台

几何体 旋转体 圆柱

几何特征

图形

以矩形的一边所在的直线为旋转 轴,其余三边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆柱
以直角三角形的一直角边所在的 直线为旋转轴,其余两边旋转形 成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面与截面之间的部分, 叫做圆台 以半圆的直径所在的直线为旋转 轴,半圆面旋转一周形成的旋转 体叫做球体

圆锥

圆台



2.棱柱的分类

?1? 按侧棱与底面的位置关系可分为① _____ ,
侧棱垂直于底面的棱柱叫做② __________.

? 2 ? 按底面多边形的边数可分为:三棱柱、四棱柱??.
3.三视图与直观图

?1? 我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做
③ ______ ;在一束平行光照射下形成的投影, 叫做④ ________ .在平行投影中,投影线正对 着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影.

? 2 ? 空间几何体的三视图:
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影 图叫做几何体的⑤ ________ ;光线从几何体的 左面向右面正投影得到的投影图叫做几何体的 ⑥ ________ ;光线从几何体的上面向下面正 投影得到的投影图叫做几何体的⑦ ________ .

? 3? 画三视图的基本要求是⑧ ______________
高度一样,⑨ ________ 长度一样, _______ 宽度一样.

? 4 ? 斜二测画法的规则
ⅰ在已知图中建立直角坐标系 () xOy,画直观 图时,它们分别对应x?轴和y?轴,两轴交于 点O?,使?x?O? y? ? 45?,它们确定的平面表 示水平面. (ⅱ已知图形中平行于 ) x轴或y轴的线段在直 观图中分别画成 直观图中 _____________ . (ⅲ)已知图形中平行于x轴的线段的长度,在 ________ ;平行与y轴的线段的 __________. 长度,在直观图中,长度为

【要点指南】 ①直棱柱和斜棱柱;②直棱柱; ③中心投影;④平行投影; ⑤正视图;⑥侧视图;⑦俯视图; ⑧正视图和侧视图;⑨俯视图和正视图; 侧视图和俯视图; 平行于x?轴或y?轴; 长度不变; 原来的一半

题型一 空间几何体的结构

例1. 平面内的一个四边形为平行四边形的 充要条件有多个,如两组对边分别平行, 类似地,写出空间中的一个四棱柱为平 行六面体的两个充要条件: 充要条件① ________________ ; 充要条件② ________________ .

分析: 利用类比推理中“线 ? 面”再验证 一下所给出的条件是否正确即可.
解析: 平行六面体实质是把一个平行四边形 按某一方向平移所形成的几何体,因此“平行 四边形”与“平行六面体”有着性质上的“相似性”.
-

平行四边形 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 对角线互相平分 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点且互相平分
-

平行六面体

两组相对侧面分别平行

答案:两组相对侧面分别平行;一组相对侧 面平行且全等;对角线交于一点且互相平行; 底面是平行四边形(任选两个即可).

素材1: (2010 ? 辽宁卷)有四根长都为2的直铁条, 若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁 条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的 铁架,则a的取值范围是 ? A., (0 6 ? 2) C. ( 6 ? 2,6 ? 2)

?
B. (1, 2 2) D. (0, 2 2)

解析: 根据条件,四根长为2的直铁条与 两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架, 有以下两种情况:

?1? 底面是边长为2的正三角形,三条侧棱长
为2,a,a,如图,此时a可以取最大值, 可知AD ? 3,SD ? a ? 1,
2

则有 a 2 ? 1 ? 2 ? 3, 即a 2 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2 ) 2 , 即有a ? 6 ? 2 .

解析: ? 2 ? 构成三棱锥的两条对边长为a, 其他各边长为2,如图所示,此时a ? 0 .综上分析,可知a ? (0,6 ? 2).

题型二

空间几何体的三视图

例2.将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C 分别是?GHI 三边的中点)得到几何体如图2,则该 几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(     )

解析: 在图2的右边放扇墙(心中有墙), 根据几何体的形状,再结合左视图的特 点,可以得到结果.故答案选A.

评析:当空间几何体的某个面垂直于 投影面时,这个面的投影就是一条线 段;当空间几何体的某条棱垂直于投 影面时,这个棱的投影就是一个点.

素材2.(2010 ? 广东卷)如右图,?ABC为正 三角形,AA?//BB?//CC?,CC? ? 平面ABC, 3 且3 AA? ? BB? ? CC? ? AB,则多面体 2 ABC ? A?B?C?的正视图(也称主视图)是 ?

?

解析: 由题意知A? A ? B?B ? C?C, 故正视图为选项D.

题型三

空间几何体的直观图

例3.如图是一个几何体的三视图, 用斜二测画法画出它的直观图.

分析: 三视图 ? 确定几何体结构 ? 画直观图.
解析: 由三视图知该几何体是一个简单的组合体, 它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥. 画法:

?1? 画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,
使?xOy ? 45?,?xOz ? 90?.

? 2 ? 画底面.利用斜二测画法画出底面ABCD,
在z轴上截取O?使OO?等于三视图中相应高度, 过O?作Ox的平行线O? x?,Oy的平行线O? y?, 利用O? x?与O? y?画出底面A? B?C ? D?;

解析: ? 3? 画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P, 使PO?等于三视图中相应的高度;

? 4 ? 成图.连接PA?、PB?、PC?、PD?、AA?、B?B、
C?C、D? D,整理得到三视图表示的几何体的 直观图如图②所示.

素材3.如图,正方形OABC的 边长为1 cm,它是水平放置 的一个平面图形的直观图, 则原图形的周长是( ) A. 8 cm   B. 6 cm C. 2(1 ? 3) cm   D. 2(1 ? 2) cm

解析: 将直观图还原为平面图形,如下图. 可知周长为8 cm,故选A.

题型四

空间几何体的简单组合

例4.两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可 放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与 正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的 面上,则这样的几何体体积的可能值有(    A. 1个 C. 3个 D.无穷多个 B.个 2 )

解析: 由于两个正四棱锥相同,所以 所求几何体的中心在正四棱锥底面正方 形ABCD中心,由对称性知正四棱锥的 高为正方体棱长的一半,影响几何体体 积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积,问题转化为边长为1的正方形的 内接正方形有多少种,所以选D.

评析:本题主要考查空间想象能力, 以及正四棱锥的体积.正方体是大 家熟悉的几何体,它的一些内接或 外接图形需要一定的空间想象能力, 要学会将空间问题向平面问题转化.

素材4.棱长为2的正四面体的 四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如 图所示,求图中三角形(正四 面体的截面)的面积.
分析: 截面过正四面体的两顶点 及球心,则必过对棱的中点.

解析: 如图,?ABE为题中的三角形, 3 2 2 3 由已知得AB ? 2,BE ? 2 ? ? 3,BF ? BE ? , 2 3 3 4 8 2 2 所以AF ? AB ? BF ? 4 ? ? , 3 3 1 1 8 所以?ABE的面积为S ? ? BE ? AF ? ? 3 ? ? 2. 2 2 3

评析:解决这类问题的关键是准确分析 出组合体的结构特征,发挥自己的空间 想象能力,把立体图和截面图对照分析, 找出几何体中的数量关系.与球有关的 截面问题为了增加图形的直观性,解题 时常常画一个截面圆起衬托作用.

备选例题 有一根长为3? cm,底面半径为1 cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈, 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两 端,则铁丝的最短长度为多少?

分析: 把圆柱沿这条母线展开,将问 题转化为平面上两点间的最短距离.

解析: 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开, 在平面上得到矩形ABCD (如图), 由题意知BC ? 3? cm, AB ? 4? cm, 点A与点C分 别是铁丝的 起、止位置, 故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. AC ? AB 2 ? BC 2 ? 5? cm, 故铁丝的最短长度为5? cm.

1.理解柱、锥、台、球的概念及结构特征,并 能善于运用这些特征描述简单几何体的结构. 2.三视图的识别规则是“长对正,高平齐,宽相 等”.另外还要注意找出相邻几何体的分界线,若 分界线可见,则画成实线;若不可见,则画成虚线. 3.球的截面问题要抓住关系式R 2 ? r 2 ? d 2, 其中R是球的半径,r是截面圆的半径,d 是 球心与截面圆圆心的距离.

4.对于与球有关的接、切组合体问题,通过 画出它们的轴截面等平面图形去分析,从而 得出它们的几何特征,找到它们的元素之间 的关系,比如正方体、长方体内接于球,其 体对角线即为球的直径等. 5.将空间图形转化为平面图形问题是解决立 体几何问题的最基本、最常用的方法.

已知四棱锥P ? ABCD水平 放置如图,且底面ABCD 是边长为2 cm的正方形, 侧棱PA ? 底面ABCD, PA ? AB,试画出该 几何体的三视图.

错解:

错解分析: 本题错在忽略了三视图的 形成过程.虽然,三个图的形状画对 了,但是侧视图的直角顶点画错.

正解: 该几何体的三视图如下:


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