人教版高中数学必修二2.3.3《直线与平面垂直的性质》ppt模板_图文


1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定 1、直线与平面垂直的定义 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,我们就说这条 直线和这个平面互相垂直. 2、直线与平面垂直的判定 如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂 直于这个平面. a ?? b , m ??? ? n ?? ? ? m ? n ? B? ? l ? ? l?m ? ? l?n ? ? a ?? ? b ?? 1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论,也请一个同 学叙述一下. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条 也垂直于同一个平面. 2.请将上述命题用数学符号表示出来. 若a∥b,a⊥α,则b⊥α. 这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理。现 在请同学们交换这个定理的题设和结论,写出新的命题. 若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 下面就让我们看看这个命题是否正确? 如图,已知直线a,b和平面α,如果a⊥α,b⊥α那 么,直线a,b一定平行吗? 研探新知: 请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形. 已知:a⊥α, b⊥α 求证:a∥b. 分析:a、b是空间中的两条直线,要证明它们互相平行, 一般先证明它们共面,然后转化为平面几何中的平行判定 问题,但这个命题的条件比较简单,想说明a、b共面就很 困难了,更何况还要证明平行. 我们能否从另一个角度来证明,比如,a、b不平行会有什么矛盾?这就是 我们提到过的反证法. 问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗? 答:否定结论→推出矛盾→肯定结论 引导:第一步,我们做一个反面的假设,假定b与a不平行,现在应该要推 出矛盾,从已知条件中的垂直关系,让我们想起例题1,在这个例题的已知 条件中,平面有一条垂线,垂线有一条平行线,因此需要添加一条辅助 线.层层推进,得出证明过程如下: 证明:假定b与a不平行 设b∩α=O,b′是经过点O 与直线a平行的直线, ∵ a∥b′,a⊥α,∴b′⊥α. 所以,经过同一点O的两条直线b,b′都垂直于 平面α。 显然这是不可能的. 因此,a∥b. 直线与平面垂直的性质 (1)基本性质 一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的任 意直线 l m l ? ?, m ? ? ? l ? m (2)性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 m ? l m⊥ ? l ⊥? } m // l (3)性质定理 两条平行线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直 于这个平面; m // l m⊥ ? } l ⊥? (4)性质定理 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 l α β l ⊥? l ⊥ } β α // β (5)性质定理 两个平行平面中的一个垂直于一条直线, 则另一个平面也垂直于这条直线 α // β l ⊥β l ⊥? } 练习 1、如图PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是 A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD D. PA⊥BD P A 2、已知a、b是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的 平面,给出下列四个命题: ?若a⊥α,a⊥β,则α∥β; ? 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ?若α∥β,a?α,b?β,则a∥b; ?若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b。其中正确命题的序号是 ( ) A. ?? B. ?? C. ?? D. ?? ( ) C D O B C D 由此,我们得到: 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平 面,那么这两条直线平行. 指出:判定两条直线平行的方法很多,直线与平面垂直的性质定理告诉我们, 可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。直线与平面垂直的性 质定理揭示了“平行”与 “垂直”之间的内在联系。 学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理,我们再来看看点到平面的 距离的定义: · 从平面外一点引一个平面的垂线,这 个点和垂足间的距离叫做这个点到这 个平面的距离. 例题分析,巩固新知: ABCD ? A ' B ' C ' D ' 例1:设直线a,b分别在正方体 中两个不同的平面内,欲使a//b,a,b应满足什么条件? 分析:结合两直线平行的判定定理,考虑a, b满足的条件。 解:a,b满足下面条件中的任何 一个,都能使a∥b, (1)a,b同垂直于正方体一个面; (2)a,b分别在正方体两个相对的 面内且共面; (3)a,b平行于同一条棱; (4)如图,E,F,G,H分别为B'C’,CC’,AA’,AD的中点,EF所在 的直线为a,GH所在直线为b,等等。 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 P O A a ? 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直 P O A a ? 已知 : ? ? ? = CD, EA ? ? , EB ? ? . 求证 : CD ? AB . E A ? D B ? C 谢谢观看! 巩固深化、发展思维 思考:已知平面α、β和直线a,若α⊥β, a⊥β,则直线a与平面α具有什么位置关系? 归纳小结: 本节课,我们学习了直线和平面垂直的性质定理,以及点到平面 的距离的定义.定理的证明用到反证法,证明几何问题常规的方 法有两种:直接证法和间接证法,直接证法常依据定义、定理、 公理,并适当引用平面几何的知识;用直接法证明比较困难时, 我们可以考虑间接证法,反证法就是一种间接证法.

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