【K12教育学习资料】高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理互动课堂学案新人教


教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 一 平行线等分线段定理 互动课堂 重难突破 一、平行线等分线段定理 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么这组平行线 在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知 a∥b∥c,直线 m、n 分别与 a、b、 c 交于点 A、B、C 和 A′、B′、C′(如图 1-1-2),如果 AB=BC,那么 图 1-1-2 对于定理的证明,如图 1-1-3 所示,分 m∥n 和 m 不平行于 n 两种情况证明.当 m∥n 时,直 接运用平行四边形加以证明;当 m 不平行于 n 时,利用辅助线构造相似三角形,进而得到关 系式. 图 1-1-3 定理的条件是 a、b、c 互相平行,构成一组平行线,m 与 n 可以平行,也可以相交,但 它们必须与已知的平行线 a、b、c 相交,即被平行线 a、b、c 所截.平行线的条数还可以更 多.应当注意定理图形的变式:对于三条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化(如图 1-1-4):如果已知 l1∥l2∥l3, AB=BC, 那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等. 也就是说,直线 DE 的位置变化不影响定理的结论 图 1-1-4 图 1-1-5 利用本定理可将一线段分成 n 等份,也可以证明线段相等或转移线段的位置.平行线等 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段, 那么这组直线平行.这一 命题是错误的,如图 1-1二、平行线等分线段定理的推论 平行线等分线段定理的推论有两个, 其中一个是经过三角形一边的中点, 与另一边平行 的直线必平分第三边;另一个是经过梯形一腰的中点,与底边平行的直线必平分另一腰.这 两个推论的证明如下 推论 1:如图 1-1-6(1),在△ACC′中,AB =BC,BB′∥CC′交 AC′于 B′点.求证:B′ 是 AC′的中点 证明:如图 1-1-6(2),过 A 作 BB′与 CC′的平行线 a,分别双向延长线段 BB′、CC′, 得直线 b、 ∵a∥b∥c,AB =BC, ∴由平行线等分线段定理,有 AB′=B′C′,即 B′是 AC′的中点 图 1-1-6 推论 2:如图 1-1-7(1),已知在梯形 ACC′A′中,AA′∥CC′,AB =BC,BB′∥CC 求证:B′是 A′C′的中点 证明:∵梯形 ACC′A′中 AA′∥CC′,BB′∥CC′, ∴AA′∥BB′∥CC 又∵AB =BC,分别延长 AA′、BB′、CC′为 a、b、c,如图 1-1∴由平行线等分线段定理,有 A′B′=B′C′,即 B′是 A′C′的中点 图 1-1-7 三、刨根问底 问题 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系, 那么如何理解这种 联系? 探究:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分,即可产生两 个推论的图形;或者将两个推论中的线段延长成为直线,也可变成平行线等分线段定理的图 形,它们的关系可以直观地表示,如图 1-1- 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 图 1-1-8 活学巧用 【例 1】如图 1-1-9,已知在△ABC 中,D 是 AC 的中点,DE∥BC 交 AB 于点 E,EF∥AC 交 BC 于点 F.求证:BF =CF. 图 1-1-9 思路解析:在三角形中,只要给了一边的中点和平行线,根据平行线等分线段定理的推 论 1,就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形 来证明,但会显得 麻烦 证明:在△ABC 中, ∵D 是 AC 的中点,DE∥BC, ∴E 是 AB 的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 又∵EF∥AC 交 BC 于 F, ∴F 是 BC 的中点,即 BF =FC. 【例 2】求证:在直角梯形中,两个直角顶点到对腰中点的距离相等 如图 1-1-10,已知在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,E 是 AB 边的中点,连结 ED、EC. 求证 图 1-1-10 思路解析:在梯形中,若已知一腰的中点,一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰 的中点.所以由 E 是 AB 边的中点,作 EF∥BC 交 DC 于 F,即可得 EF⊥DC,从而利用线段 中垂线的性质得到结论 证明:过 E 点作 EF∥BC 交 DC 于 F ∵在梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AD∥EF∥BC ∵E 是 AB 的中点, 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 3 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 ∴F 是 DC 的中点(经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰 ∵∠ADC =90°, ∴∠DFE ∴EF⊥DC 于 F 又∵F 是 DC 中点 ∴EF 是 DC 的垂直平分线 ∴ED =EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等). 【例 3】如图 1-1-11,ABCD 中,对角线 AC、 BD 相交于 O,OE∥AB 交 BC 于 E,AD=12,求 BE 的长. 图 1-1-11 思路解析:本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力 解:∵ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC,BC=AD ∵AB∥DC,OE∥AB ∴DC∥OE∥AB 又∵AD ∴ BE ? EC ? 1 1 1 AB ? AD ? 6 = AD . 2 2 2 【例 4】已知在△ABC 中,CD 平分∠ACB,AE⊥CD 于 E,EF∥BC 交 AB 于 F.求证:AF=BF 思路解析:一般情况下,几何图形应具有对称的内在美,当感觉上图形有些缺陷时,就 要添加适当的辅助线,使其完善.本题中,AE⊥CD 于 E,恰在三角形内部,而 Rt△AEC 又不好用,所以延长 AE 与 BC 相交就势在必行了 图 1-1-12 证明:延长 AE

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