【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念检测试题 新人教A版选修1-1


第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会 利用导数的定义求函数在某点处的导数.

1.函数的变化率 定义 平均 变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δy ________________,简记作: . Δx 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 函数 f(x)从 x0 到 x0+Δ x 的平均变化率 在 Δ x→0 时的极限, Δy 即_______________= lim x?0 Δ x 实例 ①平均速度; ②曲线割线的斜率.

瞬时 变化率

①瞬时速度:物体在某一时刻的速度; ②切线斜率.

2. 导数的概念: 一般地, 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
x?0

Δy =____________, Δx

我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的 Δy 即 f′(x0) = lim x?0 Δ x

,记为



一、选择题 1.当自变量从 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( A.在[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的变化率 D.以上都不对

)

Δy 2 2. 已知函数 f(x)=2x -1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δ x, f(1+Δ x)), 则 Δx 等于( ) A.4 B.4+2Δ x 2 C.4+2(Δ x) D.4x 3.如图,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率是 ( )

A.1

C.2 D.-2 f?x0-Δ x?-f?x0? 4. 设 f(x)在 x=x0 处可导, 则 lim 等于 Δx x?0

B.-1

(

)

1

B.f′(-x0) D.2f′(x0) 3 2 5.已知 f(x)=-x +10,则 f(x)在 x= 处的瞬时变化率是( ) 2 A.3 B.-3 C.2 D.-2 1 2 6.一物体的运动方程是 s= at (a 为常数),则该物体在 t=t0 时的瞬时速度是( ) 2 1 A.at0 B.-at0 C. at0 D.2at0 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 2 7.已知函数 y=f(x)=x +1,在 x=2,Δ x=0.1 时,Δ y 的值为________. x 8.过曲线 y=2 上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为________. 2 9.已知物体运动的速度与时间之间的关系是:v(t)=t +2t+2,则在时间间隔[1,1+ Δ t]内的平均加速度是________,在 t=1 时的瞬时加速度是________. 三、解答题 2 10.已知函数 f(x)=x -2x,分别计算函数在区间[-3,-1],[2,4]上的平均变化率.

A.-f′(x0) C.f′(x0)

11.用导数的定义,求函数 y=f(x)=

1

x

在 x=1 处的导数.

能力提升 2 12.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x, f?1? 有 f(x)≥0,则 的最小值为________. f′?0? 5 2 13.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是 a=5×10 m/s ,枪弹 -3 从枪口射出时所用的时间为 1.6×10 s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

1.做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数 s=s(t)描述,设 Δ t 为时间改变量, 在 t0+Δ t 这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是 Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0),那么位移 Δs 改变量 Δ s 与时间改变量 Δ t 的比就是这段时间内物体的平均速度 v ,即 v = = Δt
2

s?t0+Δ t?-s?t0? . Δt
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法): Δy Δy Δy (1)求函数的增量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0);(2)求平均变化率 ;0 .→0 . Δx Δx Δx 第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 答案 知识梳理 f?x2?-f?x1? f?x0+Δ x?-f?x0? 1. lim Δ x →0 x2-x1 Δx f?x0+Δ x?-f?x0? 2 . Δ lim 导 数 f′(x0) y′|x = x0 lim x→0 Δ x→0 Δx f?x0+Δ x?-f?x0? Δx 作业设计 1.A 2.B [∵Δ y=f(1+Δ x)-f(1) 2 2 2 =2(1+Δ x) -1-2×1 +1=4Δ x+2(Δ x) , 2 Δ y 4Δ x+2?Δ x? ∴ = =4+2Δ x.] Δx Δx Δ y f?3?-f?1? 1-3 3.B [ = = =-1.] Δx 3-1 2 f?x0-Δ x?-f?x0? f?x0?-f?x0-Δ x? 4. A [Δ lim =Δ lim - =-Δ lim x→0 x →0 x→0 Δx Δx f?x0?-f?x0-Δ x? =-f′(x0).] Δx ?3 ? ?3? f? +Δ x?-f? ? Δ y ?2 ? ?2? 5.B [∵ = =-Δ x-3, Δx Δx Δy ∴Δ lim =-3.] x→0Δ x Δ s s?t0+Δ t?-s?t0? 1 6.A [∵ = = aΔ t+at0, Δt Δt 2 Δs ∴Δ lim =at0.] t→0 Δ t 7.0.41 8.1 2-1 解析 由平均变化率的几何意义知 k= =1. 1-0 9.4+Δ t 4 Δ v v?1+Δ t?-v?1? 解析 在[1,1+Δ t]内的平均加速度为 = =Δ t+4,t=1 时 Δt Δt Δv 的瞬时加速度是 liΔ m =liΔ t m (Δ t+4)=4. t→0 Δ t →0 10.解 函数 f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为:

3

f?-1?-f?-3?
?-1?-?-3? 2 2 [?-1? -2×?-1?]-[?-3? -2×?-3?] = =-6. 2 函数 f(x)在[2,4]上的平均变化率为: f?4?-f?2? ?42-2×4?-?22-2×2? = =4. 4-2 2 1 1 11.解 ∵Δ y=f(1+Δ x)-f(1)= - 1+Δ x 1 1- 1+Δ x -Δ x = , 1+Δ x 1+Δ x·?1+ 1+Δ x? Δy -1 ∴ = , Δx 1+Δ x·?1+ 1+Δ x? = ∴Δ lim x→0 Δy -1 = lim Δ x Δ x→0 1+Δ x·?1+ 1+Δ x? -1 1 = =- , 2 1+0·?1+ 1+0?

1 ∴y′|x=1=f′(1)=- . 2 12.2 解析 由导数的定义, f?Δ x?-f?0? 得 f′(0) =Δ lim x→0 Δx 2 a?Δ x? +b?Δ x?+c-c =Δ lim x→0 Δx =Δ lim [a·(Δ x)+b]=b. x→0
?Δ =b -4ac≤0 ? 又? ?a>0 ?
2

,∴ac≥ ,∴c>0. 4

b2



f?1? a+b+c b+2 ac 2b = ≥ ≥ =2. f′?0? b b b

1 2 13.解 运动方程为 s= at . 2 1 1 2 2 因为 Δ s= a(t0+Δ t) - at0 2 2 1 2 =at0Δ t+ a(Δ t) , 2 Δs 1 Δv Δs 所以 =at0+ aΔ t.所以 0 =liΔ m =at0. t→0 Δ t Δt 2 Δt 5 2 -3 由题意知,a=5×10 m/s ,t0=1.6×10 s, 2 所以 at0=8×10 =800 (m/s). 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.

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