揭阳一中2013届高二下学期期中考试(文科数学)


揭阳一中 2013 届高二下学期期中考试 文科数学
参考公式:
? (x
b ?
i ?1 n n i

? x )( y i ? y ) ?
i

?
i ?1

n

xi yi ? n x y xi ? n x
2 2

,

a ? y ? bx

? (x
i ?1

? x)

2

?
i ?1

n

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 U ? {1, 2, 3, 4, 5} , A ? {1, 2, 3} , B ? {3, 4, 5} ,则 CU ( A I B ) 等于( A. {1, 2, 3, 4, 5} B. {1, 2 , 4 , 5} C. {1, 2 , 5} ) ) D. {3}

2.设 p、q 是简单命题,则“p 或 q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 3. 若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. 3 ? 3
y x

B. 必要而不充分条件 D. 非充分非必要条件 )

B. x > y

3

3

C. lo g 4 x ? lo g 4 y )

D. ( ) ? ( )
x

1

1

y

4

4

4.已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ? a 2 ? 3, a 2 ? a 3 ? 6 ,则 a 7 ? ( A.64
x

B.81

C.128 ) D. ( 2 , ?? )

D.243

5.函数 f ( x ) ? ( x ? 3 ) e 的单调递增区间是( A. ( ?? , 2 ) B.(0,3) C.(1,4)

6.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子身高数据如下 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 174 175 ( ) C. y ? 8 8 ?
1 2 x

176 175

176 176

176 177

178 177

则 y 对 x 的线性回归方程为 A. y ? x ? 1

B. y ? x ? 1

D. y ? 1 7 6

7. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

1

由K

2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? d )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

算得, K

2

?

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 60 ? 50 ? 60 ? 50

2

? 7 .8

附表:
p(K
2

? k)

0.050 3.841 )

0.010 6.635

0.001 10.828

k 参照附表,得到的正确结论是 (

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关” 8. 已知函数: f ( x ) ? x ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4 , 0 ? c ? 4 ,记函数 f ( x ) 满足条件: ?
2

? f (2) ? 12 ? f (?2) ? 4



事件为 A,则事件 A 发生的概率为 ( A.
1 4


1 2
2 2

B.

5 8

C.

D.

3 8 1 a ? 4 b

9. 若直线 l : a x ? b y ? 1 ? 0 ( a ? 0, b ? 0 ) 始终平分圆 M :x ? y ? 8 x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长, 则 最小值为 A.8 (
n ?1



) B.12
*

C.16

D.20

10. 设曲线 y ? x ( ) A.
1 n

( n ? N ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则 x1 ? x 2 ? ? ? x n 的值为

B.

1 n ?1

C.

n n ?1

D. 1

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上. 11. 某班有学生 48 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,知座位号分别为 6,30,42 的 同学都在样本中,那么样本中另一位同学的座位号应该是 12.已知双曲线
x
2



? y ? 1 ,则其渐近线方程为_________,
2

离心率为________.

4

13. 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次 数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 乙班 6 6 7 7
2

7 6 .
=4 4 15 ,--- 7 + n m

8 7

7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =
2+ 2 3 =2 2 3 , 3+ 3 8 =3 3 8 , 4+ 4 15

=7

n m ---( m , n 都是正整数,且 m , n 互

14.已知

质) ,通过推理可推测 m 、 n 的值,则 m - n =
2

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x )= co s x ?
3 sin ( ? ? x ) .

(1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2) 若 ? 是第二象限角,且 f ( ? ?
?
3 )= 2 3

,试求

co s 2 ? 1+ co s 2 ? - sin 2 ?

的值.

16.(本小题满分 12 分) 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表: (1)求出表中 m 、 n 、 M 、 N 的值,并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直 方图; 分组
(0, 3 0 ]
(3 0 , 6 0 ] (6 0 , 9 0 ]
(9 0,1 2 0 ] (1 2 0,1 5 0 ]
频率/组距

频数
3 3

频率
0 .0 3 0 .0 3

0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150 分数

37

0 .3 7

m

n

15
M

0 .1 5 N

合计

00 0 (2)若我区参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中我区成绩在 9 0 分以上的人数;

(3)若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分析,求被选中 2 人分数不超过 30 分的概率. 17.(本小题满分 14 分) 已知如图:平行四边形 ABCD 中, B C ? 6 ,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE;
D H G E F

A B

(2)若 C D ? 2, D B ? 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积.
3

C

18.(本小题满分 14 分)
1 2

已知椭圆 y=x+ 6 相切. (1)求椭圆的方程;

(a>b>0)的离心率为

,以原点为圆心,椭圆短半轴长半径的圆与直线

(2)设直线 l: 3 x ? 2 y ? 0 与椭圆在 x 轴上方的一个交点为 P , F 是椭圆的右焦点,试探究以 PF 为 直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 满足
1 1 ? a n ?1 ? 1 1 ? an ? 1 ,且 a1 ? 0 .

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n = n ? 2 a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ;
n

(3)设 c n ?

1?

a n ?1 n

,记 T n ?

?c
k ?1

n

k

,证明: T n ? 1 .

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 x ? a ln x .( a ? R )

(1)当 a ? ? 1 时,试确定函数 f ( x ) 在其定义域内的单调性; (2)求函数 f ( x ) 在 (0, e ] 上的最小值; (3)试证明: (1 ?
1 n )
n ?1

? e ( e ? 2 .7 1 8 ? , n ? N ) .

?

4

参考答案
一.选择题:BACAD CACCB 二.填空题:11. 18,12. y ? ? 三.解答题: 15 解: (1)∵ f ( x )= co s x ?
3 sin ( ? ? x )
1 2 x



5 2

,13.

2 5

,14. 41

= co s x ?
1

3 sin x ---------------------------------------2 分
3 2

= 2( cos x ?
2

s in x ) ? 2 c o s( x ?

?
3

) -------------------4 分

∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? ,值域为[-2,2].--------------------------6 分 (2)由 f ( ? ?
?
3 )= 2 3

得 2 cos ? ? ?

2 3

, cos ? ? ?

1 3

,------------7 分
1 9 2 3 2

∵ ? 是第二象限角

∴ s in ? ?
7 9

1 ? cos ? ?
2

1?

?

----------8 分

∴ c o s 2? ? 2 c o s ? ? 1 ? ?
2

,----------------9 分
2

s in 2 ? ? 2 s in ? c o s ? ? ?

4 9

,-----------10 分



c o s 2? 1+ c o s 2 ? - s in 2 ?

?

7 9 ? 4 9
3 0 .0 3 ? 1 0 0 , -------1 分

=
1? 7 9

1? 2 2

2

----12 分

?

2

16.解: (1)由频率分布表得 M ?

所以 m ? 100 ? (3 ? 3 ? 37 ? 15) ? 42 ,---------2 分
n ? 42 100 ? 0 .4 2 ,

N ? 0 .0 3 ? 0 .0 3 ? 0 .3 7 ? 0 .4 2 ? 0 .1 5 ? 1 .-----3 分

直方图如右---------5 分 (2)由题意知,全区 90 分以上学生估计为
42 ? 15 100 ? 6 0 0 ? 3 4 2 人.---------7 分

(3)设考试成绩在 ? 0, 3 0 ? 内的 3 人分别为 A、B、C;
5

考试成绩在 ? 3 0 , 6 0 ? 内的 3 人分别为 a、b、c, 从不超过 60 分的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有: (A,B),(A,C),(A ,a),(A,b),(A,c), (B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a), (C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c)共有 15 个. ---------10 分 设抽取的 2 人的分数均不大于 30 分为事件 D. 则事件 D 含有 3 个结果: (A,B),(A,C) ,(B,C) ∴ P(D ) ?
3 15 ? 1 5

---------11 分 ---------12 分



17. (1)证明:∵ E F // A D , A D // B C ∴ E F // B C 且 E F ? A D ? B C ∴四边形 EFBC 是平行四边形 ∴H 为 FC 的中点-------------2 分 又∵G 是 FD 的中点 ∴ H G // C D ---------------------------------------4 分 ∵ H G ? 平面 CDE, C D ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE ------------------------------7 分
C D B A H G E F

(2)解:∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD,

∴FA⊥平面 ABCD.---------------------------------------------------9 分
2 2 2

∵ B C ? 6 , ∴ F A ? 6 又∵ C D ? 2, D B ? 4 2 , C D ? D B ? B C ∴BD⊥CD -----------------11 分 ∴ V F ? ABCD ?
1 3 S ? ABCD ? F A = 1 3

∴ S ? ABCD ? C D ? B D = 8 2
? 8 2 ? 6 ? 16 2 ------------------------------------14 分

18. 解: (1)由于 e=
6 2

1 2

∴ a ? 2c

--------- 1 分

又b ?

?

3

∴ b ? 3, a ? c ? 3 c ? 3
2 2 2 2

---------3 分

? c ? 1, a ? 4 --------- 4 分
2 2

所以椭圆的方程为:
3 2

x

2

?

y

2

?1

---------5 分

4

3

(2)由(1)可知,直线与椭圆的一个交点为 P (1, ) , F (1, 0 ) 则以 PF 为直径的圆方程是 ( x ? 1) ? ( y ?
2

3 4

) ?
2

9 16

,圆心为 ? 1, ? ,半径为
? 4?

?

3?

3 4

--9 分

6

以椭圆长轴为直径的圆的方程是 x ? y ? 4 ,圆心是 ? 0 , 0 ? ,半径是 2 --------- 11 分
2 2

?3? 两圆心距为 1 ? ? ? ?4?
2

2

?

5 4

? 2-

3 4

,所以两圆内切.

--------- 14 分

19.解: (1)由
1 1 ? a n ?1 ? 1 1 ? an ? 1 ,知数列 {

1 1 ? an

} 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,--------2 分



1 1 ? an

? 1 ? n ? 1 ? n , ------------------------------------3 分

∴ an ? 1 ?

1 n

.------------------------------------------------------------------------4 分
n
n

(2)由(1)得 b n = n ? 2 a n = n ? 2 (12 3 4

1 n

)= ( n -1) 2
n -1

n

∴ S n = 2 + 2 ? 2 + 3 ? 2 + ---+ ( n -2 ) ? 2
3 4 5 n

+ ( n -1 ) ? 2 ---------------------------①--------5 分
n

2 S n = 2 + 2 ? 2 + 3 ? 2 + ---+ ( n -2 ) ? 2 + ( n -1 ) ? 2

n +1

-------------------②--------6 分
n ?1

①-②得 -S n = 2 + 2 + 2 + ---+ 2 - ( n -1 ) ? 2
2 3 4 n

n +1

= 2 (2

2

-1)-( n -1) 2

n +1

= ( 2 -n ) 2

n +1

-4

∴ S n = ( n -2 ) 2

n +1

+ 4 .-----------------------------------------------------------------------------8 分
n n ?1 n ? n ?1 ? n ?1 n n

(3)由(1)得 c n ?

1?

a n ?1 n
1 n ?1

1? ?

-----------------------------10 分

=

1 n

?

----------------------------------------------------------------12 分

∴ Tn ?

?
k ?1

n

ck ?

?(
k ?1

n

1 k

?

1 k ?1

) ? 1?

1 2

?(

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

)

?1?

1 n ?1

<1---------------------------------------------------------------------------14 分

20.解: (1)当 a ? ? 1 时, f ( x ) ? 则 f '( x ) ? ?
1 x
2

1 x

? ln x , x ? (0, ? ? ) ,

?

1 x

?

x ?1 x
2

,---------------------------------------------------1 分

∵当 0 ? x ? 1 时, f '( x ) ? 0 ,当 x ? 1 时, f '( x ) ? 0

7

∴函数 f ( x ) 在 (0 ,1) 上单调递减,在 (1, ? ? ) 上单调递增。---------------------3 分 (2)∵ f '( x ) ? ?
1 x
2

?

a x

? ?

ax ? 1 x
2



①当 a ? 0 时,∵ x ? (0, e ] ,∴ a x ? 1 ? 0 ? f '( x ) ? 0 函数 f ( x ) 在 (0, e ] 上单调递减,∴ f ( x ) m in ? f ( e ) ? ②当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 得 x ? ? 当?
1 a ? e, 即 a ? ? 1 a 1 e 1 a 1 a 1 a 1 a ) ? ? a ? a ln ( ? 1 a ) ;--------------------------------7 分 , e ] 上单调递增; 1 a 1 e ? a ------------5 分

时,对 x ? (0 , ?

) ,有 f '( x ) ? 0 ;即函数 f ( x ) 在 ( 0 , ?

) 上单调递减;

对 x ? (?

, e ] ,有 f '( x ) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 ( ?

∴ f ( x ) m in ? f ( ? 当?
1 a ? e, 即 a ? ? 1 e

时,对 x ? (0, e ] 有 f '( x ) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 (0, e ] 上单调递减;
1 e ? a ;----------------------------------8 分

∴ f ( x ) m in ? f ( e ) ?

综上得 f ( x ) m in

1 ?1 ? a (a ? ? ) ?e ? e -----------------------9 分 ? ? ? ? a ? a ln ( ? a )( a ? ? 1 ) ? e ?
? e ? ( n ? 1) ln (1 ? 1 n ?1 1 n ?1? 1 x 1 x ) ? 1 ? ln (1 ? 1 n )? 1 n ?1

(3) (1 ? 令1 ?
1 n

1 n

)

n ?1

,---------10 分

? x , 1 ? x ? 2 )则 ( 1 n )? 1 n ?1

, (1 ? x ? 2 ) ,---------------12 分

∴要证 ln (1 ?

只需证 ln x ? 1 ?

由(1)知当 a ? ? 1 时, f ( x ) m in ? f (1) ∴ f (x) ?
1 x ? ln x ? f (1) ? 1 ,即 ln x ? 1 ? 1 x 1 x 1 n

,-----------------------------------13 分

∵ 1 ? x ? 2 ,∴上式取不到等号 即 ln x ? 1 ? ,∴ (1 ?
)
n ?1

? e .------------------------------------------------------14 分

8


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