浙江省2014届理科数学复习试题选编32:抛物线(学生版)


浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 32:抛物线(学生版)

一、选择题 1 . (浙江省永康市 2013 年高考适应性考试数学理试题 )已知抛物线 C1 : x ? 2 y 的焦点为 F ,以 F 为圆心
2

的圆 C2 交 C1 于 A, B ,交 C1 的准线于 C , D ,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C2 的方程为 A. x 2 ? ( y ? ) 2 ? 3 C. x ? ( y ? 1) ? 12
2 2





1 2

B. x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 D. x ? ( y ? 1) ? 16
2 2

1 2

2 . (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(理)试题)已知 P 为抛物线 y ? 4 x 上一个动点,Q
2

为圆 x ? ( y ? 4) ? 1 上一个动点,那么 点 P 到点 Q 的距离与点 P 到 y 轴距离之和最小值是 (
2 2



A. 17

?1

B. 17

?2

C. 5 ? 2

D. 17 ? 1
2

3 . (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试题)过抛物线 y

? 4 x 的焦点 F 的
( )

直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为

A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2
2

4 . (浙江省诸暨中学 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)抛物线 y

? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴

相交于点 E ,过 F 且倾斜角等于 60°的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AB ? l ,垂足为 ( ) B ,则四边形 ABEF 的面积等于 A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3

5 . (浙江省湖州市 2013 年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) )直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与抛物线

x 2 ? 4 y 和圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 从左到右的交点依次为 A , B, C, D ,则
2

AB 的值为 CD





A. 16 

B. 1

16

C. 4

1 D.   4
2

6 . (浙江省杭州四中 2013 届高三第九次教学质检数学(理)试题)已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 恰好

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 是双曲线 a 的右焦点,且两条曲线的交点的连线过 F,则该双曲线的离心率为

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( A. 2 B.2 C.



2 ?1

D. 2 ? 1

7 .(浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)

抛物线y 2 =2px(p>0) 的准线交x 轴了点C, 焦点为F. A.B是抛物线的两点. 己知 A . B,C三点共线,且|AF|,|BF|成等差数 列,直线AB的斜率为k,则有 A. k ?
2

( ( (

) ) )

1 4

B. k 2 ?

3 4

C. k ?
2

1 2

D. k 2 ?

3 2

非选择题部分(共 100 分)
8 . ( 浙 江 省 温 州 八 校 2013 届 高 三 9 月 期 初 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设动圆 M 与 y 轴相切 且与 圆

C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为
A. y ? 4 x
2


2



B. y ? ?4 x
2

C. y ? 4 x 或 y ? 0( x ? 0)
2

D. y ? 4 x

或y?0
9 . ( 浙 江 省 温 岭 中 学 2013 届 高 三 冲 刺 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , 已 知 点 P 是 双 曲 线

C:

x2

a2 b2 相交于 M,N

?

y2

右两个焦点,且 PF1⊥PF2,PF2 与两条渐近线 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支上一点,F1,F2 是双曲线的左、

两点,点 N 恰好平分线段 PF2,则双曲线的离心率是 A. 5 C. 3 B.2 D. 2





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二、填空题 10. (浙江省嘉兴市第一中学 2013 届高三一模数学(理)试题)己知抛物线 y =4x 的焦点为 F,若点 A, B 是该抛
2

?AFB ?
物线上的点,

?

| MN | 2 ,线段 AB 的中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N,则 | AB | 的最大值为____.
2

11. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(三)数学(理)试题 )已知 F 为抛物线 x ? ay(a ? 0)

的焦点, O 为坐标原点.点 M 为抛物线上的任一点 ,过点 M 作抛物线的切线交 x 轴于点 N ,设 k1 , k 2 分别为直线 MO 与直线 NF 的斜率,则 k1k 2 ? ________.
12. (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试一数学(理)试题)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为

F,准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、 B 两点,若 | AM |?
值_______.

5 | AF | ,则 k 的 4

13. (浙江省一级重点中学(六校)2013 届高三第一次联考数学(理)试题)已知直线 y ? k ( x ? m) 与抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 交 于 A, B 两 点 , 且 OA ? OB , 又 OD ? AB 于 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,则 m ? _____ __.

D , 若动点 D 的坐标满足方程

14 .( 浙 江 省 宁 波 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 曲 线

C1 : y ? x 2 ? 4和C 2 : y ? 2 x ? 2 2 , 直线l1 与 C1、C2 分别相 切于 A、B,直线 l 2 ,(不同于 l1 )与 C1、C2 分
别相切于点 C、D,则 AB 与 CD 交点的横坐标是__________.
15( .浙江省黄岩中学 2013 年高三 5 月适应性考试数学(理)试卷 ) 已知抛物线 M

: y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点为 F ,

直线 x ? my ?

p 与抛物线 M 交于 A, B 两点 , 与 y 轴交于点 C , 且 | BC |?| BF | , O 为坐标原点 , 那么 2

?BOC 与 ?AOC 面积的比值为________.
16. (浙江省温州市 2013 届高三第三次适应性测试数学(理)试题 (word 版) ) 已知点 A(a, a ) , B (a ? 1, a ? 1) ,

动点 P 到点 M (1,0) 的距离比到 x ? ?2 的距离小 1 的轨迹为曲线 C ,且线段 AB 与曲线 C 有且仅有一 个焦点,则 a 的取值范围是______.
17. (浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学(理)试题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点为 F

的抛物线 y =2x 上的点 P 到坐标原点 O 的距离为 15,则线段 PF 的长为_____.
18. (浙江省温岭中学 2013 届高三冲刺模拟考试数学(理)试题)P 为抛物线 C: y 2 ? 4 x 上一点,若 P 点到抛

2

物线 C 准线的距离与到顶点距离相等,则 P 点到 x 轴的距离为_____________.
19. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) )设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦
2

点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜
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率等于________.
20. (浙江省六校联盟 2013 届高三回头联考理科数学试题)过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条倾斜角为 a,长度
2

不超过 8 的弦,弦所在的直线与圆 x 2 ? y 2 ?

3 有公共点,则 a 的取值范围是_______________ 4

21. (浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学(理)试题)已知抛物线 y 2 ? 6 x ,准线 l 与 x 轴交于点 M ,

过 M 作直线交抛物线于 A, B 两点( A 在 M , B 之间),点 A 到 l 的距离为 2,则
三、解答题 22. (浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学 (理) 试题) 已知抛物线 C :

| AB | ? ____. | MA |

y 2 ? 4 x ,直线 l : y ? ? x ? b

与抛物线交于 A, B 两点. (Ⅰ)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值.

23. (浙江省嘉兴市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学试卷)如图,已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物

线 C2 : y ?

1 2 x ? 1 上,点 P 是抛物线 C 1 上的动点. 2

(Ⅰ)求抛物线 C 1 的方程及其准线方程; (Ⅱ)过点 P 作抛物线 C 2 的两条切线, M 、 N 分别为两个切点,设点 P 到直线 MN 的距离为 d ,求 d 的 最小值.
C2 C1

y
M

N
O

P

x

(第 21 题)

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24. (温州市 2013 年高三第一次适应性测试理科数学试题)已知点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是抛物线 y ? 4 x 上相
2

异两点,且满足 x1 ? x2 ? 2 . (Ⅰ)若 AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,求 ?AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

25 .( 浙 江 省 宁 波 市 2013 届 高 三 第 一 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 试 卷 ) 如 图 , 设 点

P(m, n)是圆C1 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

3 2 上的动点,过点 P 作抛物线 C2 : x ? ty (t ? 0) 的两条切线,切点分 4

别是 A、B.已知圆 C1 的圆心 M 在抛物线 C2 的准线上. (I)求 t 的值; (Ⅱ)求 PA ? PB 的最小值,以及取得最小值时点 P 的坐标.

??? ? ??? ?

26. (浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学(理)试题)已知抛物线 C 1 : y ? x , 椭圆C2 : x ?
2 2

y2 ? 1. 4

(1)设 l1 , l2 是 C1 的任意两条互相垂直的切线,并设 l1 ? l2 ? M , 证明:点 M 的纵坐标为定值; (2)在 C1 上是否存在点 P,使得 C1 在点 P 处切线与 C2 相交于两点 A、B,且 AB 的中垂线恰为 C1 的切线?若 存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

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27. (浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)如图,已知抛物线 C : y ? ax (a ? 0) 与
2

射线 l1 : y ? 2 x ? 1 ( x ? 0) 、 l 2 : y ? ?2 x ? 1( x ? 0) 均只有一个公共点,过定点 M (0,?1) 和 N (0, ) 的动圆分别与 l1 、 l 2 交于点 A 、 B ,直线 AB 与 x 轴交于点 P . (Ⅰ)求实数 a 及 NP ? AB 的值; (Ⅱ)试判断: | MA | ? | MB | 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

1 4

??? ? ??? ?

28 . (浙江省 2013 年高考模拟冲刺(提优)测试二数学(理)试题) 圆 C 的圆心在 y 轴上, 且与两直线

l1: x ? y ? 5 ? 10 ? 0 ;l2: x ? y ? 5 ? 10 ? 0 均相切. (I)求圆 C 的方程; (II)过抛物线 y ? ax 上一点 M,作圆 C 的一条切线 ME,切点为 E,且 ME ? MC 的最小值为 4,求此抛物
2

线准线的方程.

29 . (浙江省乐清市普通高中 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题) 已知点 F 是抛物线

C1 : x 2 ? 4 y 与椭圆 C 2 :

y2 a
2

?

x2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的公共焦点,且椭圆的离心率为

1 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是在 x 轴上方的椭圆上任意一点, F 是上焦点,过 P 的直线 PQ 与圆 x 2 ? y 2 ? b 2 相切于 Q 点, 问: | PF | ? | PQ | 是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
30. (浙江省温岭中学 2013 届高三冲刺模拟考试数学(理)试题)以抛物线 x ? 2my ( m ? 0 )的顶点 O 为圆
2

心的圆,截该抛物线的准线所得的弦长为 3m
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(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上任一点 M 作该圆的切线 l ,它与椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? R ,且 a ? 2 )相交于 A、B 两点,当 a 2

OA ? OB 时,求 m 的可能取值范围.

31. (浙江省绍兴一中 2013 届高三下学期回头考理科数学试卷) 已知抛物线 C : x

2

? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,

抛物线上一点 A 的横坐标为 x1 ( x1 ? 0) ,过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D ,交 y 轴于点 Q , 交直线 l : y ?

p 于点 M ,当 | FD |? 2 时, ?AFD ? 60 ? . 2

(1)求证: ?AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l 2 交直线 l1 于点 P ,交直线于点 N , 求 ?PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 值.

32. (浙江省温州十校联合体 2013 届高三期中考试数学(理)试题)若椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 2) 的离 4 b2

心率等于

3 ,抛物线 C2 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点在椭圆的顶点上. 2

(1)求抛物线 C2 的方程; (2)过 M (?1, 0) 的直线 l 与抛物线 C2 交 P , Q 两点,又过 P , Q 作抛物线 C2 的切线 l1 , l2 ,当 l1 ? l2 时, 求直线 l 的方程.

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33 . (浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学(理)试题) 如图 ,

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是抛物线
p2 4

C : x 2 ? 2 py ( p 为正常数,p>0)上的两个动点,直线 AB 与 x 轴交于点 P,与 y 轴交于点 Q,且 y1 y2 ?
(Ⅰ)求证:直线 AB 过抛物线 C 的焦点; (Ⅱ)是否存在直线 AB,使得

1 1 3 ? ? ? 若存在,求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由. PA PB PQ

34. (浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学(理)试题)已知直线 y=2x-2 与抛物线 x =2py(p>0)

2

交于 M1,M2 两点,直线 y= =

p 与 y 轴交于点 F.且直线 y 2

p 恰好平分∠M1FM2. 2
??? ? ??? ? p p 上一点,直线 AM2 交抛物线于另点 M3,直线 M1M3 交直线 y= 于点 B,求 OA · OB 的 2 2

(I)求 P 的值; (Ⅱ)设 A 是直线 y= 值.

35. (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试题)在平面直角坐标系 xOy 中, F
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是抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点 的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说 明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 不同的交点 D, E ,求当

3 . 4

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 与圆 Q 有两个 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2
2

36. (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0), M 点的

坐标为(12,8),N 点在抛物线 C 上,且满足 ON ? (I)求抛物线 C 的方程;[来源:学科网 ZXXK]

????

? 3 ???? OM , O 为坐标原点. 4

(II)以点 M 为起点的任意两条 射线 l1 , l2 关于直线 l:y=x—4,并且 l1 与抛物线 C 交于 A、B 两点, l 2 与抛 物线 C 交于 D、E 两点,线段 AB、DE 的中点分别为 G、H 两点.求证:直线 GH 过定点,并求出定点坐标.

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浙江省 2014 届理科数学复习试题选编 32:抛物线(学生版)参考答案 一、选择题

B 2. B
1. 3. 4. 5.

C C

B 6. C 7. D 8. C
? x2 y2 ? ?1 b2 b2 ab ? c 2 ab ? A. ? a 2 b 2 得, y P ? ,∴ y N ? ,得 x N ? ,从而 x P ? . c 2c c 2c ? 2 2 2 ?x ? y ? c

9.

∵P 是双曲线上,∴

(ab ? c 2 ) 2 a 2c 2

?

b4 b2c 2

? 1 ,化简得, 2a ? b ,得 e ? 5 .

二、填空题 10.

2 2
1 2

11. -

2 2 x0 2 x0 x0 ) ,则过点 M 的抛物线的切线方程为: y ? ( x ? x0 ) ? 解 析 : 设 M ( x0 , ,令 y ?0 a a a
2 x0 x ? a ? 0 ,故 x0 a

得 : xN ?

x a 1 a , 又 k1 ? k MO x0 , 故 N ( 0 ,0) , F (0, ) , 即 : k 2 ? k NF ? ? 2 x0 2 2 4

k1 k 2 ? ?
12.

1 2

?

3 4

13. 4

1 2 1 15. 4
14. 16. [?1, 0] ? [3, 4] 17.

7 2
第 10 页,共 24 页

18. 19.

2 ;得 P 点到焦点距离与到顶点距离相等,∴ x P ?

p 1 ? ,得 | y P |? 2 . 4 2

?1

20. 21. 2 三、解答题 22. 解:(Ⅰ)联立 ?

? y ? ?x ? b
2 ? y ? 4x

, 消 x 并化简整理得 y ? 4 y ? 4b ? 0 . 依题意应有 ? ? 16 ? 16b ? 0 , 解得
2

b ? ?1 .


A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ? ?4, y1 y2 ? ?4b , 设 圆 心 Q( x0 , y0 ) , 则 应 有
x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?2 . 2 2

x0 ?

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 2 , 又 | AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? 1)( y1 ? y2 ) 2 ? 2(16 ? 16b) .
2(16 ? 16b) ? 4 , 解得 b ? ?
x ? x2 ? y1 ? b ? y2 ? b 3 1 . 所以 x0 ? 1 ? ? , 所以 2 2 2 2

所以 | AB |? 2r ? 圆心为 ( , ?2) .

3 2

故所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 . (Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交 , 所以 b ? 0 , 又直线 l 与抛物线交于两点 , 由(Ⅰ)知 b ? ?1 , 所以

3 2

?1 ? b ? 0 ,
点 O 到直线 l 的距离 d ?

|b| 1 1 |b| , 所以 S ?AOB ? | AB | d ? 2(16 ? 16b) ? 2 b 2 (1 ? b ) . 2 2 2 2



2 2 g (b) ? b 2 (1 ? b) ? b 2 ? b3 , ?1 ? b ? 0 g '(b) ? 3b 2 ? 2b ? 3b(b ? ) , ? g (b) 在 (?1, ? ) 增函数 , 在 3 3 2 2 4 2 . 所以当 b ? ? 时 , ?AOB 的面积取得最大值 (? , 0) 是减函数? g (b) 的最大值为 g (? ) ? 3 3 27 3

4 3 . 9
23.解:(Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0,

p ), 2

所以

p ? 0 ?1, p ? 2 2
2

故 C 1 的方程为 x ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1
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1 2 1 2 (Ⅱ)设 P ( 2t , t 2 ) , M ( x1 , x1 ? 1) , N ( x2 , x2 ? 1) , 2 2 1 2 则 PM 的方程: y ? ( x1 ? 1) ? x1 ( x ? x1 ) , 2

所以 t 2 ? 2tx1 ?

1 2 2 ? 4tx1 ? 2t 2 ? 2 ? 0 . x1 ? 1 ,即 x1 2
1 2 2 ? 4tx 2 ? 2t 2 ? 2 ? 0 x2 ? 1 , x 2 2

同理, PN : y ? x2 x ?

1 2 1 2 x1 ? 1 ? ( x2 ? 1) 1 2 2 ? 1) ? 2 ( x ? x1 ) , MN 的方程: y ? ( x1 2 x1 ? x2

1 2 1 即 y ? ( x1 ? 1) ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) . 2 2
2 2 ? 1 2 ? x1 ? 4tx1 ? 2t ? 2 ? 0 由? 2 ,得 x1 ? x2 ? 4t , x1 ? 2tx1 ? 1 ? t 2 2 2 ? ? x2 ? 4tx 2 ? 2t ? 2 ? 0

所以直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? 2 ? t 2 于是 d ?
| 4t 2 ? t 2 ? 2 ? t 2 | 1 ? 4t 2 ?2 (1 ? t 2 )2 1 ? 4t 2

.

令 s ? 1 ? 4t 2 ( s ? 1) ,则 d ?

1 9 1 s? ?6 ? 6 ? 6 ? 3 (当 s ? 3 时取等号). 2 s 2

所以, d 的最小值为 3
24.方法一:

解:(I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入方程 y ? 4 x 得:
2

k 2 x 2 ? (2kb ? 4) x ? b 2 ? 0
∴ x1 ? x2 ? 得: b ?

4 ? 2kb ?2 k2

2 ?k k 2 k 2 k

∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ?

∵ AB 中点的横坐标为 1,∴ AB 中点的坐标为 (1, )

1 2 1 3 ( x ? 1) ? ? ? x ? k k k k 3 3 ∵ AB 的中垂线经过点 P (0, 2) ,故 ? 2 ,得 k ? k 2 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 2 6
∴ AB 的中垂线方程为 y ? ?
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(Ⅱ)由(I)可知 AB 的中垂线方程为 y ? ?
2 2

1 3 x ? ,∴ M 点的坐标为 (3, 0) k k

因为直线 AB 的方程为 k x ? ky ? 2 ? k ? 0 ∴ M 到直线 AB 的距离 d ?

| 3k 2 ? 2 ? k 2 | k4 ? k2

2 k 2 ?1 ? |k|

由?

?k 2 x ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 ? y2 ? 4x



k2 2 y ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 , 4

y1 ? y2 ?

4 8 ? 2k 2 , y1 ? y2 ? k k2
1 4 1 ? k 2 k 2 ?1 | y ? y | ? 1 2 k2 k2

| AB |? 1 ?

∴ S ?AMB ? 4(1 ?

1 1 ) 1? 2 , 2 k k

设 1?

1 ? t ,则 0 ? t ? 1 , k2
6 3

S ? 4t (2 ? t 2 ) ? ?4t 3 ? 8t , S ' ? ?12t 2 ? 8 ,由 S ' ? 0 ,得 t ?
16 6 9

即 k ? ? 3 时 S max ?

此时直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 (本题若运用基本不等式解决,也同样给分) 法二: (1)根据题意设 AB 的中点为 Q (1, t ) ,则 k AB ?

y2 ? y1 y ?y 2 ? 22 12 ? x2 ? x1 y2 y1 t ? 4 4

由 P 、 Q 两点得 AB 中垂线的斜率为 k ? t ? 2 ,

2 4 ? ?1 ,得 t ? t 3 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 2 6
由 (t ? 2) ? (2)由(1)知直线 AB 的方程为 y ? t ?

2 ( x ? 1) t

t AB 中垂线方程为 y ? t ? ? ( x ? 1) ,中垂线交 x 轴于点 M (3, 0) 2
点 M 到直线 AB 的距离为 d ?

t2 ? 4 t ?4
2

? t2 ? 4
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2 ? ? y ? t ? ( x ? 1) 2 2 2 由? 得: 4 x ? 8 x ? (t ? 2) ? 0 t 2 ? ? y ? 4x

?| AB |? 1 ?

4 | x1 ? x2 |? (t 2 ? 4)(4 ? t 2 ) 2 t

(t 2 ? 2) 2 x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? 4

?S ?

1 1 | AB | ?d ? (t 2 ? 4) 2 (4 ? t 2 ) 2 2 2 2 16 3 16 6 ? (t 2 ? 4)(t 2 ? 4)(8 ? 2t 2 ) ? ( ) ? 4 4 3 9
16 6 4 时, S 有最大值 ,此时直线 AB 方程为 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 9 3

当 t2 ?
25.

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26.

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27.解:(I)联立 ?

? y ? ax 2 ? y ? 2x ?1

得: ax ? 2 x ? 1 ? 0
2

?? ? 4 ? 4a ? 0,? a ? 1
设动圆 Q : ? x ? t ?
2

3? 5 5 ? ?5? ? ? y ? ? ? t 2 ? ? ? ( ? ? t ? ,圆与 l1 , l 2 相切时取到等号) 8? 4 4 ? ?8?

2

2

2 2 ? 3? 2 ? ?5? 2 ?Q : ? x ? t ? ? ? y ? ? ? t ? ? ? ? 2t 1 4t ? 联立 ? 8? ? ? 8 ? 得: A ? ? , ? ?5 2 5? ?l : y ? 2 x ? 1 ?1

同理得: B ?

? 2t 1 4t ? ? ,? ? ?5 2 5?
4t 8t ? ? 2t 1 ? ? ? 2t ? ? ? x ? ? ? ? ? ,令 y ? 0 得 P ? , 0 ? 5 5? ? 5 2 ?? ?5 ?
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? l AB : y ?

??? ? ??? ? ? NP ? AB ? 0
[来源:学科网]

(Ⅱ) | MA | ? | MB | =

4? 5 5 t? ? t? ? 5? 4 4
2 2

? ? ? 5 是定值. ?

(动圆 Q : ? x ? t ? ? ? y ?
2

? ?

3? 5 5 ?5? 2 ? ? t ? ? ? , ? ? t ? ,圆与 l1 , l 2 相切时取到等号) 8? 4 4 ?8?

(或由 y A ? yB ,及几何法得 | MA | ? | MB | ?
28.

5)

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29.

解:(1)∵ c ? 1 ,

c 1 ? a 2

∴ a ? 2 ,即椭圆方程为 (2)设 P( x, y ) ,则

y2 x2 ? ?1 4 3

| PF |? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 3(1 ?

y2 1 ) ? y 2 ? 2 y ? 1 ? (4 ? y ) 4 2

| PQ |? AO 2 ? OQ 2 ? x 2 ? y 2 ? 3 ? 3(1 ?

y2 1 ) ? y2 ? 3 ? y 4 2

∴ | PF | ? | PQ |? 2 =定值
30.解(Ⅰ):已知抛物线的准线方程是 y ? ?
2

m ( m ? 0 ),由于圆 C 截抛物线的准线所得的弦长为 3m ,所 2

2 3m ? ?m? ? ? ? m ,故所求圆的方程是 x 2 ? y 2 ? m 2 圆 C 的半径 r ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2 ? ?
2 ? x1 2 ? x1 x1 ? ,则 A 处的切线方程为 l1 : y ? x ? 31.解:(1)设 A? x1 , , ? 2p ? p 2p ? ?

x12 ? ? x1 ? ? 所以 D? ,0 ? , Q? ? 0,? 2 p ? ? ?2 ? ? ?

p x12 ? AF ;即 ?AFQ 为等腰三角形 所以 FQ ? ? 2 2p
? p x12 ?4 ? ? 又 D 为线段 AQ 的中点,所以 AF ? 4 ,得: ? 2 2 p ? x 2 ? p 2 ? 16 ? 1
(2)设 B ( x 2 , y 2 ) ( x 2 ? 0) ,则 B 处的切线方程为 y ? 所以 p ? 2 , C : x ? 4 y.
2

x2 x x? 2 2 4

2

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

x1 x x? 1 x1 ? x 2 x1 x 2 2 4 ? P ( , ), 2 2 4 x2 x2 x? 2 4

2

2 ? x x x2 2 x1 2 ?y ? 1 x ? 1 由? 2 4 ? M ( ? ,1) ,同理 N ( ? ,1) , 2 x2 2 x1 ?y ? 1 ?

x1 x 2 ( x 2 ? x1 )(4 ? x1 x 2 ) 2 1 x1 2 x 2 2 ? ? )(1 ? )? 所以面积 S ? ( ? ① 2 2 x1 2 x 2 4 16 x1 x 2
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设 AB 的方程为 y ? kx ? b , 则 b ? 0 由 ?

? y ? kx ? b
2 ?x ? 4 y

? x1 ? x 2 ? 4k ? x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 , 得 ? 代入① ? x1 x 2 ? ?4b

得: S ?

16k 2 ? 16b (4 ? 4b) 2 (1 ? b) 2 k 2 ? b ? , 64b b


(1 ? b) 2 b 要 使 面 积 最 小 , 则 应 k ?0 , 得 到 S ? ② b

b ?t , 得

S (t ) ?

(1 ? t 2 ) 2 1 (3t 2 ? 1)(t 2 ? 1) , ? t 3 ? 2t ? , S ?(t ) ? t t t2
3 3 ) 时 S (t ) 单调递减;当 t ? ( ,??) S (t ) 单调递增, 3 3

所以当 t ? (0,

所以当 t ?

3 16 3 1 时, S 取到最小值为 ,此时 b ? t 2 ? , k ? 0 , 3 9 3 2 3 1 ,即 x1 ? 3 3 c 3 2 2 ,所以 c ? 3 , b ? a ? c ? 1 ? a 2

所以 y1 ?

32.解:(1)由椭圆方程得 a ? 2 , e ?

由题意得:抛物线的焦点应为椭圆的上顶点,即 (0,1) 所以 p ? 2 抛物线方程为 x ? 4 y
2

(2) 可判断直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 设 P、Q 坐标 为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 联立 ? y ? k ( x ? 1)

? 2 ? x ? 4y

整理得

x 2 ? 4kx ? 4k ? 0

33. (Ⅰ)由题意知,直线 AB 的斜率存在,且不为零. 设直线 AB 的方程为: y ? kx ? b ( k ? 0 , b ? 0 )

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? y ? kx ? b 由? 2 ,得 x 2 ? 2 pkx ? 2 pb ? 0 . ? x ? 2 py

? ? ? 4 p 2 k 2 ? 8 pb ? 0 ? ∴ ? x 1 ? x 2 ? 2 pk , ? x x ? ?2 pb ? 1 2

∴ y1 y 2 ? ∵ y1 y 2 ?

x1 x1 ( ?2 pb) 2 ? ? ? b2 . 2p 2p 4 p2

2

2

p p2 p2 ,∴ b 2 ? ,∵ b ? 0 ,∴ b ? . 2 4 4 p ∴直线 AB 的方程为: y ? kx ? . 2

p ) ,∴直线 AB 过抛物线 C 的焦点 2 1 1 3 | PQ | | PQ | ? ? (Ⅱ)假设存在直线 AB ,使得 , 即 ? ? 3. | PA | | PB | | PQ | | PA | | PB |
抛物线 C 的焦点坐标为 (0, 作 AA / ? x 轴, BB / ? x 轴,垂足为 A / 、 B / ,
p p | PQ | | PQ | | OQ | | OQ | p y ? y2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ∴ / / | PA | | PB | | AA | | BB | y 1 y2 2 y1 y 2

∵ y 1 ? y 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? p ? 2 pk 2 ? p , y 1 y 2 ? ∴
| PQ | | PQ | p 2 pk 2 ? p = ? = 4k 2 ? 2 ? 2 | PA | | PB | 2 p

p2 4

4

由 4k 2 ? 2 ? 3 ,得 k ? ?

1 . 2

故存在直线 AB ,使得
34.

p 1 1 1 3 ? ? .直线 AB 方程为 y ? ? x ? | PA | | PB | | PQ | 2 2

(第 21 题)
? y ? 2x ? 2 (Ⅰ) 由 ? 2 ,整理得 x 2 ? 4 px ? 4 p ? 0 ,设 MR1R( x1 , y1 ),MR2R( x2 , y2 ), ? x ? 2 py
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?? ? 16 p 2 ? 16 p ? 0 ? 则 ? x1 ? x2 ? 4 p , ?x ? x ? 4 p ? 1 2

∵ 直线 y ?
y1 ?

p 平分 ?M 1 FM 2 ,∴ k M1F ? k M 2 F ? 0 , 2



p p p p y2 ? 2 x1 ? 2 ? 2 x2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,即: 2 ? 2 ? 0 ,[来源:学,科,网] x1 x2 x1 x2
p x1 ? x2 )? ? 0 ,∴ p ? 4 ,满足 ? ? 0 ,∴ p ? 4 2 x1 ? x2

∴ 4 ? (2 ?

2 2 ? x ? x2 ? 16 x x (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为 x 2 ? 8 y ,且 ? 1 , M 1 ( x1 , 1 ) , M 2 ( x2 , 2 ) , 8 8 ? x1 x2 ? 16

设 M 3 ( x3 ,

x3 ) ,A (t ,2) , B(a,2) , 8

2

由 A、MR2R、MR3R 三点共线得 k M 2M 3 ? k AM 2 ,
x2 ?2 x2 ? x3 2 2 ∴ ,即: x2 ? x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? x2 ? 16 , ? 8 8 x2 ? t
2

整理得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? ?16 , ① 由 B、MR3R、MR1R 三点共线,同理可得 x1 x3 ? a( x1 ? x3 ) ? ?16 , ② ②式两边同乘 x 2 得: x1x2 x3 ? a( x1x2 ? x2 x3 ) ? ?16x2 , 即: 16x3 ? a(16 ? x2 x3 ) ? ?16x2 , ③ 由①得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? 16 ,代入③得: 16 x3 ? 16 a ? ta( x2 ? x3 ) ? 16 a ? ?16 x2 , 即: 16( x2 ? x3 ) ? at( x2 ? x3 ) ,∴ at ? 16 . ∴ OA ? OB ? at ? 4 ? 20
35.

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f '(t ) ? 8t ? 2 ?
有最小值
36.

25 5 5 5 1 ?5 ? ,当 ? t ? 5 时, f '(t ) ? f '( ) ? 6 , f (t ) 在 ? ,5? 递增,故当 t ? ,即 k ? 时, 2 8t 4 4 4 2 ?4 ?

13 2
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