【高考领航】高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件2.2函数的单调性与最值_图文


第2课时 函数的单调性与最值 ? ?(一)考纲点击 ? 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及 其几何意义. ? 2 .会运用函数图象理解和研究函数的性 质. ? ?(二)命题趋势 ? 1.函数的单调性、最值是函数中的重要内 容,是高考命题的热点之一.考查时主要 体现为函数单调性的判定、求单调区间、 比较大小、解不等式、求最值及不等式恒 成立问题. ? 2.题型多以选择题、填空题为主,若与导 数知识交汇命题则以解答题的形式出现, 属中高档题. ? 1.函数的单调性 ? (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域 定 为I.如果对于定义域I内某个 义 区间D上的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有 , f(x1)>f(x2) ,那 那么就说函 么就说函数f(x) 定义 数f(x)在区间 在区间D上是减 D上是增函数 函数 f(x1)<f(x2) ? (2)单调性、单调区间的定义 减函数 或 增函数 ? 若函数f(x)在区间 D上是 ,则 称函数 f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调 区间D 性, 叫做f(x)的单调区间. ?对点演练? 1 (1)(2014· 郑州质检)函数 y=1- x-1 A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(-1,+∞)上单调递减 C.在(1,+∞)上单调递增 D.在(1,+∞)上单调递减 答案:C ( ) ? (2) 已知函数 f(x) 为 R 上 的减函数 ,则满足 f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是 ? ( ) ? A.(-1,1) B.(0,1) ? C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1, +∞) ? 解析:∵ f(x)为R上的减函数,且f(|x|)< f(1), ? ∴|x|>1,∴x<-1或x>1. ? 答案:D ? 2.函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 前提 在实数M满足 (1) 对于任意 x∈I, f( x) ≥M (1) 对于任意 x∈I, 都有 f( x)≤M ; 都有 ; f ( x0 ) = M(2) (2) 存在 x0∈I, 条件 f( x0)=M 存在x0∈I,使 使 得 . 得 . M为最小值 结论 M为最大值 ? ? ? ? ? ?对点演练? (1)( 教材改编 )f(x) = x2 - 2x(x∈[ - 2,4]) 的单 调增区间为__________;f(x)max=________. 解析:f(x)=x2-2x,关于x=1对称,开 口向上递增区间[1,4]. 当x=4或-2时,f(x)max=8. 答案:[1,4] 8 2x (2)( 教材改编 ) 函数 f(x) = 在 [1,2] 的最大值和最小值分别是 x+1 ________. 2?x+1?-2 2 解析:f(x)= = 2- 在(-∞,-1),(-1,+∞) x+1 x+1 上为增函数. 4 fmin=f(1)=1,fmax=f(2)= . 3 4 答案:3 1 1.在公共定义域上,两个增(或减)函数之和仍为增(或减)函数. a 2. 对勾函数 y=x+ x(a>0)的增区间为(-∞, - a]和[ a, +∞); 减区间为[- a,0)和(0, a],且对勾函数为奇函数. f?x1?-f?x2? 3 .设 ? x1 , x2 ∈ D , (x1≠x2) ,则① > 0( 或 (x1 - x2)(f(x1) x1-x2 f?x1?-f?x2? -f(x2))>0)?f(x)在 D 上单调递增,② <0(或(x1- x1-x2 x2)(f(x1)-f(x2))<0)?f(x)在 D 上单调递减. 4.复合函数 y=f(g(x))的单调性遵循 y=f(t),t=g(x)两个函数单调 性的“同增异减”的法则. 5.函数单调性的判定方法:(1)图象法;(2)定义法;(3)导数法; (4)利用已知函数的单调性. 题型一 确定函数的单调性或单调区间 (1)(2014· 南京模拟)函数 f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为 ________. ax (2)试讨论函数 f(x)= 2 ,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0). x -1 【解】 (1)由 x2-4>0 得 f(x)的定义域为(-∞, -2)∪(2, +∞), 而 t=x2-4 在(-∞,-2)上递减,在(2,+∞)上递增,y=log2t 又是其定义域上的增函数,故 f(x)的减区间为(-∞,-2). (2)法一(定义法):设 x1,x2∈(-1,1)且 x1<x2, ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - x1-1 x2 2 -1 a?x2-x1??x1x2+1? = . 2 ?x2 - 1 ?? x - 1 ? 1 2 ∵-1<x1<x2<1, 2 ∴x2-x1>0,x2 1-1<0,x2-1<0, -1<x1x2<1,x1x2+1>0, ?x2-x1??x1x2+1? ∴ 2 >0. 2 ?x1-1??x2-1? 因此当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数. 法二(导数法): a?x2-1?-2ax2 -a?x2+1? f′(x)= = 2 2 2 ?x -1? ?x -1?2 当 a>0 时,f′(x)<0; 当 a<0 时,f′(x)>0. ∴当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上为增函数. 【答案】 (-∞,-2) 【归纳提升】 1.确定函数单调性及单调区间的方法: (1)能画出图象的函数,用图象法. (2)能作差变形的用定义法. (3)能求导的函数用导数法. (4)由基本初等函数通过加、减运算或复合

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