2015湖北高三数学(理)一轮复习课件10.2《排列与组合》_图文


第2 讲

排列与组合

考纲考向

考纲展示 1.理解排列的概念及排列数公式,并 能利用公式解决一些简单的实际问 题. 2.理解组合的概念及组合数公式,并 能利用公式解决一些简单的实际问 题.

命题分析 从近两年高考试题来看,排列组合的应 用问题是命题的热点内容.独立成题时 多为选择题、填空题,也常与概率、分 布列的有关知识融合,题型多为解答题, 难度中等.

考点基础

基础梳理

1

2

3

4

1.排列与组合的概念
名称 排列 组合 定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个不同 元素 按照一定的顺序排成一 列 并成一组

基础梳理

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考点基础

基础梳理

1

2

3

4

2.排列数与组合数的概念
名称 排列数 组合数 定义 排列的个 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个不同元素的所有 不同 数 组合的个 数

基础梳理

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考点基础

基础梳理

1

2

3

4

3.排列数公式与组合数公式及性质 (1)排列数公式:m n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1). (2)全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫作 n 个元素的一个全 排列,n (n-1)· (n-2)·…·2·1=n!.排列数公式写成阶乘的形式为m n =n· n = 这里规定 0!=1.
m (3)组合数的计算公式:n 0 0!=1,所以n =1. m (4)组合数的性质:①n = n n -m m m ;②n+1 = n + n m -1

n! , (n-m)!

=

m n m m

=

n! m!(n-m)!

=

n(n-1)(n-2)…(n-m+1) ,由于 m!

.

基础梳理

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考点基础

基础梳理

1

2

3

4

温馨提示
(1)要搞清组合与排列的区别与联系:组合与顺序无关 ,排列与顺序有关 ;排列可 以分成先选取 (组合 )后排列两个步骤进行. (2)组合数公式有两种形式:①乘积形式 ;②阶乘形式 .前者多用于数字计算,后者 多用于证明恒等式及合并组合数简化计算.注意公式的逆用 .即由
m n .

n! 写出 m!(n-m)!

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考点基础

基础梳理

1

2

3

4

4.常用的几个恒等式
k k k k k+1 (1)k + k+1 + k+2 +…+k+n = n +k+1 ; k (2)kn =nn -1 ; k -1

(3)n· n!=(n+1)!-n!.

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考点基础

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1-2

3

4

5

1.已知 a∈N 且 a<20,则(27-a)(28-a)…(34-a)等于( A.8 27-a 答案:D 2.满足 3n A.9 答案:B 解析:由
38-n 3n + 21+n 的 n 的值为(

) D.8 34-a

B.34-a

27 -a

C.7 34 -a

) C.11 D.9,10,11

B.10 3n ≥ 38-n,

* 38-n ≥ 0, 得 9.5≤n≤ 10.5,又 n∈N ,故 n=10. 21 + n ≥ 3n,

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考点基础

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1-2

3

4

5

3.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 ( ) B.3× (3!) D.9!
3

A.3× 3! C.(3!)4 答案:C

解析:完成这件事可以分为两步 :第一步排列三个家庭的相对位置,有 3 3种
3 3 排法;第二步排列每个家庭中的三个成员 ,共有 3 3 3 3 种排法.由乘法原理 0 3 3 3 可得不同的坐法种数为 3 3 3 3 3 ,故选 C.

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考点基础

自我检测

1-2

3

4

5

4.(2013·山东,理 10)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的 个数为( A.243 答案:B
1 1 1 解析:构成所有的三位数的个数为 9 10 10 =900,而无重复数字的三位数的 1 1 1 个数为 9 9 8 =648,故所求个数为 900-648=252,应选 B.

) B.252 C.261 D.279

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考点基础

自我检测

1-2

3

4

5

5.2013 年某地春季高考有 8 所高校招生,如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高 校录取,那么录取方法的种数为 答案:168
2 解析:分步考虑 :从 8 所高校中选 2 所,有 8 种选法;依题意必有 2 位同学被同 2 1 一所学校录取,则有 3 2 种录取方法;另一位同学被剩余的一所学校录取. 2 2 1 所以共有 8 ·3 ·2 =168 种录取方法.

.

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重点难点

题型一

排列数、组合数公式的应用

例1

点拨提示

迁移训练1

解下列方程.
3 (1)4 2x +1 =140x ; x+1 x (2)x+3 = x+1 + x+1 + x+2 . x -1 x -2

思路分析:(1)根据排列的意义和排列数公式求解 ; (2)利用组合数的性质.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

排列数、组合数公式的应用

例1

点拨提示

迁移训练1

解:(1)根据排列的意义及公式得 4 ≤ 2x + 1, 3 ≤ x, (2x + 1)2x(2x-1)(2x-2) = 140x(x-1)(x-2), x ≥ 3, 则有 x(x-1)(4x-23)(x-3) = 0. 解之并检验,得 x=3.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

排列数、组合数公式的应用
x -1

例1
x -2

点拨提示

迁移训练1

x 2 1 4 (2)由组合数的性质可得 x+1 + x +1 + x+2 = x+1 + x+1 + x+2 = 2 4 x+2 + x+2 , x+1 2 又x+3 = x+3 , 2 2 4 ∴ x+3 = x+2 + x+2 , 1 2 2 4 即x+2 + x+2 = x+2 + x+2 . 1 4 ∴ x+2 = x+2 .

∴ 5=x+2,即 x=3.经检验知 x=3.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

排列数、组合数公式的应用

例1

点拨提示

迁移训练1

凡遇到解排列组合的方程、不等式问题时,应首先利用性质和排列组合的意义 化简,然后再根据公式进行计算.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

排列数、组合数公式的应用

例1

点拨提示

迁移训练1

(1)若2 +n>2,求 n 的解集; n -2 (2)若
5 7 n-n

5 n

=89,求 n 的值;
n m -1 ; m n -1 m+1 m +1 . n+1 n+1

m (3)证明 n =

m (4)证明 n =

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

排列数、组合数公式的应用

例1

点拨提示

迁移训练1

解:(1)根据题意,有 集为{n∈N*|n≥4}.

n-2 ≥ 2, * 解得 n≥4 且 n∈N ,所以 n 的解 (n-2)(n-3) + n > 2,

(2)因为原式左边=

5 (n-5)(n-7+1)5 n-n

5 n

=(n-5)·(n-6)-1=n2-11n+29,所以

n2-11n+29=89,即 n2-11n-60=0.所以 n=15 或 n=-4(舍去).由于 15>7,从而 n=15 符合题意.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

排列数、组合数公式的应用

例1

点拨提示

迁移训练1

(3)证明:右边= ·

n m

(n-1)! (m-1)![(n-1)-(m-1)]!

=

n! [m·(m-1)!](n-m)!

=

n! m!( n-m)!

=

m n =左边,所以原式成立.

(4)证明 :右边=
n! m!(n-m)!

m+1 (n+1)! m+1 (n+1)! · = · n+1 (m+1)![(n+1)-(m+1)]! n+1 (m+1)!(n-m)!

=

m = n =左边,所以原式成立.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻;(4) 甲、乙之间恰间隔两人; (5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端. 思路分析:在与不在问题用直接法或间接法;相邻问题用捆绑法;不相 邻问题用插空法.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

解:(1)方法一 :要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个
5 有1 4 种站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 5 种站法,根据分 5 步乘法计数原理,共有站法 1 4 ·5 =480 种. 5 方法二 :若对甲没有限制条件共有 6 6 种站法,甲在两端共有 2 5 种站法, 5 从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数为6 6 -25 =480 种.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

(2)方法一:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有 5 5 种站法,再把
5 2 甲、乙进行全排列,有 2 2 种站法,根据分步乘法计数原理,共有 5 ·2 =240

种站法. 方法二 :先把甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 4 4 种站法,再在 5 个空当
2 中选出一个供甲、 乙放入,有 1 5 种方法,最后让甲、乙作全排列,有 2 种方法, 1 2 共有 4 4 ·5 · 2 =240 种站法.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

(3)方法一:(直接法)因为甲、乙不相邻,中间有隔挡,可用“插空法”,第一 步先让甲、乙以外的 4 个人站队,有4 4 种站法;第二步再将甲、乙排在 4 人
4 2 形成的 5 个空当(含两端)中,有2 种方法 , 故共有站法 · 4 5 5 =480 种.

方法二:(间接法)6 个人全排列有6 6 种站法,由(2)知甲、乙相邻有
6 5 2 2 5 5 · 2 =240 种站法,所以不相邻的站法有6 ? 5 · 2 =720-240=480 种.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

(4)方法一:先让甲、 乙以外的 4 个人作全排列,有4 乙按条件 4 种方法,然后将甲、
4 2 插入站队,有 32 2 种站法,故共有4 · (32 )=144 种站法.

方法二:先从甲、 乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、 乙之间的两个位置上,有2 4 种方法,然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有3 3 种方
3 2 2 法,最后对甲、乙进行排列,有2 2 种方法,故共有4 · 3 · 2 =144 种站法.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

(5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有2 2 种方法,再让其他 4 人在中
2 4 间位置作全排列,有4 4 种方法,根据分步乘法计数原理,共有2 · 4 =48 种站

法.
5 (6)方法一:甲在左端的站法有5 5 种,乙在右端的站法有5 种,且甲在左 6 5 4 端而乙在右端的站法有4 4 种,共有6 -25 + 4 =504 种站法.

方法二:以元素甲分类可分为两类:第一类,甲站右端有5 5 种站法;第二
1 4 类,甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有1 4 · 4 · 4 种站法.故共有

1 1 4 5 + · · 4 4 4 =504 种站法. 5
题型一 题型二 题型三 题型四 解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

(1)有特殊元素或特殊位置,先满足特殊元素或特殊位置的要求,再考虑其 他元素或位置. (2)元素必须相邻的排列,需将必须相邻的元素捆绑,作为一个整体,但要注 意其内部元素的排列顺序. (3)元素不相邻的排列,先排其他元素,然后“插空 ”. (4)元素有顺序限制的排列,利用除法 ,消去顺序 .

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

有 4 名男生、 5 名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排 法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

解:(1)方法一

(元素分析法)

先排甲,有 6 种排法,其余人有8 8 种排法, 故共有 6· 8 8 =241 920 种排法. 方法二 (位置分析法)

6 中间和两端有3 8 种排法,包括甲在内的其余 6 人有6 种排法,故共有 6 3 720=241 920 种排法. 8 · 6 =336×

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

方法三

(等机会法)
6 9

9 个人全排列,有排法9 9 种,甲排在每一个位置的机会都是均等的 ,依题 意,甲不在中间及两端的排法共有9 9 × =241 920 种. 方法四 (间接法)

8 8 9 9 -3· 8 =68 =241 920(种).

7 (2)先排甲、乙,再排其余 7 人,共有2 2 · 7 =10 080 种排法.

(3)(插空法)
5 先排 4 名男生,有4 4 种方法,再将 5 名女生插空,有5 种方法,故共有 5 4 4 · 5 =2 880 种排法.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

排列的应用问题

例2

规律方法

迁移训练2

7 (2)先排甲、乙,再排其余 7 人,共有 2 2 · 7 =10 080(种)排法.

(3)(插空法)
5 先排 4 名男生有 4 4 种方法,再将 5 名女生插空,有 5 种方法,故共有 5 4 4 ·5 =2 880(种)排法.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型三

组合的应用问题

例3

点拨提示

迁移训练3

男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛. 在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员. 思路分析:确定问题与顺序无关,属于组合问题.可利用两个计数原理, 采用直接法或间接法求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型三

组合的应用问题

例3

点拨提示

迁移训练3

3 解:(1)第一步 :选 3 名男运动员,有 6 种选法; 2 第二步 :选 2 名女运动员,有 4 种选法. 3 2 共有 6 ·4 =120 种选法.

(2)方法一 :至少 1 名女运动员包括以下几种情况 : 1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得总选法数为
1 4 2 3 3 2 4 1 4 6 + 4 6 + 4 6 + 4 6 =246.

方法二 :“ 至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求
5 5 解.从 10 人中任选 5 人有 10 种选法,其中全是男运动员的选法有 6 种. 5 5 所以“至少有 1 名女运动员”的选法数为 10 ? 6 =246.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型三

组合的应用问题

例3

点拨提示

迁移训练3

(3)方法一:可分类求解 :
4 4 “只有男队长”的选法数为 8 ;“只有女队长”的选法数为 8 ;“男、女队长 3 4 3 都入选”的选法数为 8 ,所以共有 2 8 + 8 =196 种选法.

方法二 :间接法 : 5 5 从 10 人中任选 5 人有 10 种选法,其中不选队长的方法有 8 种,所以“至
5 5 少有 1 名队长”的选法数为 10 ? 8 =196. 4 (4)当有女队长时,其他人选任意,共有 9 种选法.不选女队长时,必选男 4 4 队长,共有 8 种选法.其中不含女运动员的选法有 5 种,所以不选女队长时 4 4 共有 8 ? 5 种选法. 4 4 4 所以既有队长又有女运动员的选法共有 9 + 8 ? 5 =191 种.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型三

组合的应用问题

例3

点拨提示

迁移训练3

组合问题常有以下两类题型变化: (1)“ 含有 ”或“不含有 ”某些元素的组合题型:“ 含 ”,则先将这些元素取出,再 由另外元素补足;“不含 ”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“ 至少 ”或“最多 ”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至 少 ”与“最多 ”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以 求解 ,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理 .

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型三

组合的应用问题

例3

点拨提示

迁移训练3

(2013· 广东广州模拟)如图,∠MON 的边 OM 上有四点 A1,A2,A3,A4,ON 上有三点 B1,B2,B3,则以 O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3 为顶点的三角形个数为 ( ) A.30 答案:B 解析: 方法一:用间接法.先从这 8 个点中任取 3 个点,最多构成三角形
3 3 3 3 8 个,再减去三点共线的情形即可,所求三角形个数为8 ? 5 ? 4 =42.

B.42

C.54

D.56

方法二:直接法.将点 O 归到直线 ON 上,分在 ON 上取 1 个点,2 个点去
2 1 2 1 1 1 解,共有4 3 + 3 4 + 4 3 =42 个三角形.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

排列、组合的综合应用问题

例4

规律方法

迁移训练4

从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数,试问 : (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)(1)中的七位数中,3 个偶数排在一起的有几个? (3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个? (4)(1)中任意 2 个偶数都不相邻的七位数有几个? 思路分析: 本题属于有限制条件的排列、组合问题.可优先考虑特殊元 素或特殊位置,采用先选后排的顺序求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

排列、组合的综合应用问题

例4

规律方法

迁移训练4

3 解:(1)分步完成 :第一步,在 4 个偶数中取 3 个,有 4 种情况;第二步,在 5 4 个奇数中取 4 个,有 5 种情况; 第三步,对 3 个偶数,4 个奇数进行排列,有 7 7种 3 4 7 情况.所以符合题意的七位数有 4 5 7 =100 800 个. 3 4 5 3 (2)(1)中的七位数中,3 个偶数排在一起的有 4 5 5 3 =14 400 个.

(3)(1)中的七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有
3 4 3 4 2 4 5 3 4 2 =5 760 个.

(4)(1)中的七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数
3 4 3 4 分别插入 5 个空当,共有 4 5 5 4 =28 800 个.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

排列、组合的综合应用问题

例4

规律方法

迁移训练4

解排列、组合应用问题的常用思想方法: (1)对于有特殊元素或特殊位置的排列问题,一般采用直接法 ,即先排特殊 元素或特殊位置 ; (2)相邻排列问题 ,通常采用“捆绑 ”法 ,即可以把相邻元素看作一个整体参与 其他元素排列 ,同时 ,注意捆绑元素的内部排序; (3)对于元素不相邻的排列,通常采用“插空 ”的方法 ,即先考虑不受限制的元 素的排列 ,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; (4)对于元素有顺序限制的排列,可以先将不受限制的元素进行排列,然后 将受限制的元素按要求插入到空当里面,同时要注意 :若空当的个数多于受限制 元素的个数 ,则在插入时要考虑受限制元素的排列; (5)间接法 :先不考虑题中的限制条件,求出一个中间结果 ,再想法剔除不满 足限制条件的情况 ,得出最后结果 .

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

排列、组合的综合应用问题

例4

规律方法

迁移训练4

(1)(2013·北京, 理 12)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数 是 . (2)(2013·重庆,理 13)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人 的选派方法种数是 (用数字作答). 答案:(1)96 (2)590

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

排列、组合的综合应用问题

例4

规律方法

迁移训练4

解析:(1)连号有 4 种情况,从 4 人中挑一人得到连号参观券,其余可以全
1 3 排列,则不同的分法有 4×4 3 =96(种). 5 (2)方法一 :从 12 名医生中任选 5 名,不同选法有 12 =792 种.不满足条件 5 的有 :只去骨科和脑外科两科医生的选法有 7 =21 种,只去骨科和内科两科 5 5 医生的选法有 8 ? 5 =55 种,只去脑外科和内科两科医生的选法有 5 5 5 9 ? 5 =125 种,只去内科一科医生的选法有 5 =1 种.故符合条件的选法有

792-21-55-125-1=590 种.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

排列、组合的综合应用问题

例4

规律方法

迁移训练4

方法二 :设选骨科医生 x 名,脑外科医生 y 名, 则需选内科医生(5-x-y)人.
1 1 3 ①当 x=y=1 时,有 3 ·4 ·5 =120 种不同选法 ;

1 2 2 ②当 x=1,y=2 时,有3 · 4 ·5 =180 种不同选法 ;

1 3 1 ③当 x=1,y=3 时,有3 · 4 ·5 =60 种不同选法;

2 1 2 ④当 x=2,y=1 时,有3 · 4 ·5 =120 种不同选法 ;

2 2 1 ⑤当 x=2,y=2 时,有3 · 4 ·5 =90 种不同选法;

3 1 1 ⑥当 x=3,y=1 时,有3 · 4 ·5 =20 种不同选法.

所以不同的选法共有 120+180+60+120+90+20=590 种.
题型一 题型二 题型三 题型四 解题策略

重点难点

平均分组与部分平均分组、分配问题

例1

按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式. (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本 ; (3)平均分成三份,每份 2 本 ; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本 ; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本. 思维启迪:(1)这是一个分配问题,解题的关键是搞清事件是否与顺序 有关. (2)对于平均分组问题,要注意顺序. (3)避免计数的重复或遗漏.
题型一 题型二 题型三 题型四 解题策略

重点难点

平均分组与部分平均分组、分配问题

例1

解:(1)无序不均匀分组问题.
1 2 先选 1 本,有 6 种选法;再从余下的 5 本中选 2 本,有 5 种选法;最后余下 3 3 本全选,有 3 种选法. 1 2 3 故共有分配方式 6 ·5 ·3 =60 种.

(2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有分
1 2 3 配方式 6 · 5 ·3 ·3 3 =360 种.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

平均分组与部分平均分组、分配问题

例1

(3)无序均匀分组问题.
2 2 2 先分三步,则应是 6 · 4 ·2 种方法,但是这里出现了重复.不妨记六

本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该
2 2 2 种分法为(AB,CD,EF),则6 · 4 ·2 种分法中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 3 3种 情况,而这 3 3 种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故 分配方式有
2 2 2 6 ·4 ·2

3 3

=15 种.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

平均分组与部分平均分组、分配问题

例1

(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给 3 个人, 共有分配方式
2 2 2 6 ·4 ·2

3 3

2 2 2 · 3 3 = 6 ·4 ·2 =90 种.
1 1 4 6 ·2 ·1

(5)无序部分均匀分组问题.共有分配方式 (6)有序部分均匀分组问题.

2 2

=15 种.

在(5)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式 (7)直接分配问题.

1 1 4 6 ·2 ·1

2 2

· 3 3 =90 种.

1 1 甲选 1 本,有 6 种方法;乙从余下的 5 本中选 1 本,有 5 种方法 ;余下 4 4 1 1 4 本留给丙,有 4 种方法.共有分配方式 6 ·5 ·4 =30 种.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

平均分组与部分平均分组、分配问题

例1

1.均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型. 解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分 组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无 序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.此题中第(3)问为无序均匀分组,第(4)问 为有序均匀分组. 2.本题易错为:很多考生认为第(2)问与第(1)问结果相同,导致该种错误的 原因是没有弄清人与人是有顺序的.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

随堂演练
1-2 3 4 5

1.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为(
2 A.8 8 9 2 B.8 8 9 2 C.8 8 7 2 D.8 8 7

)

答案:A 解析:因 2 位老师不相邻,故可采用插空法.
8 2 学生 8 人中有 9 个空,且学生全排列为 8 8 ,故排法种数为 8 9 ,选 A.

2.(2013·广东东莞模拟)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字 都大,则称这个数为“伞数”.现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成 无重复数字的三位数,其中“伞数”有( A.120 个 答案:C B.80 个 ) D.20 个 C.40 个

解析:任取 3 个数,其中最大的数字作十位数,其余 2 个数作个位和百位再排
3 2 列,所以有 6 2 =40(个).

随堂演练
1-2 3 4 5

3.若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的 取法共有( A.60 种 C.65 种 答案:D ) B.63 种 D.66 种

4 解析:和为偶数共有 3 种情况 :取 4 个数均为偶数的取法有 4 =1(种);取 2 奇 2 2 4 数 2 偶数的取法有 4 ·5 =60(种);取 4 个数均为奇数的取法有 5 =5(种).故

不同的取法共有 1+60+5=66(种).

随堂演练
1-2 3 4 5

4.若20

2x -7

x = 20 ,则 x=

.

答案:7 或 9 解析:由 2x-7=x 或 2x-7+x=20,得 x=7 或 x=9.

随堂演练
1-2 3 4 5

5.用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位 上的数字之和为偶数的四位数共有 答案:324 个(用数字作答).

2 3 1 1 解析:个位、十位和百位上的数字都是偶数的四位数有3 3 4 + 3 3 3 =90 2 3 1 个;个位、十位和百位上的数字只有一个偶数的四位数有3 3 4 + 1 2 3 1 3 3 3 3 =234 个,所以共有 90+234=324 个.


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