涿鹿县一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析


涿鹿县一中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1. 下列命题中错误的是( ) A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
2. 如图,网格纸上的正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )

A.30 B.50 C.75 D.150

3. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( )

A.4

B.2

C.

D.2

4. 设定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x,y,满足 f(x)+f(y)=f(x+y),且 f(3)=4,则 f(0)+f

(﹣3)的值为( )

A.﹣2 B.﹣4 C.0 D.4

5.

若函数

f

?

x?

?

1 2

?cos

x

?

sin

x??cos

x

?

sin

x?

?

3a

?sin

x

?

cos

x?

?

?

4a

?1?

x



????

? 2

,0??? 上单调递增,则实数的

取值范围为( )

A.

? ??

1 7

,1???

B.

????1

,1 7

? ??

C. (?? ,? 1] [1 ,? ?) 7

D.[1 ,? ?)

? ? 6.

设集合

A

?

? ?

x

|

?

x?3 x ?1

?

0??,集合 B ? ?

x | x2 ? ?a ? 2? x ? 2a ? 0

,若

A ? B ,则的取值范围

()

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A. a ?1

B.1 ? a ? 2

7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

A.64

B.72

C.80

D.112

C. a ? 2


D.1 ? a ? 2

【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识,意在考查空间想象能力与运算求解能力. 8. 若几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.π

9. 设函数的集合
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8

,平面上点的集合 ,则在同一直角坐标系中,P 中函数 的图象恰好经过 Q 中

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D10

10.已知双曲线 C



x2 a2

?

y2 b2

?1( a

? 0 , b ? 0 ),以双曲线 C 的一个顶点为圆心,为半径的圆

被双曲线 C 截得劣弧长为 2? a ,则双曲线 C 的离心率为(



3

A. 6 5

B. 2 10 5

C. 4 2 5

D. 4 3 5

11.设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12.图 1 是由哪个平面图形旋转得到的( )

A.

B.

C.

D.

13.已知集合 A,B,C 中,A?B,A?C,若 B={0,1,2,3},C={0,2,4},则 A 的子集最多有( )

A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

14.已知 a,b, c 为 ?ABC 的三个角 A, B,C 所对的边,若 3b cos C ? c(1? 3cos B) ,则 sin C:sin A ?( )

A.2︰3

B.4︰3

C.3︰1

D.3︰2

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理,意在考查转化能力、运算求解能力.

15.设 F1,F2 是双曲线

的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△ PF1F2 的面积等

于( ) A. B. C.24 D.48
二、填空题
16.定义:分子为 1 且分母为正整数的分数叫做单位分数.我们可以把 1 拆分为无穷多个不同的单位分数之和.例
如:1= + + ,1= + + + ,1= + + + + ,…依此方法可得:

1= + + + + + + + + + + + + ,其中 m,n∈N*,则 m+n=



17.圆心在原点且与直线 x ? y ? 2 相切的圆的方程为_____

.

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式,圆的方程,直线与圆的位置关系等基础知识,属送分题.

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18.某种产品的加工需要 A,B,C,D,E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻),其它工

艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工

艺的排列顺序有

种.(用数字作答)

19.

的展开式中 的系数为

(用数字作答).

三、解答题

20.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数 f ? x? ? alnx ? 1 ?1 .
x
(1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x? 在点 ?1,f ?1?? 处的切线方程;

(2)讨论函数 f ? x? 的单调性;

(3)当

0

?

a

?

1 2

时,求证:对任意

x

?

? ??

1 ,+? 2

? ??

,都有 ???1?

a x

?x?a ??

?

e



21.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩,整理数据并

按分数段











进行分组,假设同一组中的每个数据可用

该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计高

一年级中“体育良好”的学生人数;

(Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在



的样本学生中随机抽取 2 人,求在

抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在

的概率;

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(Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为

,且分别在





.当数据

的方差 最大时,写出

的值.(结论不要求证明)

(注:

,其中 为数据

的平均数)

三组中,其中

22.在平面直角坐标系中,△ ABC 各顶点的坐标分别为:A(0,4);B(﹣3,0),C(1,1) (1)求点 C 到直线 AB 的距离; (2)求 AB 边的高所在直线的方程.

23.已知函数



(Ⅰ)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值.

24.已知函数 f(x0=


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(1)画出 y=f(x)的图象,并指出函数的单调递增区间和递减区间; (2)解不等式 f(x﹣1)≤﹣ . 25.已知命题 p:不等式|x﹣1|>m﹣1 的解集为 R,命题 q:f(x)=﹣(5﹣2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真 命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.
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涿鹿县一中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 B 【解析】解:对于 A,设圆柱的底面半径为 r,高为 h,设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为 a, 则截面面积 S=ah≤2rh. ∴当 a=2r 时截面面积最大,即轴截面面积最大,故 A 正确. 对于 B,设圆锥 SO 的底面半径为 r,高为 h,过圆锥定点的截面在底面的边长为 AB=a,则 O 到 AB 的距离为


∴截面三角形 SAB 的高为

,∴截面面积

S=

=



=



故截面的最大面积为

.故 B 错误.

对于 C,由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台,所得几何体仍是圆台,故截面为圆面,故 C 正确.

对于 D,由于圆锥的所有母线长都相等,轴截面的底面边长为圆锥底面的直径,故圆锥所有的轴截面是全等的 等腰三角形,故 D 正确. 故选:B. 【点评】本题考查了旋转体的结构特征,属于中档题.

2. 【答案】B 【解析】解:该几何体是四棱锥, 其底面面积 S=5×6=30, 高 h=5,
则其体积 V= S×h= 30×5=50.
故选 B.

3. 【答案】A

【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),

∴AB 是正方体的体对角线,AB=



设正方体的棱长为 x,



,解得 x=4.

∴正方体的棱长为 4,

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故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题.

4. 【答案】B 【解析】解:因为 f(x)+f(y)=f(x+y), 令 x=y=0, 则 f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0), 所以,f(0)=0; 再令 y=﹣x, 则 f(x)+f(﹣x)=f(0)=0, 所以,f(﹣x)=﹣f(x), 所以,函数 f(x)为奇函数. 又 f(3)=4, 所以,f(﹣3)=﹣f(3)=﹣4, 所以,f(0)+f(﹣3)=﹣4. 故选:B. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,突出考查赋值法的运用,判定函数 f(x)为奇函数是关键,考查推理 与运算求解能力,属于中档题.

5. 【答案】D









考 点:1、导数;2、单调性;3、函数与不等式. 6. 【答案】A 【解析】
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点:集合的包含关系的判断与应用.

【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用,其中解答中涉及到分式不等式的求解,一元二次

不等式的解法,集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的

应用,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键.

7. 【答案】C.









8. 【答案】B 【解析】解:根据几何体的三视图,得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体, 底面圆的半径为 1,高为 2, 所以该几何体的体积为 V 几何体= × π ?12×2= . 故选:B. 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题,是基础题目.
9. 【答案】B 【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a=- 时,不符;a=0 时,y=log2x 过点( ,-1),(1,0),此时 b=0,b=1 符合;
a= 时,y=log2(x+ )过点(0,-1),( ,0),此时 b=0,b=1 符合;
a=1 时,y=log2(x+1)过点(- ,-1),(0,0),(1,1),此时 b=-1,b=1 符合;共 6 个 10.【答案】B

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考点:双曲线的性质. 11.【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,



,∴θ 为第二象限角,

故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题.

12.【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得,根据旋转体的概念,可知该几何体是由 A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选 A. 考点:旋转体的概念. 13.【答案】B 【解析】解:因为 B={0,1,2,3},C={0,2,4},且 A?B,A?C; ∴A?B∩C={0,2} ∴集合 A 可能为{0,2},即最多有 2 个元素, 故最多有 4 个子集.

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故选:B.

14.【答案】C

【解析】由已知等式,得 c ? 3bcosC ? 3c cos B ,由正弦定理,得 sin C ? 3(sin B cos C ? sin C cos B) ,则

sin C ? 3sin(B ? C) ? 3sin A ,所以 sin C : sin A ? 3:1,故选 C.

15.【答案】C

【解析】解:F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10,

∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x,则



由双曲线的性质知

,解得 x=6.

∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∴∠F1PF2=90°,

∴△PF1F2 的面积=



故选 C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.

二、填空题
16.【答案】 33 .

【解析】解:∵1= + + + + + + + + + + + + ,
∵2=1×2, 6=2×3, 30=5×6, 42=6×7, 56=7×8, 72=8×9, 90=9×10, 110=10×11, 132=11×12, ∴1= + + + + + + + + + + + + =(1﹣ )+ + +( ﹣ )+ ,
+= =﹣+ ﹣ = ,
∴m=20,n=13, ∴m+n=33,

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故答案为:33 【点评】本题考查的知识点是归纳推理,但本题运算强度较大,属于难题.

17.【答案】 x2 ? y2 ? 2 【解析】由题意,圆的半径等于原点到直线 x ? y ? 2 的距离,所以 r ? d ? | 0 ? 0 ? 2 | ?
2 x2 ? y2 ? 2 .
18.【答案】 24

2 ,故圆的方程为

【解析】解:由题意,B 与 C 必须相邻,利用捆绑法,可得

=48 种方法,

因为 A 必须在 D 的前面完成,所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 48÷2=24 种,

故答案为:24.

【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础.

19.【答案】20 【解析】【知识点】二项式定理与性质

【试题解析】通项公式为:

令 12-3r=3,r=3.

所以系数为: 故答案为:

三、解答题

20.【答案】(1) x ? y ?1 ? 0;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)当 a ? 2 时,求出导数易得 f '?1? ?1,即 k ?1,利用点斜式可得其切线方程;(2)

求得可得

f

'?x?

?

ax ?1 x2

,分为 a

?

0和a

?

0 两种情形判断其单调性;(3)当 0

?

a

?

1 2

时,根据(2)可

得函数

f

? x? 在 ?1,2?上单调递减,故

f

???1 ?

a x

? ??

?

f

?1? ,即 aln ???1?

a x

? ??

?

a x?a

,化简可得所证结论.

试题解析:(1)当 a ? 2 时,

f

? x? ? 2lnx ?

1 x

?1,

f

?1? ? 2ln1? 1 ?1 ? 0 ,
1

f

'?x? ?

2 x

?

1 x2



f

'?1? ?

2 1

?

1 12

? 1 ,所以函数

f

? x? 在点

?1,0? 处的切线方程为 y ? 0 ?1?? x ?1? ,即 x ? y ?1 ? 0.

(2)

f

?x? ?

alnx ?

1 x

?1,定义域为 ?0,? ?? ,

f

'?x?

?

a x

?

1 x2

?

ax ? x2

1



①当 a ? 0 时, f '? x? ? 0 ,故函数 f ? x? 在 ?0,? ?? 上单调递减;

②当 a ? 0 时,令 f '? x? ? 0 ,得 x ? 1
a

第 12 页,共 15 页

x
f '?x? f ?x?

? ??

0,1 a

? ??

?



1 a 0
极小值

? ??

1 a

,?

?

? ??

?



综上所述,当

a

?

0

时,

f

?x?

在 ?0,? ??

上单调递减;当

a

?

0

时,函数

f

?x?



? ??

0,1 a

? ??

上单调递减,在

? ??

1 a

,?

?

? ??

上单调递增.

(3)当 0

?

a

?

1 2

时,由(2)可知,函数

f

?

x?



? ??

0,1 a

? ??

上单调递减,显然,

1 a

?

2 ,故 ?1,2?

?

? ??

0,1 a

? ??



所以函数

f

? x? 在 ?1,2? 上单调递减,对任意

x

?

? ??

1 2

,+?

? ??







0

?

a x

?1,所以1? 1?a x

? 2.所以

f

???1 ?

a x

? ??

?

f

?1?

,即

aln

? ??

1?

a x

? ??

?

1 1?

a

? 1?

0,所



aln

? ??

1?

a x

? ??

?

a x?a

,即

ln

? ??

1?

a x

? ??

?

1 x?

,所以
a

x

?x

?

a

?

ln

? ??

1?

a x

? ??

?

1,即 ln ???1?

a x

?x?a ??

? 1 ,所以 ???1?

a x

?x?a ??

?

e.

21.【答案】

【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型

【试题解析】(Ⅰ)由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 人,

所以该校高一年级学生中,“体育良好”的学生人数大约有 人.

(Ⅱ)设 ,

“至少有 1 人体育成绩在

”为事件

记体育成绩在

的数据为 , ,体育成绩在

的数据为 , , ,

则从这两组数据中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 10 种,它们是:





















而事件 的结果有 7 种,它们是:















因此事件 的概率



(Ⅲ)a,b,c 的值分别是为 , , .

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22.【答案】 【解析】解(1)∵ ∴根据直线的斜截式方程,直线 AB:

, ,化成一般式为:4x﹣3y+12=0,

∴根据点到直线的距离公式,点 C 到直线 AB 的距离为



(2)由(1)得直线 AB 的斜率为 ,∴AB 边的高所在直线的斜率为



由直线的点斜式方程为:

,化成一般式方程为:3x+4y﹣7=0,

∴AB 边的高所在直线的方程为 3x+4y﹣7=0.

23.【答案】

【解析】解:(1)由已知得:f′(x)=



要使函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,只需

结合 a>0 可知,只需 a ,x∈[1,+∞)即可.

易知,此时

=1,所以只需 a≥1 即可.

≥0 在[1,+∞)上恒成立.

(2)结合(1),令 f′(x)=

=0 得 .

当 a≥1 时,由(1)知,函数 f(x)在[1,e]上递增,所以 f(x)min=f(1)=0;



时,

,此时在[1, )上 f′(x)<0,在

上 f′(x)>0,

所以此时 f(x)在

上递减,在

上递增,所以 f(x)min=f( )=1﹣lna﹣ ;



时, ,故此时 f′(x)<0 在[1,e]上恒成立,所以 f(x)在[1,e]上递减,

所以 f(x)min=f(e)=



【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路,以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数 在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法.

24.【答案】 【解析】解:(1)图象如图所示:由图象可知函数的单调递增区间为 (﹣∞,0),(1,+∞), 丹迪减区间是(0,1)

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(2)由已知可得





解得 x≤﹣1 或 ≤x≤ , 故不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪ [ , ].

【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法,属于基础题. 25.【答案】 【解析】解:不等式|x﹣1|>m﹣1 的解集为 R,须 m﹣1<0,即 p 是真 命题,m<1 f(x)=﹣(5﹣2m)x 是减函数,须 5﹣2m>1 即 q 是真命题,m<2, 由于 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p、q 中一个真,另一个为假命题 因此,1≤m<2. 【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义,指数函数的单调性与特殊点,分类讨论思想,化简这两个 命题是解题的关键.属中档题.
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