涿鹿县一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析


涿鹿县一中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 下列命题中错误的是( ) A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B.圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个 C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 2. 如图,网格纸上的正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.30

B.50

C.75

D.150 )

3. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( A.4 (﹣3)的值为( 5. 若函数 f ? x ? ? 取值范围为( B.2 ) D.4 C. D.2

4. 设定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x,y,满足 f(x)+f(y)=f(x+y),且 f(3)=4,则 f(0)+f A.﹣2 B.﹣4 C.0

1 ? ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? ? 3a ?sin x ? cos x ? ? ? 4a ? 1? x 在 ?? 2 ,0? 上单调递增,则实数的 2 ? ?

1? ? B. ? ? 1 , ? 7? ?

?1 ? 1? A. ? , 7 ? ? 1 C. (?? , ? ] [1 , ? ?) 7

D. [1 ,? ?)

6. 设集合 A ? ? x | ( )

? ?

x ?3 ? ? 0? ,集合 B ? ? x | x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? 0? ,若 A ? B ,则的取值范围 x ?1 ?

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A. a ? 1 A.64 C.80 B.72

B. 1 ? a ? 2

C. a ? 2 )

D. 1 ? a ? 2

7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( D.112

【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识,意在考查空间想象能力与运算求解能力. 8. 若几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.π

9. 设函数的集合

,平面上点的集合 ,则在同一直角坐标系中,P 中函数 的图象恰好经过 Q 中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8

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D10
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ),以双曲线 C 的一个顶点为圆心,为半径的圆 a 2 b2 2? a ,则双曲线 C 的离心率为( 被双曲线 C 截得劣弧长为 ) 3 6 2 10 4 3 4 2 A. B. C. D. 5 5 5 5
10.已知双曲线 C : 11.设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.图 )

1 是由哪个平面图形旋转得到的(



A. A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

B.

C.

D. ) )

13.已知集合 A,B,C 中,A? B,A? C,若 B={0,1,2,3},C={0,2,4},则 A 的子集最多有( 14.已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个角 A, B, C 所对的边,若 3b cos C ? c(1 ? 3cos B) ,则 sin C:sin A.2︰3 B.4︰3 C.3︰1 D.3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理,意在考查转化能力、运算求解能力. 15.设 F1,F2 是双曲线 于( A. ) B. C.24 D.48

A ?(

的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△ PF1F2 的面积等

二、填空题
16. 定义: 分子为 1 且分母为正整数的分数叫做单位分数. 我们可以把 1 拆分为无穷多个不同的单位分数之和. 例 如:1= + + ,1= + + + 1= + + + + + + + ,1= + + + + + + + + + ,…依此方法可得: ,其中 m,n∈N ,则 m+n=
*



17.圆心在原点且与直线 x ? y ? 2 相切的圆的方程为_____

.

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式,圆的方程,直线与圆的位置关系等基础知识,属送分题.

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18.某种产品的加工需要 A,B,C,D,E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻),其它工 艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工 艺的排列顺序有 19. 的展开式中 种.(用数字作答) 的系数为 (用数字作答).

三、解答题
20.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数 f ? x ? ? alnx ?

f ?1? 处的切线方程; (1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 在点 1,
(2)讨论函数 f ? x ? 的单调性;

?

?

1 ?1. x

1 ?1 ? ? a? (3)当 0 ? a ? 时,求证:对任意 x ? ? , +? ? ,都有 ?1 ? ? 2 ?2 ? ? x?

x?a

? e.

21.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩,整理数据并 按分数段 , , , , , 该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下). 进行分组,假设同一组中的每个数据可用

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计高 一年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 和 的样本学生中随机抽取 2 人,求在 抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 的概率;

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(Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 ,且分别在 , , .当数据 的方差 最大时,写出 的值.(结论不要求证明) (注: ,其中 为数据 的平均数)

三组中,其中

22.在平面直角坐标系中,△ ABC 各顶点的坐标分别为:A(0,4);B(﹣3,0),C(1,1) (1)求点 C 到直线 AB 的距离; (2)求 AB 边的高所在直线的方程.

23.已知函数



(Ⅰ)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值.

24.已知函数 f(x0=



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(1)画出 y=f(x)的图象,并指出函数的单调递增区间和递减区间; (2)解不等式 f(x﹣1)≤﹣ .

25.已知命题 p:不等式|x﹣1|>m﹣1 的解集为 R,命题 q:f(x)=﹣(5﹣2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真 命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

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涿鹿县一中 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 B 【解析】解:对于 A,设圆柱的底面半径为 r,高为 h,设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为 a, 则截面面积 S=ah≤2rh. ∴当 a=2r 时截面面积最大,即轴截面面积最大,故 A 正确. 对于 B,设圆锥 SO 的底面半径为 r,高为 h,过圆锥定点的截面在底面的边长为 AB=a,则 O 到 AB 的距离为 , ∴截面三角形 SAB 的高为 S= 故截面的最大面积为 = ,∴截面面积 ≤ .故 B 错误. = .

对于 C,由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台,所得几何体仍是圆台,故截面为圆面,故 C 正确. 对于 D,由于圆锥的所有母线长都相等,轴截面的底面边长为圆锥底面的直径,故圆锥所有的轴截面是全等的 等腰三角形,故 D 正确. 故选:B. 【点评】本题考查了旋转体的结构特征,属于中档题. 2. 【答案】B 【解析】解:该几何体是四棱锥, 其底面面积 S=5×6=30, 高 h=5, 则其体积 V= 故选 B. 3. 【答案】A 【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3), ∴AB 是正方体的体对角线,AB= 设正方体的棱长为 x, 则 ,解得 x=4. ∴正方体的棱长为 4,
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S×h=

30×5=50.



故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 4. 【答案】B 【解析】解:因为 f(x)+f(y)=f(x+y), 令 x=y=0, 则 f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0), 所以,f(0)=0; 再令 y=﹣x, 则 f(x)+f(﹣x)=f(0)=0, 所以,f(﹣x)=﹣f(x), 所以,函数 f(x)为奇函数. 又 f(3)=4, 所以,f(﹣3)=﹣f(3)=﹣4, 所以,f(0)+f(﹣3)=﹣4. 故选:B. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,突出考查赋值法的运用,判定函数 f(x)为奇函数是关键,考查推理 与运算求解能力,属于中档题. 5. 【答案】D 【 解 析 】

考 点:1、导数;2、单调性;3、函数与不等式. 6. 【答案】A 【解析】

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考 点:集合的包含关系的判断与应用. 【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用,其中解答中涉及到分式不等式的求解,一元二次 不等式的解法,集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的 应用,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 7. 【答案】C. 【 解 析 】

8. 【答案】B 【解析】解:根据几何体的三视图,得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体, 底面圆的半径为 1,高为 2, 所以该几何体的体积为 V 几何体= × π ?12×2= 故选:B. 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题,是基础题目. 9. 【答案】B 【解析】本题考查了对数的计算、列举思想 a=- 时,不符;a=0 时,y=log2x 过点( ,-1),(1,0),此时 b=0,b=1 符合; a= 时,y=log2(x+ )过点(0,-1),( ,0),此时 b=0,b=1 符合; a=1 时,y=log2(x+1)过点(- ,-1),(0,0),(1,1),此时 b=-1,b=1 符合;共 6 个 10.【答案】B .

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考点:双曲线的性质. 11.【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限, ∴ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题. 12.【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得,根据旋转体的概念,可知该几何体是由 A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选 A. 考点:旋转体的概念. 13.【答案】B 【解析】解:因为 B={0,1,2,3},C={0,2,4},且 A?B,A?C; ∴A?B∩C={0,2} ∴集合 A 可能为{0,2},即最多有 2 个元素, 故最多有 4 个子集. ,∴θ 为第二象限角,

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故选:B. 14.【答案】C 【解析】由已知等式,得 c ? 3b cos C ? 3c cos B ,由正弦定理,得 sin C ? 3(sin B cos C ? sin C cos B) ,则

sin C ? 3sin( B ? C ) ? 3sin A ,所以 sin C : sin A ? 3 :1 ,故选 C.
15.【答案】C 【解析】解:F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10, ∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x,则 由双曲线的性质知 ∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∴∠F1PF2=90°, ∴△PF1F2 的面积= 故选 C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用. . ,解得 x=6. ,

二、填空题
16.【答案】 33 . 【解析】解:∵1= + + ∵2=1×2, 6=2×3, 30=5×6, 42=6×7, 56=7×8, 72=8×9, 90=9×10, 110=10×11, 132=11×12, ∴1= + + + = + + + ﹣ + + = + , + + + + =(1﹣ )+ + +( ﹣ )+ , + + + + + + + + + + ,

= ﹣ +

∴m=20,n=13, ∴m+n=33,
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故答案为:33 【点评】本题考查的知识点是归纳推理,但本题运算强度较大,属于难题. 17.【答案】 x2 ? y 2 ? 2 【解析】由题意,圆的半径等于原点到直线 x ? y ? 2 的距离,所以 r ? d ?

|0?0?2| ? 2 ,故圆的方程为 2

x2 ? y 2 ? 2 .
18.【答案】 24 【解析】解:由题意,B 与 C 必须相邻,利用捆绑法,可得 故答案为:24. 【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础. 19.【答案】20 【解析】【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】通项公式为: 所以系数为: 故答案为: 令 12-3r=3,r=3. =48 种方法,

因为 A 必须在 D 的前面完成,所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 48÷2=24 种,

三、解答题
20.【答案】(1) x ? y ? 1 ? 0 ;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】试题分析:(1)当 a ? 2 时,求出导数易得 f ' ?1? ? 1,即 k ? 1 ,利用点斜式可得其切线方程;(2)

ax ? 1 1 ,分为 a ? 0 和 a ? 0 两种情形判断其单调性;(3)当 0 ? a ? 时,根据(2)可 2 x 2 a ? a? ? a? 得函数 f ? x ? 在 ?1, ,化简可得所证结论. 2 ? 上单调递减,故 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ?1 ? ? ? ? x? ? x? x?a 试题解析:(1)当 a ? 2 时, 1 1 2 1 2 1 f ? x ? ? 2lnx ? ? 1 , f ?1? ? 2ln1 ? ? 1 ? 0 , f ' ? x ? ? ? 2 , f ' ?1? ? ? 2 ? 1 ,所以函数 f ? x ? 在点 x 1 x x 1 1 0 ? 处的切线方程为 y ? 0 ? 1? ? x ?1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 . ?1,
求得可得 f ' ? x ? ? (2) f ? x ? ? alnx ?

①当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,故函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减; ②当 a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ?

1 a 1 ax ? 1 ? 1 ,定义域为 ? 0, ? ?? , f ' ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x 1 a
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x

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 ? ? ?? ? , ?a ?

f '? x?

?


0
极小值

?


f ? x?

综上所述,当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? ?? 上单调递减;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在

? ?

1? a?

?1 ? ? ? ? 上单调递增. ? , ?a ? 1 1 ? 1? ? 1? (3)当 0 ? a ? 时,由(2)可知,函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,显然, ? 2 ,故 ?1, 2 ? ? ? 0, ? , 2 a ? a? ? a? a a ?1 ? 所 以 函 数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上 单 调 递 减 , 对 任 意 x ? ? , +? ? , 都 有 0 ? ? 1 , 所 以 1 ? 1 ? ? 2 . 所 以 x x ?2 ? 1 a 1 ? a? ? a? ? a? ? a? ? 1? 0 ,所以 aln ? 1? ? ? ,即 ln ? 1? ? ? ,所以 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 aln ? 1? ? ? ? x ? 1? a ? x? ? x? x?a ? x ? x? a x a? ? a? ? x ? a ? ln ? ? 1? ? ? 1,即 ln ?1 ? ? ? x? ? x?
21.【答案】 【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型 【试题解析】(Ⅰ)由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 人,
x?a

? a? ? 1 ,所以 ?1 ? ? ? x?

x?a

? e.

所 以 该 校 高 一 年 级 学 生 中 , “ 体 育 良 好 ” 的 学 生 人 数 大 约 有 人. ( Ⅱ , ) 设 “ 至 少 有 1 人 体 育 成 绩 在 ” 为 事 件

记体育成绩在

的数据为



,体育成绩在

的数据为



, , .

, ,

则从这两组数据中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 10 种,它们是: , 而事件 , , , , , , , , , ,

的结果有 7 种,它们是:







因此事件 的概率 . (Ⅲ)a,b,c 的值分别是为 ,




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22.【答案】 【解析】解(1)∵ ∴根据直线的斜截式方程,直线 AB: , ,化成一般式为:4x﹣3y+12=0, ; ,

∴根据点到直线的距离公式,点 C 到直线 AB 的距离为 (2)由(1)得直线 AB 的斜率为 ,∴AB 边的高所在直线的斜率为 由直线的点斜式方程为: ∴AB 边的高所在直线的方程为 3x+4y﹣7=0. 23.【答案】 【解析】解:(1)由已知得:f′(x)= .

,化成一般式方程为:3x+4y﹣7=0,

要使函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,只需 结合 a>0 可知,只需 a 易知,此时 ,x∈[1,+∞)即可.

≥0 在[1,+∞)上恒成立.

=1,所以只需 a≥1 即可. =0 得 .

(2)结合(1),令 f′(x)=

当 a≥1 时,由(1)知,函数 f(x)在[1,e]上递增,所以 f(x)min=f(1)=0; 当 时, ,此时在[1, )上 f′(x)<0,在 上递减,在 上 f′(x)>0,

所以此时 f(x)在 当 时,

上递增,所以 f(x)min=f( )=1﹣lna﹣ ;

,故此时 f′(x)<0 在[1,e]上恒成立,所以 f(x)在[1,e]上递减, .

所以 f(x)min=f(e)=

【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路, 以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数 在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法. 24.【答案】 【解析】解:(1)图象如图所示:由图象可知函数的单调递增区间为 (﹣∞,0),(1,+∞), 丹迪减区间是(0,1)

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(2)由已知可得





解得 x≤﹣1 或 ≤x≤ , 故不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪ [ , ].

【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法,属于基础题. 25.【答案】 【解析】解:不等式|x﹣1|>m﹣1 的解集为 R,须 m﹣1<0,即 p 是真 命题,m<1 f(x)=﹣(5﹣2m)x 是减函数,须 5﹣2m>1 即 q 是真命题,m<2, 由于 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p、q 中一个真,另一个为假命题 因此,1≤m<2. 【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义,指数函数的单调性与特殊点,分类讨论思想,化简这两个 命题是解题的关键.属中档题.

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