7.4.简单的线性规划(2)_图文


y

o

x

目标函数所 表示的几何 线性目 意义——在 标函数 y轴上的截 距或其相反 数。 设z=2x-y,求满足 最优解

线性约 束条件
? x ? 4 y ? ?3 ? ? 3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

任何一个满足 不等式组的 (x,y)
可行解

可行域

例题1:设z=2x+y,变量x、y满足下列条件
X-4y ≤ -3 3X+5y≤25 X ≥ 1 y
5

,求z的最大值和最小值.
x=1

解:不等式组表示的平面区域如图所示:

4
3 2 1

x-4y+3=0

3x+5y-25=0
1

0

2

3

4

5

6

7

X

例1.

? x ? 4 y ? ?3 已知 ? 3 x ? 5 y ? 25 ? ?x ? 1 ?

,z=2x+y,求z的最大值和最小值。
y

解:不等式组表示的平 面区域如图所示: A(5,2), B(1,1),
C (1, 22 5 )。

x=1
6 5? 4 3 2 1 B 1 ? 2 ? C

?

作斜率为-2的直线 l : ? y ? 0, 2x 平移,使之与平面区域有公共点,
有图可得,当 B (1,1 ) 过时, y 轴上 A ( 5 , 2 ) 过时, 截距有最小值,当

x-4y+3=0
A

3x+5y-25=0 3
4 5 6 7 x

y 轴上的截距有最大值,

-1 O
-1

? z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12

l

解线性规划问题的步骤:
1.找: 找出线性约束条件、目标函数; 2.画:画出线性约束条件所表示的可行域; 3.移:在线性目标函数所表示的一组平行线 中,利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线; 4.求:通过解方程组求出最优解; 5.答:作出答案。
5

变式.设z=2x-y,变量x、y满足下列条件
A(5,2), B(1,1), C (1,
22 5 )。

Z ? 2x ? y ? y ? 2x ? Z

2x 作斜率为2的直线 l : ? y ? 0,

平移,使之与平面区域有公共点,
平移可得,当 C (1, 22 5 截距有最大值,当 A ( 5 , 2 ) 过时, ) 过时, y 轴上

y 5 4 3

x=1
C

2x-y=0

Z是与Y轴 截距有关

y 轴上的截距有最小值,

所以,

z min z max

代 12 ? 2 ?1? ? ? 入 5 5 ? 2?5? 2 ? 8 点 B l 得 最
22

2
1 0 1 B 2 3 4

A

x-4y+3=0

3x+5y-25=0 5 6 7

X

变式 ; z ?
目标函数

x

2

? y
22 5

2

A(5,2), B(1,1), C (1,

)。

Z 表示区域上的点(

x , y )到( 0,)的距离 0

平移,使之与平面区域有公共点, y

x=1
C A B 1
l

与B点距离最小,
z min ? 1?1 ? 2

5 4 3

与A,C点距离分别是,
zC ? 5 ?2 ?
2 2 2

x-4y+3=0

29
2 2 2

2
1
29
2

zA ? 1 ? (

22 5

) ? 1 ? ( 4 .4 )

3x+5y-25=0 2 3 4 5 6 7

? z max ?

5 ?2
2

2

?

0

X

思考:z = x + y + 4x + 5

2

变式 ; z ?

y ? 2 x ? 3
22

)。 A(5,2), B(1,1), C (1, 5 目标函数 Z 表示区域上的点( x , y )到 ( 3 , ? 2 )的斜率

y

x=1

平移,使之与平面区域有公共点, 与A点倾斜角最小,B点的倾 斜角最大 所以,

5 4 3 C A B 1
l

x-4y+3=0

zA ? zB ?

2?2 5?3 1? 2 1? 3

? 2 3 2

2
1 0

? ?

3x+5y-25=0 2 3 4 5 6 7

X

3? ? ? Z ? ?2 , ?? ? ? ? ? ? , ? 2? ? ?

课本例4:要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,
每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
规格类型 钢板类型

A规格 2

B规格 1

C规格 1

第一种钢板

第二种钢板

1

2

3

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15、18、27块,

问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使
用钢板张数最少

解;设需截第一种钢板x张,第二种钢板y种,则
2 x ? y ? 15 x ? 2 y ? 18 x ? 3 y ? 27

x ? 0
y ? 0

做出可行域 目标函数为 z=x+y

. . .
B .

A

C

? 18 39 ? A? , ? ? 5 5 ?

此题中,钢板张数为整数,在一组平行线 x+y=t中(t为参数),经过可行域内的整 数点且与原点距离最近的直线是
x+3y=27 x+y=4 x+y=11 2x+y=15 x+2y=18 x+y=12

x+y=12
x+y=0

经过的整数点是B(3,9) 和C(4,8) 他们是最优解 答: …………

小结:
列表

实际问题
作 答

设出变量

寻找约束条件 建立目标函数

转化

线性规划问题
建模

最优解
调 整

四个步骤

图解法 目 标 函 数

三 个 转 化

平移找解法
常用方法

最优整数解

调整优值法

距离,斜率等


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