2018高中数学选修4-5课件:第四讲4-1数学归纳法 精品_图文


第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法 [学习目标] 1.理解数学归纳法的原理,能够运用数 学归纳法证明与正整数有关的数学命题(重点). 2.掌握 归纳、猜想、证明的思想方法,提高观察问题、分析问题 的能力,形成良好的思维习惯(难点). [知识提炼· 梳理] 1.定义 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当 n=n0 时命题成立; (2)假设当 n=k(k∈N+,且 k≥n0)时命题成立,证明 n=k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小 于 n0 的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳 法. 2.数学归纳法的使用范围 数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是, 并不能简单地说所有涉及正整数 n 的命题都可以用数学 归纳法证明. 温馨提示 用数学归纳法证明, 关键在于两个步骤要 做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘 掉.” [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√” ,错误的打“×”). (1) 式子 1 + k + k2 +…+ kn(n∈N*) 当 n = 1 时恒为 1.( ) (2)式子 1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当 n=1 时恒为 1 +k.( ) 1 1 1 1 (3)式子 + + +…+ (n∈N*)当 n=1 时恒为 1 1 2 3 2n+1 1 1 + + .( 2 3 ) 1 1 1 (4)设 f(n)= + +…+ (n∈N*),则 f(k n+1 n+2 3n+1 1 1 1 +1)=f(k)+ + + .( 3k+2 3k+3 3k+4 ) 解析:(1)当 n=1 时,恒为 1+k,故(1)不正确. (2)当 n=1 时,恒为 1,故(2)不正确. 1 1 (3)当 n=1 时恒为 1+ + ,故(3)正确. 2 3 1 1 1 1 (4)f(k+1)=f(k)+ + + - , 故(4) 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 错误. 答案:(1)× (2)× (3)√ (3)× 2 .用数学归纳法证明:“1 + a + a2 +…+ an 1 = + 1-an 2 (a≠1,n∈N+)”.在验证 n=1 成立时,左边计 1-a + 算的结果是( A.1 ) B.1+a D.1+a+a2+a3 C.1+a+a2 解析:左边从 1(即 a0)起,每项指数增加 1,到最后 一项为 an+1,因此 n=1 时,左边的最后一项为 a2,因此 左边计算的结果应为 1+a+a2. 答案:C 3.用数学归纳法证明 n(n+1)(2n+1)能被 6 整除时, 由归纳假设推证 n=k+1 时命题成立,需将 n=k+1 时 的原式表示成( ) A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1) B.6k(k+1)(2k+1) C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2 D.以上都不对 解析:n=k+1 时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2 +7k+6)=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]=k(k+1)(2k+1)+ 6(k+1)2,选 C. 答案:C 4. 用数学归纳法证明:“1×4+2×7+3×10+…+ n(3n+1)=n(n+1)2,n∈N+”时,若 n=1,则左端应为 ________. 解析:当 n=1 时,左端为 1×4=4. 答案:4 4 2 n + n 5.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n2= ” 2 时,当 n=k+1 时左端应在 n=k 时加上________. 解析:等式左边是连续自然数的和,所以当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上:(k2+1)+(k2+2)+(k2+ 3)+…+(k+1)2. 故填(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2. 答案:(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2 类型 1 用数学归纳法证明恒等式(自主研析) 1 1 1 1 [典例 1] 用数学归纳法证明 + 2+ 3+…+ n-1+ 2 2 2 2 1 1 =1- n(n∈N+) 2n 2 1 1 1 证明:(1)n=1 时,左边= ,右边=1- = ,等式 2 2 2 成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时,等式成立, 1 1 1 1 即 + 2+…+ k=1- k. 2 2 2 2 当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ k+ k 1=1- k+ k 1=1- k 1, 2 22 2 2+ 2 2+ 2+ 即当 n=k+1 时,等式也成立. 根据(1)(2),等式对任何 n∈N+都成立. 归纳升华 用数学归纳法证明一个代数恒等式, 解题前先要分析 清楚等式两边的构成情况.解这类题的关键在于,第二步 将式子转化成与归纳假设的等式结构相同的形式 ——凑 假设.然后应用归纳假设,经过恒等变形,得到结论所需 要的形式——凑结论. 数学归纳法只是一种证明问题的方法, 它本身并不包 括具体的知识,因此,用数学归纳法证明问题时,要熟练 掌握相关基础知识. 1 1 1 [变式训练] 用数学归纳法证明 1- + - +…+ 2 3 4 1 1 1 1 1 - = + +…+ (n≥1,n∈N*). 2n 2n-1 2n n+1 n+2 1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1- = ,右边= ,命 2 2 2 题成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时命题成立, 1 1 1 1 1 1 1 即 1- + - +…+ - = + +… 2 3 4 2 k 2k-1 k+1 k+2 1 + . 2k 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,左边=1- + - +…+ - 2 3 4 2k-1 2k 1 1 1 1 1 1 1 + - = + +…+ +

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