-学年高中数学人教A版必修四同步辅导与检测:向量加法、减法运算及其几何意义_图文


平 面 向 量

2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法、减法运算及其几何意义

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1.理解向量的和,掌握向量加法的三角形法则和 平行四边形法则,向量加法的运算律及向量减法的三角 形法则.

2.理解向量模的性质.

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基础梳理 一、向量的加法运算 1.向量加法的定义:我们把求两个向量a,b________的 运算,叫做向量的加法,记作:a+b. (1)两个向量的和仍然是一个______; (2)零向量与任一向量a有a+0=0+a=a.

→ 的________,这时起点A到终点C的向量 的________作为 BC →+ → = → .这种 ________就是这两个向量的和向量,即 AB BC AC 求向量和的方法叫三角形法则.
向量加法的三角形法则:“首尾相接,首尾相连” .

→ → → 2.向量加法的三角形法则:向量 AB与 BC 相加时, AB

一、1.和 向量 2.终点 起点 AC



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3.向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线 不适应):

同一点O 为起点的两个已知向量为a,b为邻边作 以________

→ ?OACB,则以O为起点的对角线 OC

就是向量的和.这 种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则, 如图:

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特殊情况:

4.运算律

(1)向量加法的交换律:a+b=b+a.
(__________________. a+b)+c=a+(b+c) (2)向量加法的结合律: 练习1:三角形法则、平行四边形法则是否对所有向 量a,b求和都适用? 三角形法则适合所有向量,平行四边形法则对于两个 向量共线时不适用.

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思考应用 1.由物理上学习的位移的合成,你能否把三角形法则 推广到n多边形的情况? 解析:三角形法则可以推广到n个向量相加的情况: → → → → → AB+BC+CD+DE=AE (注意字母必须首尾顺次连接首尾),

位移的合成可以看成是向量加法三角形法则的物理模型.

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二、向量减法运算 1.减法的三角形法则作法:在平面内取一点O,作 → =a,→ =b,则 → =a-b.

OA

OB

BA

即a-b可以表示为从向量b的______指向向量a的______ 的向量.

向量减法的三角形法则“起点相同,指向被减向量”

二、1.终点 终点

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2.|a+b|、|a-b|、|a|+|b|、|a|-|b|之间的关系 对于任意的两个向量a与b,有________≤ ________. 2. ||a|-|b|| |a|+|b| 练习2:如右图:O是正方形ABCD 的中心,化简下列各式: → → (1)AB+BC; → → (2)AB+AD.

|a±b| ≤

注意:当a,b共线时(包括同向和反向)上式等号成立.

→ → → → → → (1)AB+BC=AC (2)AB+AD=AC
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思考应用 2.前面讨论的是向量运算,我们还学过那些运算?体会

它们的异同.
解析:我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数 间的运算,今天又学到了向量间的运算.对于两个向量, 通过三角形法则或平行四边形法则,有唯一的和向量与之 对应.一般的,对于两个对象,通过一个法则都有唯一确

定的对象与之对应,这就是运算.运算可以帮助我们解决
很多的问题.

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自测自评

1.下列等式正确的个数是( C ) ①a+0=a ②b+a=a+b =0 ⑤a+(-b)=a-b A.2 B.3 ③-(-a)=a ④a+(-a) C.4 D.5

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2.下列命题: ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+b 的 方向必与 a、b 之一的方向相同; → +BC → +CA → =0; ②△ABC 中,必有AB → +BC → +CA → =0,则 A、B、C 为一个三角形的三个 ③若AB 顶点; ④若 a、b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等,其 中真命题的个数为 A.0 B. 1 C. 2 D. ( B ) 3

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→ → → → 3.化简OP-QP+PS+SP的结果等于( B ) → → → → A.QP B.OQ C.SP D.SQ

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4.a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( A ) A.a与b方向相同 B.a=b

C.a=-b

D.a与b方向相反

→ → → 5.如图,在平行四边形ABCD中, BC+DC+BA
等于( A )

→ A.AD → B.BD → C.BA → D.AC
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有关向量的化简 化简:
→ → → (1)AB+CD+BC=________; → → → (2)AB+OA-OB=________; → → → → +DC (3)AB+ BD =________; +CA → → → → (4)OB-OA-OC-CO=________.

(

)

→ → → → → → → 解析:(1)AB+CD+BC=AB+BC+CD=AD. → → → → → (2)AB+OA-OB=AB+BA=0. → → → → → → → → +DC (3)AB+ BD = ( AB + BD ) + ( DC +CA)=0. +CA → → → → → → → → (4)OB-OA-OC-CO=AB-(OC+CO)=AB. → → 答案:(1)AD (2)0 (3)0 (4)AB

(

)

点评:封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量.

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跟踪训练 1.已知下列各式: → → → → → → → ①AB+BC+CA;② AB+MB +BO+OM → → → → → → → → ③OA+OC+BO+CO;④AB+CA+BD+DC

(

)

其中结果为0的个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

→ → 解析:①0;② AB ;③BA ;④0.
答案:B

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以向量为邻边的平行四边形 平行四边形ABCD中,

→ =a,→ AD =b,用a,b表示 AB
→ → DB 向量 AC 、 .

→ =a+b, 解析:由向量加法的平行四边法则得 AC
→ → → 由向量的减法得DB =AB - AD =a-b.

点评: (1)充分利用相等向量进行向量间的转化. (2)以向量a,b为邻边的平行四边形中,(a±b)表示的是两条 对角线所在的向量.

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跟踪训练

→ |=________. AD
长. 答案:5

→ |=3,| → |=4,则| → + 2.在矩形ABCD中,若| AB AB BC

解析:实际上是求分别以3,4为邻边长的矩形的对角线

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向量在实际生活中的应用 一艘船从A点出发以2 3 km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为4 km/h,求

水流的速度.

→ 表示渡船速度,AC 表示船的实际速度.
AB⊥AD,在Rt△ABC中, AB=
42-(2 3)2=2.

→ → 解析:如图, AB 表示水流速度, AD

所以水流速度为2 km/h.
点评:把速度问题转化为向量的加减问题,问题就显得 简单明了.

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跟踪训练 3.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行

驶,同时河水的流速为v2,船的实际航行的速度的大小为4
km/h,方向与水流间的夹角是60°,求v1和v2.

→ 表示水流速度,AD 表示 解析: AB → 表示船的实际速度. 渡船速度, AC
AB⊥AD,在Rt△ABC中,AB= 4×cos 60°=2,



AD=4×sin 60°=2 3 .
∴v1=2 3 km/h,v2=2 km/h.

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向量模的性质应用

→ |=8,| 若| AB
________.

→ |的取值范围是 → |=5,则| BC AC

→ → → 解析:∵|BC|=|AC-AB|, → → → → → ≤|BC | ≤ | AC | + | AB |, |AC|-|AB| → ∴3≤|BC|≤13. → 即|BC|的取值范围为:[3,13]. 答案:[3,13]

|

|

点评:对于任意的两个向量a与b,有 ||a|-|b|| ≤|a±b| ≤|a|+|b|,要从三角形两边之和、差与第三边的大小关系来 理解和记忆.

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跟踪训练 4.若向量a、b满足|a|=5,|b|=12,则|a+b|的最小值 是________,|a-b|的最大值是________. 解析:由向量模的性质 ||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|可得答

案.
答案:7 17

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一级训练

→ → → 1.化简PM-PN+MN所得结果是( C ) → → A.MP B.NP → C .0 D.MN → → → → → 2.在△ABC 中,|AB|=|BC|=|CA|=1,则|AB-AC| 的值为( B ) A.0 B.1 C. 3 D.2

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掌握两个向量的减法运算可以转化为加法来进行.

→ =0;以向量a,b为邻边的平行四边形中, + CA (a±b) 表
示的是两条对角线所在的向量. 2.注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要 点.

→ +→ 1.记住常用关系、常用数据:如△ABC中 AB BC

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