最新-广东省惠来县2018学年高二数学上学期期末考试试题 文 新人教A版 精品


惠来二中 2018-2018 学年第一学期高二级 期末考试(文科)数学 试题
第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题: (本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等式不成立 的是( ) ... A. 错误!未找到引用源。 C. ln a ? ln b 2、设 x ? R ,则“ x ? B. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。

1 ”是“ (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ”的( 2
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

A.充分而不必要条件 C.充要条件

3、等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于( A.3 4、曲线 f ( x ) ? B.4 C.5 )

) D.6

1 2 ? 1? x 在点 ?1, ? 处的切线方程为 ( 2 ? 2?

A. 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 5、 下列有关命题的说法中错误 的是( .. )

B. 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? 2 y ? 3 ? 0

A.若错误!未找到引用源。为假命题,则错误!未找到引用源。均为假命题 B.命题“若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。“的逆否命题为:“若错误! 未找到引用源。则错误!未找到引用源。” C. 若命题错误!未找到引用源。使得错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 均有错误!未找到引用源。 D. “错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。”的充分不必要条件

?y ? x ? 6、设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?
A.1 7. 函数 y= B.2 C.3 D.4 )



1 2 x ? ㏑ x 的单调递减 区间为( .. 2

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。 D.错

C.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 8、如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED , 则 cos ?CED ? ( ) D

3 10 A. 10
C.

10 B. 10
D.

C

5 10

5 15


E

A

B

9.下列不等式中,一定成立的是( A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0 ) ;
2

1 4

B. sin x ? D.

1 ? 2 ( x ? k? , k ? Z ) ; sin x

C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R ) ;
2

1 ?1( x ? R) x ?1
2

x2 y 2 10、如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A , B ,左、右焦点分别是 F 1, a b

F2 ,若 AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为(
A.

)

y

1 4

B.

1 2
A F1 O F2 B x

C.

5 5

D. 5 ? 2

第 II 卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11、命题“ ?x ? R, e ? x ”的否定是
x

. . .

12、 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边为 a, b, c, 若a ? 3 则角 A= ,b ? 2 , B? 4 5 ? , 13、以 x 轴为对称轴,以坐标原点为顶点,焦点在直线 x ? y ? 1 上的抛物线的方程是 14、数列 {an } 满足: an ? 1 ? 2 ? … ? n ( n ?N ) ,则
*

1 1 1 ? ?…? ? a1 a2 an

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15、 (本小题满分 12 分) 在锐角△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (Ⅰ) 确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c = 7 ,且△ ABC 的面积为

a 2c ? sin A 3

3 3 2 2 求 a ? b 的值. 2 ,

16、 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。

17、 (本小题满分 13 分)
x 已知 x ? 1 是函数 f ? x ? ? ? ax ? 2? e 的一个极值点. ( a ? R )

(1)求 a 的值; (2)求 f ( x) 在区间 ? 0, 2? 上的最值.

18、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程;

3 . 2

(Ⅱ)已知点 A(0 ,1) 和直线 l : y ? x ? m ,线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 l 垂直平 分弦 AB ,求实数 m 的值.

19、 (本小题满分 14 分) 在数列错误!未找到引用源。中,已知错误!未找到引用源。. (Ⅰ)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (Ⅱ)求证:数列错误!未找到引用源。是等差数列; (Ⅲ)设数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用 源。的前 n 项和错误!未找到引用源。.

20、 (本小题满分 14 分) 已知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 .

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0, 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若不等式 2 x ln x ?

f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

惠 来 二 中 2018-201 8 学 年 度 第 一 学 期 高 二 级 期 末 考 试 数 学 ( 文 科 ) 参考答案 一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 C 5 A 6 C 7 D 8 A 9 C 10 C

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ?x ? R, e x ? x 13. y 2 ? 4 x 12. 60 或 120

14.

2n . n ?1

三、 解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.) 15、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)解:∵

a 2c ? sin A 3
3 2

由正弦定理得

a c c ? ? sin A 3 sin C 2

…2 分

∴ sin C ? ∵

………………4 分

?ABC 是锐角三角形, ∴ C ?

?
3

………………6 分

(Ⅱ)解:

c? 7, C ?

?
3

由面积公式得

1 ? 3 3 absin ? 2 3 2
∴ ab ? 6
2 2 由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos

………………8 分 ………………9 分

?
3

?7

………11 分 ………………12 分

2 2 ∴ a ? b ? 13

16、 (本小题满分 13 分) 解: (1)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2 ………4 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n …………6 分 (2)由(Ⅰ)可得 S n ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
……9 分

…………8 分

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所以 a2k ? a1Sk ?2

从而 (2k )2 ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0 …………11 分

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去), 因此 k ? 6 .…………13 分 17、 (本小题满分 13 分) (1)解: f '( x) ? (ax ? a ? 2)e x , 由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 . --------------2 分 ---4 分

当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ,在 x ? 1 处取得极小值. 所以 a ? 1 . -----6 分 (2)由(1)知, f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? ( x ? 1)e x . 当 x ? [0,1) 时, f ??x? ? ?x ? 1?e x ? 0 , f ( x) 在区间 ?0,1? 单调递减; 当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? ( x ?1)e x ? 0 , f ( x) 在区间 ?1, 2? 单调递增. 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?e .------ 11 分 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 , 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x ) 的最大值为 f (2) ? 0 . 18、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) ----------13 分

x2 ? y 2 ? 1 ;………………6 分 4

(Ⅱ)由条件可得直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1 .于是,有

? y ? ?x ? 1 8 ? 2 ? 5 x 2 ? 8 x ? 0 ? xB ? , ?x 2 5 ? ? y ?1 ?4
设弦 AB 的中点为 M ,则由中点坐标公式得 xM

yB ? ? xB ? 1 ? ?
1 4 , yM ? , 5 5

3 5.

?

由此及点 M 在直线 l 得

1 4 3 ? ? m ? m ? ? .…………………………………….14 分 5 5 5

19、 (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)∵错误!未找到引用源。 ∴数列{错误!未找到引用源。 }是首项为错误!未找到引用源。 ,公比为错误!未找到引 用源。的等比数列, ∴错误! 未找到引用源。 .…………………………………………………………………………4 (Ⅱ)∵错误!未找到引用源。……………………………………………………………… 5 分 ∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.………………………8 分 ∴数列错误!未找到引用源。是首项错误!未找到引用源。 ,公差错误!未找到引用源。的 等差数列.…………………………………………9 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) ∴错误!未找到引用源。.………………………………………………10 分 ∴错误!未找到引用源。 , 于是错误!未找到引用源。 ① ②… 9 分

两式①-②相减得错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。.…………………………………13 分 ∴ 错误!未找到引用源。.…………………………………………14 分. 20、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) ∵ a ? 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? x ? 2 ∴ f ?( x) ? 3x ? 2x ? 1
3 2 2

…1 分

∴ k ? f ?(1) ? 4 , 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3) ∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? ( x ? a)(3x ? a)
2 2

…………4 分

由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ?

a 3 a . 3

…………5 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 得 ?a ? x ? 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ?

a 3 a 3

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) . …………7 分

a 3

(2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a ? x ? ?a . 3

a 或 x ? ?a 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?a) ,单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3 3 a 综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 3 a a a ( , ??) 当 a ? 0 时 , f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ( , ?a) 单 调 递 增 区 间 为 (??, ) 和 3 3 3
(?a, ??) .
……………9 分

(Ⅲ)依题意 x ? (0,??) ,不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立, 等价于

2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立
3 1 x? 在 (0, ??) 上恒成立 ………………11 分 2 2x 3x 1 h? x ? ? ln x ? ? 设 , 则 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? ………………12 分 1 3 1 h ' ?x ? ? ? ? 2 ? ? x 2 2x 2x 2 1 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1, x ? - (舍)当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 3
可得 a ? ln x ? 当 x 变化时, h?( x), h( x) 变化情况如下表:

x
h?( x)

(0,1)
+ 单调递增

1

(1,??)
单调递减

0
-2

h( x )

∴ 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2 ∴

? a ? ?2
………14 分

a 的取值范围是 ?? 2,??? .
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