变差函数_图文


变差函数和结构分析

思考题

? 变差函数和协方差函数之间的关

系。 ? 如何对区域化变量(空间随机场) 进行结构分析。

本讲的主要内容

空间信息统计的发展历史 ? 变差函数的概念 ? 实验变差函数的计算 ? 变差函数模型的拟合与套和 ? 变差函数的应用
?

2 空间信息统计的研究内容、历 史

?参考文献
?空间信息统计的研究内容

?空间信息统计的研究历史

参考书

?

?
?

?

1.Journel A G, Huijbregts C. Mining Geostatistics, London: Academic Press, 1978, 1~690 2. 王仁铎,胡光道. 线性地质统计学. 武汉:中国 地质大学出版社,1984 3. Goovaerts P. Applied geostatistics for natural resources evaluation, New York: Oxford University Press, 1997 4. 侯景儒,尹镇南 李维明等 . 实用地质统计学 (空间信息统计学)北京:地质出版社, 1998 ,

国外杂志

? ? ? ?

International Association for Mathematical Geology ( IAMG ) Mathematical Geology(Mathematical geosciences) Computers&Geosciences Natural Resources Research Geoderma

空间信息统计的研究内容

空间信息统计是真正从地学发展起来的一 门学科 ? GIS是真正从地学中发展起来的技术 ? 利用空间随机变量之间的空间相关性来研 究空间随机场的统计特征 ? 空间信息统计的基础就是空间邻近原理
?

空间信息统计的研究内容

?

具体的内容可以分为: 1 结构分析理论 (变差函数) 2 克立格估值理论( Kriging方法) 3 条件模拟理论 (蒙特卡罗方法)

空间信息统计的研究历史

南非的采矿工程师 D G Krige 巴黎枫丹白露地质统计学和数 学形态学研究中心 G Mathoron
斯坦福大学 A G Journel

3. 变差函数的概念

?

区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差 之半定义为Z(x)的变差函数:
? ( x, h) ? Var[ Z ( x) ? Z ( x ? h)]
1 1 E[ Z ( x) ? Z ( x ? h)]2 ? {E[ Z ( x)] ? E[ Z ( x ? h)]}2 2 2 1 ? E[ Z ( x) ? Z ( x ? h)]2 2 ? 1 2

变差函数与协方差函数
?

变差函数与协方差函数之间的关系:

? (h) ? C (0) ? C (h)
2 ? ( h) ? 1 E [ Z ( x ) ? Z ( x ? h )] 2 2 2 ?1 E [ Z ( x ) ? 2 Z ( x ) Z ( x ? h ) ? Z ( x ? h ) ] 2 2 2 ?1 { E [ Z ( x ) ] ? 2 E [ Z ( x ) Z ( x ? h )] ? E [ Z ( x ? h ) ]} 2

? E[ Z ( x)]2 ? E[ Z ( x) Z ( x ? h)]
C (0) ? E[ Z ( x)]2 ? {E[ Z ( x)]}2 ? E[ Z ( x)]2 ? m 2 C (h) ? E[ Z ( x) Z ( x ? h)] ? E[ Z ( x)]E[ Z ( x ? h)] ? E[ Z ( x) Z ( x ? h)] ? m 2
?

计算估计方差的时候会用到

4. 实验变差函数的计算

实验变差函数的计算:
N (h) 1 2 ? * (h) ? [ Z ( x ) ? Z ( x ? h )] ? 2 N (h) i ?1

实验变差函数的计算
2 4 3 1 3 4 2 3 5

1 2 2 2 2 2 2 ? 东西 (1) ? (1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ) ? 0.42 2? 6
1 ? 东西 (2) ? (0 2 ? 12 ? 2 2 ) ? 0.83 2?3

实验变差函数的计算
2 4 3 1 3 4 2 3 5

1 ? 南北 (1) ? (2 2 ? 12 ? 2 2 ? 12 ? 12 ? 22 ) ? 1.25 2?6 1 2 2 2 ? 南北 (2) ? (1 ? 3 ? 3 ) ? 3.17 2?3

实验变差函数的计算
2
4 3

1
3 4

2
3 5

? 北东-南西

1 2 2 2 2 ( 2) ? (3 ? 0 ? 1 ? 1 ) ? 1.38 2? 4 1 2 (2 2 ) ? (1 ) ? 0.5 2 ?1

? 北东-南西

实验变差函数的计算
2 4 3 1 3 4 2 3 5

? 北西-南东
? 北西-南东

1 ( 2) ? (22 ? 12 ? 22 ? 02 ) ? 1.13 2? 4 1 2 (2 2 ) ? (3 ) ? 4.5 2 ?1

实验变差函数的计算方法

? 点对云图方法

? 点对分组计算

点对云图方法

点对分组计算
Y(h)
2000

1000

0 0 1000 2000 3000 4000 5000

h(m)

角度容差

y

x
角度容差

距离容差

B A
距离容差h0/2

0

h0 (h0/2,Y1)

1
(3h0/2,Y2)

2

3

4

离群值对实验变差函数的影响
1 0 0 0

1 0 0 0

8 0 0

8 0 0

C 2
6 0 0

6 0 0

频 率

4 0 0

频 率

C 2

4 0 0

2 0 0

2 0 0

0

< = 1 0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

0

< = 1 0

3 0

5 0

7 0

9 0

1 1 0

原始数据
γ (h)
300

经过预处理的数据

原始数据

200

预处理后的数据

处理前后变差函数 的对比

100 0

10

距 离 (km) 20

5. 变差函数的类型

?

变差函数的模型根据变差函数在原点处的 特性分为: h ? 0, ? ( h) ? A h 或A h 1. 连续型 h ? 0, ? (h) ? C 2. 间断型 h ? 0, ? (h) ? C 3. 随机型 h ? 0, ? (h) ? C 4. 过渡型
2

0

0

0

变差函数的类型

Y(h)

间断型(原点为0)

连续型 随机型

h

变差函数的模型

Y(h)
球状模型

指数模型 高斯模型

h

变差函数模型
?

1.球状模型
0 ? ? 3h 1h 3 ? ? ( h) ? ?C0 ? C ( ? ) 3 2a 2a ? C0 ? C ? ? h?0 0?h?a h?a

?

2. 指数模型

? (h) ? C0 ? C (1 ? e )
?

h ?a

3. 高斯模型

? (h) ? C0 ? C (1 ? e

? h2
a

2

)

参数名称及含义

? C0

块金常数 ?a 变程 ?C 拱高

球状模型
γ(h)

C
C0

a

h

1 ? (h) ? E[ Z ( x) ? Z ( x ? h)] 2 2

实验变差函数的拟合与套和
200.00

150.00

100.00 0.00 10.00 20.00

实验变差函数的拟合有很多种方法 ? 加权最小二乘法 ? 线性规划方法 ? 遗传算法 ? 交互式拟合方法

变差函数的套和
实际的区域化变量的变化性是十分复杂的, 往往包含着各种尺度上的多层次性,反映 在变差函数上就是它的结构不是单纯的一 种结构,而是多层次结构叠加在一起称为 套和结构。 例如不同尺度上的地质作用: 地质上: 全球构造运动、断裂带上的构造运 动、断层上的变形 地理上: 全球的变化、气候带的变化、局部 的变化
?

变差函数的套和
? (h) ? ? 0 (h) ? ? 1 (h) ? ?? ? i (h)
Y(h)
C0 ? C1 ? C2
C0 ? C1
C2

二阶球状模型的套和

a1

a2

h

6 实验变差函数的应用

变差函数和区域化变量(随机场)的 对应关系 (噪声,相关程度,相关范围) ? 空间场的各向异性 ? 空间场的尺度特征 ? 空间场的周期性特征
?

块金常数的含义
Y
3
1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1

1

0.3

0.2

X

红点代表的随机函数其块金常数明显高于白 点代表的随机函数

基台值的含义
Y

A

B

X

变程的含义
?

假设两点之间相差为ΔZ时不相关 B

A O

?

横向的变程比纵向的大

实例:

40.00

30.00

20.00

10.00

0.00 0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

土壤甲烷各方向变差函数拟合图
80000
60000

40000

40000

0 0
80000

10

20000

20

0

10

20

N-S
100000

NE-SW

40000

50000

0 0

10

20

0 0

10

20

E-W

NW-SE

实验变差函数的应用
200

200

150

150

100 0

10

20

100 0

10

20

N-S
200

NE-SW
200

160

100
120 0 10 20

E-W

0

10

NW-SE

20

30

确定空间场的不均匀性(乙烷)

甲烷 块金常数 (C0) N-S 向 NE-SW 向 E-W 向 NW-SE 向 均值(m) C0/m2 C1/m2 C1/ C0 39500 39500 39500 39500 变程 (a) 10 10.3 16.5 18 749.14 0.070 (N-S) 0.0321 (N-S) 0.46 (N-S) 拱高 (C1) 18000 11500 27000 35000 块金常数 (C0) 134 136 129 117

乙烷 变程 (a) 7 10 16 10 49.05 0.057 (N-S) 0.0075 (N-S) 0.13 (N-S) 拱高 (C1) 18 21 57 50

变差函数的各向异性

基台值相等

基台值和变程都不等

变程椭圆

变差函数的周期性特征
1

0.5

0

-0.5

-1

0

2

4

6

8

10

12
0.5

14

16

18

20

时 间 变 差 函 数

0.3

0.0

0

2

4

6

间 隔 (t/s)

计算不规则点数据的周期
10

8

震 级

?? ??

6

4

2

0 1000

1100

1200

1300

1400

年代

1500 1600 ?± ??

1700

1800

1900

0.8

公元1000年以来,华北地 区大于等于6级地震的周期

试 验 变 差 函 数

0.4 0 200 400 600 800

时 间 间 隔 ( 年 )

本讲小结

?

?
?

平稳假设和本征假设 空间统计的研究内容、历史 变差函数和结构分析


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