重庆市第十一中学学高二数学下学期期中试题文-精


重庆市第十一中学校高 2017 级高二下期中考试 数学试题(文科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.复数

5 ? 2?i

(

)A. 2 ? i

B. 2 ? i

C. 1 ? 2i ) D.
1 2

D. 1 ? 2i

1) 处的切线的斜率为 ( 2.曲线 y ? sin x ? e x 在点 (0,

A.2

B.3

C.

1 3

3. f ( x) 的导函数 f ' ( x) 的图象如图所示,则函数 f ( x) 的图象最有可能的是图中的(

)

4.用反证法证明命题: “ a, b, c, d ? R , a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,且 ac ?bd ? 1 ,则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为( A. a, b, c, d 中至少有一个正数 C. a, b, c, d 全都大于等于 0 5.函数 y ? ). B. a, b, c, d 全为正数 D. a, b, c, d 中至多有一个负数 )A. e
?1

ln x 的最大值为( x

B. e
?

C. e

2

D. )

10 3

6. 已知 x , y 的取值如图所示,且线性回归方程为 y ? bx ?

13 ,则 b ? ( 2
4 5

x
y
A.

2 6

3 4

1 3
x

B.

1 2

C. ?

1 3

D. ?

1 2


7.若函数 f ? x ? ? x ? e ? m 在 R 上存在两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. ?

1 ?m?0 e

B. m ? ?

1 e

C. m ? e

D. ?e ? m ? 0

1

8.函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( A. 0 ? a ? 1
3 2

)

B. 0 ? a ? 1
2

C. ? 1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? )

1 2

9.已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=-1 时有极值 0,则 a-b=( A.-7 B.-2 C.-7 和-2 D.以上答案都不对

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 10.已知数列{an}的各项分别为 , , , , , , , , , ,?,依它的前 10 项的规 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 律,则 a99+a100 的值为 A. 11 15 ( 7 B. 6 ) C. 37 24 D. 7 15

11.函数 f ( x) ? ln x ? 数 a 的取值范围是(

x ( a ? 0) ,若 ?x0 ? R ,使得 ?x1 ??1, 2? 都有 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则实 a
) (0,1) B. (1, 2) C. (2, ??) D. (0,1) ? (2, ??)

12.设函数 f ( x ) 在 R 上存在导函数 f ?( x ) ,对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? f (? x) ? x2 ,且

x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? x ,若 f (2 ? a) ? f (a) ?2 ?2 a ,则实数 a 的取值范围是(
A. ?1, ?? ? B. ? ??,1? C. ? ??, 2? D. ? 2, ???



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设 i 是虚数单位,若复数 z ? i ,则 z 的虚部为 14.在边长为 10cm ? 16cm 的矩形纸板的四个角,截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的 盒子,那么盒子容积的最大值是

S1 1 15.在平面几何中有如下结论:若正△ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 = . S2 4
推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体 A-BCD 的内切球体积为 V1,外接球体积 为 V2,则 =________. 16. 直线 y=m 与 y=2x﹣3 及曲线 y=x+ex 分别交于 A、 B 两点, 则 AB 的最小值为 .

V1 V2

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.17 题 10 分,其它题为 12 分。解答应写出文字 说明.证明过程或演算步骤) .
3 2 17.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0, 2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切

线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

18.某中学有甲乙两个文科班进行数学考试,按照大于或等于 120 分
2

为优秀,120 分以下为非优秀统计成绩后,得到如下列联表: 优秀 非优秀 合计 甲 20 5 25 乙 10 15 25 合计 30 20 50 (Ⅰ)用分层抽样的方法在优秀的学生中抽 6 人,其中甲班抽多少人? (Ⅱ)计算出统计量 k ,能否有 95%的把握认为“成绩与班级有关”? 下面的临界值表代参考:
2

P(k 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式 k ?

n(ad ? bc)2 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
1 相切. 2

19. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a, b ? R .若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值.

1 e

20.在 2015 年春节期间, 某商场对销售的某商品一天的投放量 x 及其销量 y 进行调查, 发现 投放量 x 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示: 投放量 x 销售量 y 6 2 8 3 10 5 12 6

通过分析,发现销售量 y 对投放量 x 具有线性相关关系。 (Ⅰ)求销售量 y 对投放量 x 的回归直线方程; (Ⅱ)欲使销售量为 8,则投放量应定为多少。 (保留小数点后一位数)

21. 函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x .
2

(Ⅰ)求函数 h( x) ? f ( x) ? x ? 1 的最大值; (Ⅱ)对于任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x2 ? x1 ,是否存在实数 m ,使

mg ( x2 ) ? mg ( x1 ) ? x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) 恒成立,若存在求出 m 的范围,若不存在,说
3

明理由;

22.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 1, a ? R . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ?x ? ? 0 在 x ? ?0,??? 上恒成立,求所有实数 a 的值; (Ⅲ)对任意的 0 ? m ? n ,证明:

1 f (n) ? f ?m ? 1 ?1 ? ? ?1 n n?m m

4

重庆市第十一中学校高 2017 级高二下期中考试 数学答案(文科) 一:选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1---6 BAABAD 7---12 ABAACDB

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.1 14.2 15.

1 27

16.2

16.解:设 A(x1,a),B(x2,a), 则 2x1﹣3=x2+ex2, 令 y= (x﹣e ﹣3),
x

∴x1= (x2+ex2+3), ∴|AB|=|x2﹣x1|=| (x2﹣ex2﹣3) 则 y′= (1﹣e ),
x

∴函数在(0,+∞)上单调递减,在(﹣∞,0)上单调递增, ∴x=0 时,函数 y 的最大值为﹣2, 即有|AB|的最小值为 2.故答案为:2. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.17 题 10 分,其它题为 12 分。解答应写出文字 说明.证明过程或演算步骤) . 17. 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ) 的图象经过 P(0, 2) ,知 d ? 2 , 所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2 .
3 2

所以 f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .
2

由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,

(?1) ? 6 . 知 ?6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,即 f (?1) ? 1 , f ′
所以 ?

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, 即? 解得 b ? c ? ?3 . ??1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0.
3 2

故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 . (Ⅱ)因为 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ,
2

令 3x ? 6 x ? 3 ? 0 ,即 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,
2 2

解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 . 当 x ? 1? 2 或 x ? 1? 2 时, f '( x) ? 0 ,

5

当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 在 (??,1? 2] 内是增函数,在 [1 ? 2,1 ? 2] 内是减函数, 在 [1? 2, ??) 内是增函数.

25 ? 8.333 ? 7.879,? 有 95%把握认为 “成绩与班级有关”. 3 1 1 19. (1) a ? 1, b ? ; (2)最大值为 f (1) ? ? . 2 2
18. 解: (1)4 (2) ? K ?
2

20. 解: (1)

?x y
i ?1 i

4

i

? 6 ? 2 ? 8 ? 3 ? 10? 5 ? 12? 6 ? 158
y?
_

x?

_

6 ? 8 ? 10 ? 12 ?9 4

2?3?5? 6 ?4 4

?x
i ?1

4

2 i

? 36 ? 64 ? 100? 144 ? 344
a ? 4 ? 0.7 ? 9 ? ?2.3
?

b?

?

158 ? 4 ? 9 ? 4 ? 0 .7 344 ? 4 ? 81
?

故线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 2.3 (2)由题意知: 8 ? 0.7 x ? 2.3 ? x ? 14.7 21. (1) h( x) ? ln x ? x ? 1 , 则 h?( x) ?

1 1? x ?1 ? , x x

所以 x ? (1, ??) 函数单调递减, x ? (0,1) 函数单调递增. 从而 h( x) |max ? h(1) ? 0 (2)若 mg ( x2 ) ? mg (x1) ? x1 f (x1) ? x2 f (x2 ) 恒成立,则

mg ( x2 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x1 ) ? mg ( x1 ) ,设函数 ? ( x) ? mg ( x) ? xf ( x) ? mx2 ? x ln x ,又
则只需函数 ? ( x) 在 (0, ??) 上为单调递减函数, 即 ? ?( x) ? 2mx ? 1 ? ln x ? 0 在 0 ? x2 ? x1 ,

1 ? ln x , x 1 ? ln x ln x 记 t ( x) ? ? ,则 t ?( x) ? 2 ,从而 t ( x) 在 ? 0,1? 上单调递减,在 (1, ??) 单调递增, x x 1 故 t ( x) |min ? t (1) ? ?1 则存在 m ? ? ,使得不等式恒成立. 2 a a?x (x ? 0) , 22. 解: (1) f '( x) ? ? 1 ? x x

(0, ??) 上恒成立,则 2m ? ?

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 减区间为 (0, ??) 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? a
6

∴ f ( x) 递增区间为 ? 0, a ? ,递减区间为 ? a, ?? ? (2)由(1)知:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上为减区间,而 f (1) ? 0 ∴ f ( x) ? 0 在区间 x ? (0, ??) 上不可能恒成立 当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? 0, a ? 上递增,在 ? a, ?? ? 上递减,

f ( x)max ? f (a) ? a ln a ? a ? 1,令 g (a) ? a ln a ? a ? 1 ,
依题意有 g (a) ? 0 ,而 g ?(a) ? ln a ,且 a ? 0 ∴ g (a ) 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增, ∴ g (a)min ? g (1) ? 0 ,故 a ? 1 (3)由(2)知: a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 且 f ( x) ? 0 恒成立 即 ln x ? x ? 1 恒成立

n ln f (n) ? f (m) ? ln n ? n ? 1? ? ? ln m ? m ? 1? 则 ? ? m ?1 n?m n?m n?m n ?1 1 m ? ?1 ? ?1 n?m m
又由 ln x ? x ? 1 知 ? ln x ? 1 ? x 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,

n m m ln ? ln 1? f (n) ? f (m) n ?1 ? n ?1 ? 1 ?1 ∴ ? m ?1 ? n?m n?m n?m n?m n 1 f (n) ? f ?m ? 1 ? ?1 综上所述:对任意的 0 ? m ? n ,证明: ? 1 ? n n?m m

7


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