江苏省2016届高三数学一轮复习优题精练:三角函数 Word版含答案_图文


江苏省 2016 年高考优题精练 三角函数
一、填空题 1、(2015 年江苏高考)已知 tan ? ? ?2 , tan(? ? ? ) ?

1 ,则 tan ? 的值为_________3_________。 7

2、(2014 年江苏高考)已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图象有一个横坐 标为

? 的交点,则 ? 的值是 ▲ . 3

3、(2013 年江苏高考)函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为



4、(2015 届南京、盐城市高三二模)已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? 的最大值是

?) ?

sin ? ,则 tan ? sin ?

5、 (南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))若函数 f ( x) ? 2sin ? x ? π (? ? 0) 3 的图象与 x 轴相邻两个交点间的距离为 2,则实数 ? 的值为 ▲ 6 、(苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(二))函数 y ? 3 sin(2x ?

?

?

?
4

)的图象向左平移

? (0 ? ? ?

?
2

) 个单位后,所得函数图象关于原点成中心对称,则 ? ?



7、(泰州市 2015 届高三第二次模拟考试)设函数 f ( x) ? 3 sin( πx ?

π π ) 和 g ( x) ? sin( ? πx) 的 3 6 ???? ? ???? 图象在 y 轴左、 右两侧靠近 y 轴的交点分别为 M 、N , 已知 O 为原点, 则 OM ? ON ? ▲

8、(盐城市 2015 届高三第三次模拟考试)若角 ? + 重合,终边在直线 y ?

?
4

的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴 .

1 x 上,则 tan ? 的值为 2



9、(苏州市 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? sin(kx ? 为 10、(泰州市 2015 届高三上期末)函数 f ( x) ? sin(3 x ?

?
5

) 的最小正周期是

? ,则正数 k 的值 3


?
6

) 的最小正周期为

11、(无锡市 2015 届高三上期末)已知角 a 的终边经过点 P (x, - 6) ,且 t an a = 则 x 的值为 12、(扬州市 2015 届高三上期末)已知 ? ? (0, ? ),cos ? ? ?

3 , 5

4 ? ,则 tan(? ? ) =____ 5 4

1

13、 (泰州市 2015 届高三上期末)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 ?B ? ?C 且

7a2 ? b2 ? c2 ? 4 3 ,则 ?ABC 面积的最大值为



14、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.已知 a+ 2c=2b,sinB= 2sinC,则 cosA= ▲ .

15、(2015 届江苏苏州高三 9 月调研)已知函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图象 2?

上有一个最高点的坐标为 2, 2 , 由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与 x 轴交于点 ? 6,0? , 则此解析式为 ▲

?

?

二、解答题 1、(2015 年江苏高考)在 V ABC 中,已知 AB ? 2 , AC ? 3 , A ? 60? 。 (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值。

2、(2014 年江苏高考)已知 ? ? ?

5 ?? ? 。 ,? ?, sin ? ? 5 ?2 ?

? ? ) 的值; 4 5? ? 2? ) 的值。 (2)求 cos( 6
(1)求 sin(

?

3、 (2013 年江苏高考) 如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。 一种是从 A 沿 直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲.乙两位 游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min 。在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B , 在 B 处停留 1 min 后, 再从匀速步行到 C 。 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m / min , 山路 AC 长 为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? 。 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C

2

4、(苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(二))已知函数 f ? x ? ? sin( x ?

?
6

) ? cos x

(1)求函数 f ? x ? 的最大值,并写出当 f ? x ? 取得最大值时 x 的取值集合; (2)若 ? ? (0,

?

? 3 3 ,求 f ? 2? ? 的值 ), f (? ? ) ? 2 6 5

5、(苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(一))如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心, 半径为 10 3 米的扇形区域 OCD,河的另一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河
? 的交点为 E.经测量,扇形区域和 岸的距离),且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直,设 OB 与圆弧 CD

河岸处于同一水平面,在点 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45 ? , 30 ? 和 60 ? . (1)求烟囱 AB 的高度; (2)如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长.

l

(第 17 题)

π 6、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2). 2 (1)求 φ 的值; α 6 π π (2)若 f( )= ,- <α<0,求 sin(2α- )的值. 2 5 2 6 7、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知在△ABC 中, sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) . (1)若 B ?

π ,求 A ; 6

(2)若 tan A ? 2 ,求 tan B 的值.

3

8、(扬州市 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 象如图所示。 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x ? [ , ] 时,求函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域。

?
2

) 部分图

1 5 2 2

9、 (南通市 2015 届高三) 在长为 20 m, 宽为 16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台 ( 圆心为点 C ) , 展厅入口位于长方形的长边的中间,在展厅一角 B 点处安装监控摄像头,使点 B 与圆 C 在同一水平 面上,且展台与入口都在摄像头水平监控范围内 ( 如图阴影所示 ) .

?1? 若圆盘半径为 2

5 m,求监控摄像头最小水平视角的正切值;

? 2 ? 过监控摄像头最大水平视角为 60? ,求圆盘半径的最大值.
( 注:水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角. )

10、(扬州市 2015 届高三上期末)如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30?方向的两条街

ta n ?3 ?3 道, 某公园 P 位于商业中心北偏东 ? 角 ( 0<? < , 2

?

) , 且与商业中心 O 的距离为 21

公里处,现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处。 (1)当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A,B 两处的距离和; (2)若要使商业中心 O 到 A,B 两处的距离和最短,请确定 A,B 的最佳位置。

4

参考答案
一、填空题

1、

1 ?2 t a n? ( ? ? ?) t a ?n 7 tan ?? ? ? 3 1? t a n ?(? ? ) t a ? n 1 ? 1 ? (? 2 ) 7

2、

? 6
2 4 5、 π 2

3、 ?

4、

6、

3? 8

7、 ?

8 9

8、 ?

1 3

9、6 10、

2? 3

11、10 12、

1 7

13、

5 5

14、

2 4

15、 y ?

?? ?? 2 sin ? x ? ? 4? ?8

二、解答题 1、解:(1) AB ? c ? 2, AC ? b ? 3, A ? 60? ,所以 a ? BC ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

? 9 ? 4 ? 12 ?

1 ? 7. 2
2? 3 2 ? 21 ,又因为 c ? a ,所以 C ? A , 7 7

c sin A ? (2)根据正弦定理, sin C ? a
故 C 为锐角,所以 cos C ?

2 7 。所以: 7
5

sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ?

21 2 7 4 3 ? ? 7 7 7

2.(1)∵α ∈(错误!未找到引用源。,π ),错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。=1 错误!未找到引用源。2 错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。= 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。) =错误!未找到引用源。
12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 (0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? 2 13 5
3、解:(1)∵ cos A ?

(A ? C)? sin(A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ? ?
根据

?

?

63 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB
2

(2) 设乙出发 t 分钟后, 甲. 乙距离为 d, 则d ∴d
2

? (130 t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ? 130t ? (100 ? 50t ) ?

12 13

? 200(37t 2 ? 70t ? 50)

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短。 37 37
∵0 ? t ? (3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? 得 BC ? 63 13 sinB sinA sinB 65
6

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 设乙的步行速度为 V m / min ,则

m

才能到达 C

500 710 ? ?3 v 50

∴?3?

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 法二:解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k,

?1250 625? , ? 范围内 ? 43 14 ?

AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 2 2 2 2 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000,
其中 0≤x≤8,当 x= 35 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 = (min). 50 5 (min),在 BC 上用时: 86 5 (min) .

(3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时:

126 141 +3= 5 5

86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: 126 111 -3= 5 5 (min),在 BC 上用时: 56 5 (min) .

56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min. 5 14 故乙步行的速度应控制在[ 1250 625 , ]范围内. 43 14

M B D C 4、 N

A

7

5、解:(1)设 AB 的高度为 h , 在△CAB 中,因为 ?ACB ? 45? ,所以 CB ? h , 在△OAB 中,因为 ?AOB ? 30? , ?AEB ? 60? , 所以 OB ? 3h , EB ? 由题意得 3h ?
3 h, 3

………………………………1 分 ………………………………2 分

………………………………………………………4 分 ………………………………………6 分

3h ? 10 3 ,解得 h ? 15 . 3

答:烟囱的高度为 15 米. ……………………………………………………………7 分 OC 2 ? OB2 ? BC 2 (2)在△OBC 中, cos ?COB ? 2OC ? OB 300 ? 225 ? 3 ? 225 5 ? ? , …………………10 分 6 2 ? 10 3 ? 15 3 所以在△OCE 中, CE 2 ? OC 2 ? OE 2 ? 2OC ? OE cos ?COE 5 ? 300 ? 300 ? 600 ? ? 100 . 6 答:CE 的长为 10 米.

…………………13 分

……………………………………………………………14 分

8

π 6、解:(1)因为函数 f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<2π)的图象过点( ,-2), 2 π 所以 f( )=2sin(π+φ)=-2, 2 即 sinφ=1. π 因为 0<φ<2π,所以 φ= . 2 (2)由(1)得,f(x)=2cos2x. α 6 3 因为 f( )= ,所以 cosα= . 2 5 5 π 4 又因为- <α<0,所以 sinα=- . 2 5 …………………………………… 10 分 …………………………………………… 4 分 …………………………………………… 6 分 ………………………………………… 8 分

24 7 所以 sin2α=2sinαcosα=- ,cos2α=2cos2α-1=- .…………………… 12 分 25 25 π π π 7-24 3 从而 sin(2α- )=sin2αcos -cos2αsin = . 6 6 6 50 …………………… 14 分

π π 7.解:(1)由条件,得 sin( A ? ) ? 2sin( A ? ) . 6 6
? 3 1 3 1 sin A ? cos A ? 2( sin A ? cos A) . …………………………………………3 分 2 2 2 2

化简,得

sin A?

3 cA o. s

? tan A ? 3 .……………………………………………………………………………6 分

又 A ? (0, π) , ? A ?

π . ………………………………………………………………7 分 3

(2)? sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) ,
? sin A cos B ? cos A sin B ? 2(sin A cos B ? cos A sin B) .

化简,得 又

3 c oA s

sB in ?

s Ai n B cos .………………………………………………… 11 分

cos A co Bs ? , 0

? tan A ? 3 tan B .又 tan A ? 2,

? tan B ?

2 .……………………………………………………………………………14 分 3

8、⑴由图, A ? 2,

? T 2 1 ? ? ? ? (? ) ? 1 ,得 T ? 4 , ? ? ,则 f ( x) ? 2sin( x ? ) ,…3 分 2 4 3 3 2 6 2 ? 2 ? ? ? 由 f ( ) ? 2sin( ? ? ? ) ? 2 ,得 sin( ? ? ) ? 1 ,所以 ? ? ? 2k? ? ( k ? Z ) , 3 2 3 3 3 2
又0 ?? ?

?

2

,得 ? ?

?

6

,所以 f ( x) ? 2sin(

?

⑵ y ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2sin(

?

x ? ) ? 2 cos( x ? ) ? 2 2 sin( x ? ) , 2 6 2 6 2 12
9

?

?

x? ); 2 6

?

……7 分

?

?

?

……10 分

因为 x ? [ , ] ,故

1 5 2 2

?
6

?

?
2

x?

?
12

?

7 ? 1 ? ? x? ) ? 1 ,即 ? 2 ? f ( x ,则 ? ? sin( ) ?2 2 , 6 2 2 12
……14 分

所以函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域为 [? 2, 2 2] . 9.

10

10、⑴以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立坐标系.设 P(m, n) ,

11

∵0 ?? ?

?
2

, tan ? ? 3 3 ∴ cos ? ?

7 3 21 , sin ? ? , 14 14
……4 分

则 m ? OP ? sin ? ?

9 3 , n ? OP ? cos ? ? , 2 2
2

依题意,AB⊥OA,则 OA= 9 ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km. ⑵ 方法 1:当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB: y ? 3 ? k ( x ? 9 ) ,① 2 2 令 y ? 0 ,得 xA ? ? 3 ? 9 ;由题意,直线 OB 的方程为 y ? 3x ,② 2k 2 解①②联立的方程组,得 xB ?

9k ? 3 9k ? 3 ,∴ 2 2 , OB ? xB ? yB ? 2 xB ? k? 3 2(k ? 3)
……

∴ y ? OA ? OB ? ? 11 分

3 9 9k ? 3 , 由 xA ? 0 , 得k ? 3, 或k ? 0. xB ? 0 , ? ? 2k 2 k ? 3

y' ?

?8 3 (k ? 3)
2

?

3 ? 3(3k ? 3)(5k ? 3) 3 ,令 y ' ? 0 ,得 k ? ? , ? 2 2 2k 2 3 2k (k ? 3)

3 当 k ? ? 3 时, y ' ? 0 , y 是减函数;当 ? ? k ? 0 时, y ' ? 0 , y 是增函数, 3 3
∴当 k ? ? 3 时,y 有极小值为 9km; 当k ?
3

结合⑴知 y ? 13.5 km. 3 时,y ' ? 0 ,y 是减函数,

综上所述,商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km,OB=3km, 方法 2:如图,过 P 作 PM//OA 交 OB 于 M,PN//OB 交 OA 于 N,设∠BAO= ? , △OPN 中

PN ON OP ,得 PN=1,ON=4=PM, ? ? ? ? sin(90 ? ? ) sin(? ? 30 ) sin120?


B

△PNA 中∠NPA=120°- ? ∴ 同理在△PMB 中,

PN NA sin(120 ? ? ) 得 NA ? ? ? sin ? sin ? sin(120 ? ? )
?

M O N

P A

BM PM 4sin ? ,得 MB ? , ? ? sin ? sin(120 ? ? ) sin(120 ? ? ?)

s i n ( 1 ?2? 0? ) 4 ?s i n y ? OA ? OB ? ? ? 1 ? 4? 2 4 ? ? 5 , 9 ? sin ? s i n ( 1 2? 0? )
当且仅当

……13 分

3 sin(120? ? ? ) 4sin ? ? 即 即 时取等号. tan ? ? sin(120 ? ? ) ? 2sin ? ? 3 sin ? sin(120? ? ? )

12

9 4 ? 4, 0) , 2 ,得 A( 方法 3:若设点 B(m, 3m) ,则 AB: ? 2m ? 1 3 m? 9 3m ? 2 2 y? x?

3 2

∴ OA ? OB ? 2m ?

4 4 ? 4 ? 2m ? 1 ? 1 ? ?4?9, 2m ? 1 2m ? 1

……13 分

当且仅当 2m ? 1 ?

4 3 即 m ? 时取等号. 2m ? 1 2

2 1 ? , 方法 4:设 A( n, 0) ,AB: y ? 0 ? x ? n ,得 xB ? n?4 2 9 3 ?n ?0 2 2
OA ? OB ? n ? 2 xB ? n ? 4 ? 4 ? 4 4 ? 1 ? (n ? 4) ? ?5 ? 9, n?4 n?4
……13 分

当且仅当 n ? 4 ? 答 : A 置.

4 即 n ? 6 时取等号. n?4
离 商 业 中 心 3km 为 最 佳 位

选 地 址 离 商 业 中 心 6km , B ……15 分

13


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