2014届宁夏石嘴山市光明中学高三下学期数学第一次模拟20140324潘学功编辑整理(文)


高中数学新课标讲座之光明中学第一次模拟(文)

石嘴山市光明中学

潘学功

2014 届石嘴山市光明中学高三数学第一次模拟(文)
【选择题】 1. 已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 CU(A∪B)等于( A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} ) D. ) ) D.{1,3,5,6,8}

2.已知 i 为虚数单位,复数 z= A. ? i

3 5

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是( 2?i 3 4 B. ? C. i 5 5

4 5

3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 4.某变量 x 与 y 的数据关系如下: x y 则 y 对 x 的线性回归方程为( ^ ^ A.y=x-1 B.y=x+1 ) 1 ^ C.y=88+ x 2 ^ D.y=176 174 175

B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题 176 175 176 176 176 177 178 177

5.学校要从高一 300 人,高二 200 人,高三 100 人中,分层抽样,抽调 12 人去参加环保志愿者, 则高三应参加的人数为( A.8 B.6 )人。 C.4
2

D.2 )cm 。 D.20 )
1 32

6.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 如图所示,则该几何体的侧面积为( A.48 B.12
x

C.80

7.已知函数 f ( x ) ? ? A.
1 2

? ( x ? 0) ?2 , 则 f ( 5 ) =( ? ? f ( x ? 3)( x ? 0)

B.16

C.32

D.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , ?x ? 1 ? 0 ?
则目标函数 z=3x-2y 的最小值为( ) A.-5 B.-4 C.-2 D .3

9.已知函数 f ( x) ? log 2 x 与函数 g ( x) 的图像关于 y ? x 对称, 且有 g (a) g (b) ? 2 , a ? 0, b ? 0 ,则 A.9 B.

4 1 ? 的最小值为( a b
D.5



9 4

C.4

10.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果 k 的值是( A.5 B.6 C .7 D.8



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11. 已知 f ? x ? ? x 2 ? (sin ? ? cos? ) x ? sin ? (? ? R ) 的图像关于 y 轴对称, 则 2 sin ? cos? ? cos 2? 的值为( A. ) C.

1 D.1 2 log ( x ? 1), x ? [0,1) ? ? 1 2 12.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? , ? ?1? | x ? 3 |, x ? [1, ??) 3 2
B. 2 则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( A. 2 ? 1 【填空题】
a

) D. 1 ? 2a 。

B. 1 ? 2

?a

C. 2

?a

?1

2 2 13.直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 k 的值是

14.已知向量 a , b ,满足| a |= 2 ,| b | ? 2 ,且( a - b ) ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为_______。 15.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=2,b=4,cosC=

3 ,则 sinB= 4



16. 已知函数 y ? sin x ? cos x , y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论中,正确的序号是____________。 ①两函数的图像均关于点( ? ③两函数在区间( ? 【解答题】
* 17.在等比数列{ an }中, an ? 0 ( n ? N ) ,且 a1a3 ? 4 ,且 a3 ? 1 是 a2 和 a4 的等差中项。

?

?
4



?
4

4

,0)成中心对称;②两函数的图像均关于直线 x ? ?

?

4

成轴对称;

)上都是单调增函数; ④两函数的最小正周期相同。

(1)求数列{ an }的通项公式;
* (2)若数列{ bn }满足 bn ? an ?1 ? log 2 an ( n ? N ) ,求数列{ bn }的前 n 项和 S n 。

18.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD ,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点。 (I)求证:DM∥平面 PCB; (Ⅱ)求证:AD⊥PB; (Ⅲ)求三棱锥 B-PAD 的体积。

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19.为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的 7 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计, 作出如下的茎叶图,其中 x,y 处的数字模糊不清。已知甲同学成绩的中位数是 83,乙同学成绩的 平均分是 86 分。 (1)求 x 和 y 的值; (2)现从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰好抽到一份甲同学试卷的概率。

20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 抛物线 y ?

2 5 ,它的一个顶点恰好是 5

1 2 x 的焦点。 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点, 若 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值。

????

????

????

??? ?

21.设函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 (a ? 0) 。 x

(1)已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 l 的斜率为 2 ? 3a ,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)在(1)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个 x ,都有 f ( x) ? 3 ? x 。 选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做题计入总分, 满分 10 分。请将答题的过程写在答题卷 中指定 的位置) ... .. 22.选修 4—1:几何证明选讲: 如图所示,已知 PA 与圆 O 相切,A 为切点,PBC 为割线, 弦 CD ∥ AP, AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点, 且 DE ? EF ? EC 。
2

A

(1)求证: ?P ? ?EDF ; (2)求证: CE ? EB ? EF ? EP 。 23.选修 4—4:坐标系与参数方程:

C

O F E D

P
B

以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为 (1, ?5) ,点 M 的极坐 标为 (4,

?
2

) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为

? ,圆 C 以 M 为 圆心、 4 为半径。 3
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(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系。

24.选修 4—5:不等式选讲: 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (Ⅰ)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)如果 ?x ? R, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围。

2014 年光明中学高三年级第一次模拟考试

文科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. k ? 0 或 ? 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 A 8 B 9 A 10 C 11 D 12 B

3 4

14.

? 4

15.

14 4

16.③

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在等比数列{ an }中, an ? 0 (n∈N*),且 a1a3 ? 4, a3 ? 1 是 a2 和 a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ?满足

bn ? an ?1 ? log 2 an (n ? N * )

,求数列 ?bn ? 的前 项和 s n 。

【解析】 : (Ⅰ)由题意 an ? 0 可知公比 q>0,则可得

?a2 2 ? 4, ? a2 ? 2, ?a1a3 ? 4, ?? ?? ? 2 ?2( a3 ? 1) ? a2 ? a4 . ?2(a3 ? 1) ? a2 ? a4 . ? 2( a2 q ? 1) ? a2 ? a2 q . ? a ? 2, ?? 2 ? a1 ? 1, q ? 2 ,故 an ? 2n ?1 .……………………… 6 分 q ? 2. ? n (Ⅱ)∵ bn ? an ?1 ? log 2 an ? 2 ? (n ? 1) ,
∴ Sn ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? [0 ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]
1 2 3 n

?

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2n?1 ? ? 2 .………………………12 分 1? 2 2 2

18.(本小题满分 12 分)
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如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD ,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面 PAD ⊥底面 ABCD,且△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点. (I)求证:DM∥平面 PCB; (Ⅱ)求证:AD⊥PB; (Ⅲ)求三棱锥 B-PAD 的体积。 解析: (I)取 PB 的中点 F,联结 MF、CF, ∵M、F 分别为 PA、PB 的中点.

1 ∴MF∥AB,且 MF= 2 AB.
∵四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD 且 AB=2CD, ∴MF∥CD 且 MF=CD. ∴四边形 CDFM 是平行四边形. ∴DM∥CF. ∵CF 平面 PCB, ∴DM∥平面 PCB. ……………………… 4 分 (Ⅱ)取 AD 的中点 G,连结 PG、GB、BD. ∵PA=PD, ∴PG⊥AD. ∵AB=AD,且∠DAB=60°, ∴△ABD 是正三角形,BG⊥AD. ∴AD⊥平面 PGB. ∴AD⊥PB. ……………………… 8 分 ( Ⅲ)由(2)知,PG⊥AD,又侧面 PAD⊥底面 ABCD,∴PG⊥底面 ABCD,PG=1 PG=1,S ?ABD =

3 3 1 1 1 = 3 , V B ? PAB ? S ?ABD ? PG= AD. AB sin600 = ? 2 ? 2 ? 2 3 2 2 3

……………12 分

19. (本小题满分 12 分)为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的 7 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出如下的茎叶图,其中 x,y 处的数字模糊不清. 已知甲同学成绩的中位数是 83,乙 同学成绩的平均分是 86 分. (Ⅰ)求 x 和 y 的值; (Ⅱ)现从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份 进行分析,求恰好抽到一份甲同学试卷的概率。 【解析】 : (Ⅰ)∵甲同学成绩的中位数是 83, ∴ x ? 3 , ……………………… 3 分 ∵乙同学的平均分是 86 分, ∴

1 (78 ? 83 ? 83 ? 80 ? y ? 90 ? 91 ? 96) ? 86 ,∴ y ? 1 .……… 6 分 7
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20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为

2 5 1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 y ? x 2 的 5 4

焦点。 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 M A ? ?1 AF , M B ? ? 2 BF , 求?1 ? ? 2 的值。 解析: (1)设椭圆 C 的方程
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

抛 物 线 方 程 化 为 x =4y , 其 焦 点 为 ( 0 , 1 ) 则 椭 圆 C 的 一 个 顶 点 为 ( 0 , 1 ) , 即 b=1 由

e?

c ? a

a2 ? b2 2 5 ? ,? a 2 ? 5, 5 a2

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 …………4 分 5

(2)椭圆 C 的右焦点 F(2,0) , 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), M (0, y 0 ) , 显 然 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 l 的 方 程 为

y ? k ( x ? 2), 代入方程
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 并整理, 5
2

得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 5 ? 0

…………6 分

? x1 ? x 2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 , x x ? …………8 分 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

又, M A ? ( x1 , y1 ? y 0 ), M B ? ( x 2 , y 2 ? y 0 ), AF ? (2 ? x1 ,? y1 ), BF ? (2 ? x 2 ,? y 2 ), 而M A ? ?1 AF , M B ? ? 2 BF , 即( x1 ? 0, y1 ? y 0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ), ( x 2 ? 0, y 2 ? y 0 ) ? ? 2 (2 ? x 2 ,? y 2 ) ? ?1 ? x1 x2 , ?2 ? , 2 ? x1 2 ? x2 x1 x2 2( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? ? ? ?10......... 2 ? x1 2 ? x 2 4 ? 2( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2

所以?1 ? ?1 ?
………12 分

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21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 (a ? 0) . x

(Ⅰ)已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 l 的斜率为 2 ? 3a ,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个 x ,都有 f ( x) ? 3 ? x 。 解析: 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} , . ………1 分

a 2a 2 f ?( x) ? ? 2 . x x
根据题意, f ?(1) ? 2 ? 3a , 所以 a ? 2a ? 2 ? 3a ,即 a ? 2a ? 1 ? 0 ,
2 2

………2 分

解得 a ? 1 . (Ⅱ) f ?( x) ?

.………4 分

a 2a 2 a ( x ? 2a ) . ? ? x x2 x2

(1)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 x ? 2a ? 0 , a( x ? 2a) ? 0 , 所以 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. (2)当 a ? 0 时, 若 0 ? x ? 2a ,则 a( x ? 2a) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, 2a) 上单调递减; 若 x ? 2a ,则 a( x ? 2a) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (2a, ??) 上单调递增. …8 分 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0, 2a) 上单调递 减,在 (2a, ??) 上单调递增. (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? ln x ? ………9 分 ………6 分

2 . x 2 ? x ? 3. x
………10 分

设 g ( x) ? f ( x) ? (3 ? x) ,即 g ( x) ? ln x ?

g ?( x) ?

1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) ? 2 ?1 ? ? ( x ? 0) . x x x2 x2

当 x 变化时, g ?( x) , g ( x) 的变化情况如下表:
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x g ?( x) g ( x)

(0,1)


1
0 极小值

(1, ??)


?

?

x ? 1 是 g ( x) 在 (0, ??) 上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 g ( x) 的最小值点.
可见 g ( x)最小值 ? g (1) ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? (3 ? x) ? 0 ,所以对于定义域内的每一个 x ,都有 f ( x) ? 3 ? x . ………12 分

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与 ? O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD ∥ AP, AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上 一点,且 DE ? EF ? EC .
2

A O F E D P
B

(Ⅰ)求证: ?P ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: CE ? EB ? EF ? EP . 【解 析】证明: ⑴∵ DE ? EF ? EC ,∴ DE : CE ? EF : ED .
2

C

∵ ?DEF 是公共角,∴ ?DEF ? ?CED . ∴ ?EDF ? ?C . ∵ CD ∥ AP ,∴ ?C ? ?P .∴ ?P ? ?EDF .

………5 分

⑵∵ ?P ? ?EDF , ?DEF ? ?PEA . ∴ ?DEF ? ?PEA . ∴ DE : PE ? EF : EA . 即 EF ? EP ? DE ? EA . ∵弦 AD、BC 相交于点 E , ∴ DE ? EA ? CE ? EB . ∴ CE ? EB ? EF ? EP .………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为 (1, ?5) ,点 M 的极坐 标为 (4,

?
2

) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为

? ,圆 C 以 M 为 圆心、 4 为半径。 3

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系。
1 ? x ? 1 ? t, ? 2 解(Ⅰ)直线 l 的参数方程是 ? , ( t 为参数) ? 3 ? y ? ?5 ? t ? ? 2

圆 C 的极坐标方程是 ? ? 8sin ? 。

…5 分
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(Ⅱ)圆心的直角坐标是 (0, 4) ,直线 l 的普通方程是 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , 圆心到直线的距离 d ?
0?4?5? 3 3 ?1 9? 3 ? 4 ,所以直线 l 和圆 C 相离。 2

?

…10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (Ⅰ)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)如果 ?x ? R, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围。 解: (I) a ? 2 , f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 . 不等式 f ( x) ? 5 即为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,等价于

? x ? ?1 ? x ? ?1 ?? ? x ? ?2 ; ? ?? x ? 1 ? 2 ? x ? 5 ? x ? ?2
或?

??1 ? x ? 2 ??1 ? x ? 2 ?? ? x?? ; ? x ? 1 ? 2 ? x ? 5 ?3 ? 5

或?

?x ? 2 ?x ? 2 ?? ? x ? 3. ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ? 3

综上,不等式的解集为 x ? ?2 或 x ? 3 . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (II)若 a ? ?1, f ( x) ? 2 x ? 1 ,不满足题设条件.

? ?2 x ? a ? 1 , x ? a ? a ? x ? ?1 , f ( x)的最小值为-1-a ; 若 a ? ?1 , f ( x ) ? ??1 ? a , ?2 x ? 1 ? a , x ? ?1 ? ??2 x ? a ? 1 , x ? ?1 ? ? 1 ? x ? a , f ( x)的最小值为1+a . 若 a ? ?1, f ( x) ? ?1 ? a , ?2 x ? 1 ? a , x?a ?
所以 ?x ? R, f ( x) ? 3 的充要条件是 a ? 1 ? 3 ,从而 a 的取值范围是 ? ??, ?4? ? ? 2, ?? ? . .10 分

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