北京市昌平区2011-2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学理试题


昌平区 2011-2012 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试 卷(理科)

2012 .1

考生注意事项:
1.本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
2.答题前,考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚.答题卡上第一部分(选 择题)必须用 2B 铅笔作答,第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以 使用 2B 铅笔.
3.修改时,选择题用塑料橡皮擦干净,不得使用涂改液.请保持卡面整洁,不要折叠、 折皱、破损.不得在答题卡上作任何标记.
4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域作答或超出答题区 域的作答均不得分.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出

符合题目要求的一项.)

1.已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 5}, N ? {x | x ? ?5或x ? 5}, M N 等于

A.{x | ?5 ? x ? 5} B.{x | x ? ?5或x ? ?3} C.{x | ?3 ? x ? 5} D.{x | x ? ?3或x ? 5}

2. 已知两条直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 , l2 : 3x ? ay ? 2 ? 0 且 l1 ? l2 ,则 a =

A. ? 1 3

B. 1 3

C. -3

D.3

3.设 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log 0.3 4 ,则 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

4. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

2 2

A.12

B.8

主视图

C.6

D.4

2

俯视图

左视图

5.从甲、乙等 6 名同学中挑选 3 人参加某公益活动,要求甲、乙至少有 1 人参加,不同的

挑选方法共有

A.16 种

B.20 种

C. 24 种

D.120 种

6. 已知? 、 ? 是两个不同平面, m 、 n 是两条不同直线,下列命题中假.命.题.是

A.若 m ∥ n , m ? ? , 则 n ? ?
C.若 m ? ? , m ? ? , 则? ∥ ?

B.若 m ∥? ,? ? ? n , 则 m ∥ n
D.若 m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

7. 某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次,每件

利润增加 2 元. 用同样工时,可以生产最低档产品 60 件,每提高一个档次将少生产 3 件产

品.则获得利润最大时生产产品的档次是

A.第 7 档次

B.第 8 档次

C.第 9 档次

D.第 10 档次

8. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2) = 1, f ?(x)

为 f (x) 的导函数.已知 y ? f ?(x) 的图象如图所示,若两

个正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1,则 b ? 1 的取值范围是 a?2

A.( ? 1 ,1 ) 8

B. (?? , ? 1) ? (1, ? ?) 8

C. (?8 ,1)

D. (??, ? 8 ) ? (1, ? ?)

f ?(x)

o

x

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分). 9.已知函数 y = sin?x cos?x 的最小正周期是 ? ,那么正数 ????????????????????????????.?
2 10. 已知向量 a ? (1,2), b ? (k,1) , 若向量 a//b ,那么 k ? ????????????????????????.

? ? 11.已知过点 ?2, 3 的直线 l 与圆 C:x2 ? y2 ? 4x ? 0 相交的弦长为 2 3 ,则圆 C 的圆心
坐标是___________ , 直线 l 的斜率为????????????????????????.

12. 某程序框图如图所示,则输出的 S ? ??????????????????????? .


开始
S =1, k =1 k = k +1 S =2S + k
k>3
是 输出 S

结束
13. 已知 (x ? m)7 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x7 的展开式中 x 4 的系数是 ? 35,则 m ? ???????????????????; a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? ????????????????????????.

14. 设函数 f (x) 的定义域为 R ,若存在与 x 无关的正常数 M ,使| f (x) |? M | x | 对一切
实 数 x 均 成 立 , 则 称 f (x) 为 有 界 泛 函 . 在 函 数 ① f (x) ? ?5x , ② f (x) ? x2 , ③ f (x) ? s in2 x ,④ f (x) ? (1 ) x ,⑤ f (x) ? x cosx 中,属于有界泛函的有__________(填
2
上所有正确的序号) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算
步骤.)
15.(本小题满分 13 分)
在 ?ABC 中, 1 cos2A ? cos2 A ? cos A . 2
(I)求角 A 的大小;

(II)若 a ? 3, sin B ? 2sin C ,求 S?ABC .

16.(每小题满分 13 分)
某人进行射击训练,击中目标的概率是 4 ,且各次射击的结果互不影响. 5
(Ⅰ)假设该人射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (Ⅱ)假设该人每射击 5 发子弹为一组,一旦命中就停止,并进入下一组练习,否则一直 打完 5 发子弹才能进入下一组练习,求: ① 在完成连续两组练习后,恰好共使用了 4 发子弹的概率;
② 一组练习中所使用子弹数? 的分布列,并求? 的期望.

17.(本小题满分 14 分)
如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA ? 底面ABCD,垂足为点 A ,

PA ? AB ?1,点 M , N 分别是 PD , PB 的中点.

P

(I)求证: PB// 平面ACM ;

(II)求证: MN ? 平面 PAC ; (III)若 PF ? 2FC ,求平面 FMN 与平面 ABCD所成二面角
的余弦值.

N A

M
F D

B

C

18.(本小题满分 13 分)
已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , a3 ? 10 , a6 ? 22 , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 是 Tn , 且

Tn

?

1 3 bn

?1.

(I)求数列{an } 的通项公式;

(II)求证:数列{bn }是等比数列;

(III)记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn .

19.(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? (x2 ? x ? 1 )eax ( a ? 0 ). a
(I)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间; (II)若不等式 f (x) ? 5 ? 0 对 x ?R 恒成立,求 a 的取值范围.
a
20. (本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) 是奇函数,函数 g(x) 与 f (x) 的图象关于直线 x ?1对称,当 x ? 2 时, g(x) ? a(x ? 2) ? (x ? 2)3 ( a 为常数). (I)求 f (x) 的解析式; (II)已知当 x ?1时, f (x) 取得极值,求证:对任意 x1, x2 ? (?1,1),| f (x1) ? f (x2 ) |? 4 恒
成立;
(III)若 f (x) 是[1,??) 上的单调函数,且当 x0 ? 1, f (x0 ) ? 1时,有 f ( f (x0 )) ? x0 , 求证: f (x0 ) ? x0 .

昌平区 2011-2012 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学(理科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.)

2012.1

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 B

C

A

D

A

B

C

D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

9.2 12. 26

10. 1 2
13. 1 ; 1

11.(-2,0); ? 2
14. ①③⑤

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

15.(本小题满分 13 分)

解:(I)由已知得: 1 (2 cos2 A ? 1) ? cos2 A ? cos A ,……2 分 2

?cos A ? 1 . 2

……4 分

?0 ? A ? ? , ? A ? ? . 3

…………6 分

(II)由 b ? c 可得: sin B ? b ? 2

sin B sin C

sin C c

? b ? 2c

………7 分 …………8 分

cos A ?

b2

? c2 ? a2 2bc

?

4c 2

? c2 4c 2

?9

?

1 2

………10 分

解得: c ? 3 , b ? 2 3

………11 分

S ? 1 bc sin A ? 1 ? 2 3 ?

3?

3 ?3

3
.

2

2

22

……13 分

16.(本小题满分 13 分)

解:(I)设射击 5 次,恰有 2 次击中目标的事件为 A .

P( A)

?

C52

?(4)2 5

? (1 ?

4)3 5

?

32 625

……4 分

(Ⅱ)①完成两组练习后,恰好共耗用 4 发子弹的事件为 B ,则

P(B) ? 0.8 ? (1 ? 0.8)2 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.8(1 ? 0.8) ? 0.8 ? (1 ? 0.8)2 ? 0.8 ? 08 ? 0.0768 .

……8 分

②? 可能取值为 1,2,3,4,5.

…… 9 分

P(? ? 1) ? 0.8 ; P(? ? 2) ? (1? 0.8) ? 0.8 ? 0.16

P(? ? 3) ? (1 ? 0.8)2 ? 0.8 ? 0.032

P(? ? 4) ? (1 ? 0.8)3 ? 0.8 ? 0.0064

?

1

2

P

0.8

0.16

?E? ? 1.2496.

P(? ? 5) ? (1 ? 0.8)4 ? 0.8 ? 0.0016 ……11 分

3

4

5

0.032

0.0064 ……13 分

0.0016

17(本小题满分 14 分)









I







AC, BD, AM , MC, MO, MN,且AC ? BD ? O ?点O, M分别是PD, BD的中点

? MO // PB, PB ? 平面ACM

P

? PB// 平面ACM .

…… 4 分

(II) ? PA ? 平面ABCD

M

N
?PA? BD ?底面ABCD是正方形 ,

BD ? 平面ABCD

A

D

? AC ? BD

?PA? AC ? A
? BD ? 平面PAC …… 7 分

O

B

C

在 ?PBD中,点 M , N 分别是 PD , PB 的中点.

? MN // BD ?MN ? 平面PAC .

…… 9 分

(III)

?PA ? 平面ABCD, 底面ABCD是正方形

以 A 为原点,建立空间直角坐标系

由 PF ? 2FC 可得

B

A(0,0,0),M (0, 1 , 1), N (1 ,0, 1),F( 2 , 2 , 1)

x

22 2 2 333

设平面 MNF 的法向量为 n ? (x, y, z)

z
P

N A

M F

C

D
y

平面 ABCD 的法向量为 AP ? (0,0,1)

NM ? (? 1 , 1 ,0), NF ? (1 , 2 ,? 1)

22

63 6

…… 11 分

可得:

????

? ?

x

?? 6

x 2
?

?y 2
2y 3

?0 ?z?
6

0

解得:

?y ??z

? ?

x 5x

令 x ? 1,可得

n

? (1,1,5)

……

13 分

cos ? AP , n ?? 5 ? 5 27 27 27
18.(本小题满分 13 分)

解:(1)由已知

???aa11

? ?

2d 5d

? ?

10, 22.

……14 分
解得 a1 ? 2, d ? 4.

? an ? 2 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 2.………………4 分

(2)由于 Tn

?1?

1 3

bn





令n

=1,得 b1

?

1?

1 3

b1

.

解得 b1

?

3 4

,当 n

?

2 时, Tn?1

?1?

1 3

bn?1





-②得 bn

?

1 3

bn?1

?

1 3

bn



? bn

?

1 4

bn?1

又 b1

?

3 4

?

0

,

? bn ? 1 . bn?1 4

∴数列{bn }是以

3 4

为首项,

1 4

为公比的等比数列.……………………9



(3)由(2)可得 bn

?

3 4n

. ……9



cn

?

an

? bn

?

3(4n ? 2) 4n

……10



c n?1

? cn

?

3[4(n ?1) 4 n?1

?

2]

?

3(4n ? 2) 4n

?

30 ? 36n 4n?1 .

? n ? 1,故 cn?1 ? cn ? 0.

? cn?1 ? cn . ……………………13 分

19.(本小题 13 分)
解: 对函数 f (x) 求导得: f ?(x) ? eax (ax ? 2)(x ?1) ……………2 分

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?(x) ? e(x ? 2)(x ?1)

令 f ?(x) ? 0 解得 x ?1或 x ? ?2

f ?(x )? 0解得 ? 2 ? x ? 1

所以, f (x) 单调增区间为 (??,?2) 和 (1, ??) ,

f (x) 单调减区间为 (-2 ,1) .

……………5 分

(Ⅱ) 令 f ?(x) ? 0 ,即 (ax ? 2)(x ?1) ? 0 ,解得 x ? ? 2 或 x ?1 6 分 a
当 a ? 0 时,列表得:

x

(??, ? 2)

?2

a

a

f ?(x)

+

0

(? 2 ,1) a


1

(1, ??)

0

+

f (x)



极大值



极小值



对于 x ? ? 2 时,因为 x2 ? 0, ?x ? 2 , a ? 0 ,所以 x2 ? x ? 1 ? 0 ,

a

a

a

∴ f (x) >0

……… 10 分

……………8 分

对于 x ? ? 2 时,由表可知函数在 x ?1时取得最小值 f (1) ? ? 1 ea ? 0

a

a

所以,当 x ?R 时,

f (x)min

?

f

(1)

?

? 1 ea a

…… 11 分

由题意,不等式 f (x) ? 5 ? 0 对 x ?R 恒成立, a

所以得 ? 1 ea ? 5 ? 0 ,解得 0 ? a ? ln 5 aa

……………13 分

20.(本小题满分 14 分)
解:(Ⅰ) 当 x ? 0 时,必有 ? x ? 0 ,则 2 ? x ? 2, 而若点 P(x, y) 在 y ? f (x) 的图象上,

则 P(x, y) 关于 x ?1的对称点 P1(2 ? x, y) 必在 g(x) 的图象上,即当 x ? 0 时, y ? f (x) ? g(2 ? x) ? a[(2 ? x) ? 2] ?[(2 ? x) ? 2]3 ? ?ax ? x3

由于 f (x) 是奇函数,则任取 x ? 0, 有 ? x ? 0, 且

f (x) ? ? f (?x) ? ?[?a(?x) ? (?x)3 ] ? ?ax ? x3

又当 x ? 0 时,由 f (?0) ? ? f (0) 必有 f (0) ? 0

综上,当 x ? R 时 f (x) ? x3 ? ax .

……5 分

(Ⅱ)若 x ?1时 f (x) 取到极值,则必有当 x ?1时 f ?(x) ? 3x2 ? a ? 0 ,即 a ? 3

又由 f ?(x) ? 3x2 ? 3 ? 3(x ?1)( x ?1) 知,当 x ?(?1,1) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 为减函数

?当x ?[?1,1]时 , f (?1) ? f (x) ? f (1) ? (?1)3 ? 3(?1) ? 2 ? f (x) ? f (1) ? ?2

?当x1, x2 ? (?1,1)时 | f (x1) ? f (x2 ) |?| f (?1) ? f (1) |? 4 . ……9 分 (Ⅲ)若 f (x) 在[1,??) 为减函数,则 f ?(x) ? 3x2 ? a ? 0 对任意 x ?[1,??) 皆成立,

这样的实数 a 不存在 若 f (x) 为增函数,则可令 f ?(x) ? 3x2 ? a ? 0 .由于 f ?(x) 在[1,??) 上为增函数,可令

f ?(x) ? 3x2 ? a ? f ?(1) ? 3 ? a ? 0 ,即当 a ? 3时, f (x) 在[1,??) 上为增函数

由 x0 ? 1, f (x0 ) ? 1, f ( f (x0 )) ? x0

设 f (x0 ) ? x0 ? 1 ,则 f [ f (x0 )] ? f (x0 )

? x0 ? f (x0 ) 与所设矛盾

若 x0 ? f (x0 ) ? 1

则 f (x0 ) ? f [ f (x0 )] ? f (x0 ) ? x0 与所设矛盾

故必有 f (x0 ) ? x0

……14 分


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