2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题七 坐标系与参数方程课件 文 选修4-4


第 一 部 分

知识专题部分

专 题 七

选修选考

选修 4-4

坐标系与参数方程(解答题型)

———————————名师指南—————————— [核心考点] 极坐标方程与直角坐标方程互化、参数方程与普通方程互 化. [高考解密] 以考查直线与圆的极坐标方程、参数方程、直角坐标方程 问题为主,重在相互间的互化,并进行有关计算.

重点透析 难点突破

考向一

极坐标方程

? ?x=ρcos θ, 1.极坐标化直角坐标公式? ? ?y=ρsin θ.

ρ2=x2+y2, ? ? 2.直角坐标化极坐标公式? y tan θ = ?x≠0? ? x ? 在极坐标系中,点(ρ,θ)与点(-ρ,θ)关于极 点对称.

(2015· 新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交 4 点为 M,N,求△C2MN 的面积. [思路引导] (1)代入直角坐标化为极坐标公式求解;(2)将 θ

π =4代入 C2 的极坐标方程,求出 ρ,计算|MN|.

[解]

(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1 的极坐标方程为

ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2- 4 3 2ρ+4=0, 解得 ρ1=2 2,ρ2= 2.故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2

求解与极坐标方程有关的问题时,可以 转化为熟悉的直角坐标方程求解,若最终结果要求用极坐标表 示,则需将直角坐标转化为极坐标.

[举一反三] (2015· 山西四校高三第三次联考)已知曲线 C1 的极坐标方程 为
? π? ρcos?θ-3?=-1,曲线 ? ?

C2 的极坐标方程为 ρ=2

? π? 2cos?θ-4?. ? ?

以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.

[解]

(1)ρ=2

? π? 2cos?θ-4?=2(cos ? ?

θ+sin θ),

即 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),可得 x2+y2-2x-2y=0, 故 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. (2)C1 的直角坐标方程为 x+ 3y+2=0, 由(1)知曲线 C2 是以(1,1)为圆心的圆,且圆心到直线 C1 的距 |1+ 3+2| 3+ 3 离 d= 2 , 2= 2 1 +? 3? 3+ 3+2 2 所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 . 2

考向二 1.圆的参数方程

参数方程

? ?x=a+rcos α, 2 2 2 圆 (x - a) + (y - b) = r (r>0) 的参数方程是 ? ? ?y=b+rsin α,

其中 α 是参数.
? ?x=rcos α, 当圆心在(0,0)时,方程为? ? ?y=rsin α,

其中 α 是参数.

2.椭圆的参数方程
? ?x=acos φ, x2 y2 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是 ? y = b cos φ , ?

参数. 3.直线的参数方程 经 过 点 P0(x0 , y0) , 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 参 数 方 程 是
? ?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α,

其中 t 是参数. 利用直线参数方程中参数的几何意义解题

时,需化为直线参数方程的标准形式.

(2015· 湖南卷改编)已知直线 l: ? 3 ?x=5+ 2 t, ? ?y= 3+1t 2 ?
? ?x=1+cos C:? ? ?y=sin θ

(t 为参数),曲线

θ,

(θ 为参数).

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, 3), 直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B,求|MA|· |MB|的值.

[思路引导]

(1)利用 sin2θ+cos2θ=1 消去参数 θ,即得曲线

C 的普通方程;(2)利用直线的参数方程的几何意义,结合方程思 想直接求解.

[解]

? ?x=1+cos θ, (1)由? ? ?y=sin θ,

? ?cos θ=x-1, 得? ? ?sin θ=y.

由 cos2θ+sin2θ=1,得曲线 C 的普通方程为(x-1)2+y2=1.

? 3 ?x=5+ 2 t, (2)将? ?y= 3+1t 2 ?

代入(x-1)2+y2=1,得 t2+5 3t+18

=0,设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意 义即知,|MA|· |MB|=|t1t2|=18.

参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直 线的参数方程通常用代入消参法. (2)三角变换法:利用 sin2θ+cos2θ=1 消去参数,圆的参数方 程和椭圆的参数方程都是运用三角变换法.

[举一反三] ? ?x=-4+cos t (2015· 贵州贵阳期末)已知曲线 C1:? (t 为参数), ? ?y=3+sin t
? ?x=6cos θ C2:? ? ?y=2sin θ

(θ 为参数).

(1)化 C1、C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲 线; π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点,求 2 PQ 中点 M 到直线
? ?x=-3 3+ ? C3: ? ?y=-3-α



(α 为参数)距离的最小值.

[解]

2 2 x y (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2: + =1, 36 4

C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆; C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 6,短半 轴长是 2 的椭圆. π (2)当 t=2时,P(-4,4),Q(6cos θ,2sin θ),故 M(-2+3cos θ,2+sin θ), C3 为直线 x+ 3y+6 3=0, 点 M 到 C3 的距离

|-2+3cos θ+2 3+ 3sin θ+6 3| d= 12+3
? =?4 ?

3+

? π? ? 3sin?θ+3?-1?, ? ? ?

从而当

? π? sin?θ+3?=-1 ? ?

时,d 取最小值 3 3-1.

考向三

极坐标方程与参数方程的综合应用

直角坐标方程 极坐标方程 ? ? ? ?参数方程 ?普通方程? (2015· 福建卷)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的
? ?x=1+3cos t, 参数方程为? ? ?y=-2+3sin t

(t 为参数).在极坐标系(与平面直角

坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负 半轴为极轴)中,直线 l 的方程为
? π? 2ρsin?θ-4?=m(m∈R). ? ?

(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. [思路引导] (1)消去参数 t,即可得圆 C 的普通方程,利用

极坐标化为直角坐标的公式,易求得直线的直角坐标方程; (2) 利用点到直线的距离公式,即可得参数 m 的方程,解方程,得结 果.

[ 解] =9. 由

(1)消去参数 t, 得到圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2

? π? 2ρsin?θ-4?=m,得 ? ?

ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0. (2)依题意,圆心 C(1,-2)到直线 l 的距离等于 2, |1-?-2?+m| 即 =2, 2 解得 m=-3± 2 2.

解决极坐标与参数方程问题的关键 (1)会转化——把直线与圆的参数方程转化为普通方程时,要 关注参数的取值范围的限定,还需掌握极坐标与直角坐标的互化 公式; (2)懂技巧——利用参数及其几何意义,结合关系式寻找关于 参数的方程或函数.

[举一反三] (2015· 山西四校联考)在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程
? ?x=1+cos 为? ? ?y=sin φ

φ

(φ 为参数).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极

轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是
? π? 2ρsin?θ+3?=3 ? ?

π 3, 射线 OM: θ= 3

与圆 C 的交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

[解]

(1)圆 C 的普通方程为(x-1)2+y2=1,

又 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. ρ=2cos θ ? ? π (2)设 P(ρ1,θ1),则由? π 解得 ρ1=1,θ1=3, θ=3 ? ? ? ?ρ?sin θ+ 3cos θ?=3 3 设 Q(ρ2,θ2),则由? π θ= ? ? 3 π 解得 ρ2=3,θ2= ,所以|PQ|=2. 3


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