浙江省余姚市2015届高三第三次模拟考试数学(文)试题


余姚市高三第三次模拟考试高三 数学(文)试题卷
1. 设全集 U=R,集合 A ? ?x || x |? 2? , B ? {x | A. [?2,1] B. (2, ??)

1 ? 0} ,则 (CU A) ? B ? ( x ?1 C. (1 , 2] D. (??, ?2)

)

2. 设 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个 不同的平面,下列命题中为真命题的是( A. 若 m / /? , n/ /? ,则 m/ / n C. 若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ? ; 3. 已知 a, b ? R, 则“ a ? b ? 1”是“ ab ?
2 2



B. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / / ? D. 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ?

1 ”的( 2



A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( x ? R) 的图象的一部分如图 所示,若对任意 x ? R, 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) , 则 | x1 ? x2 | 的最小值为( A. 2? B. ) C. (第 4 题)

?

? 2

D.

? 4
)

? x ? y ? 1, ? 5. 已知实数变量 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3x ? y 的最大值为 ( ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且满足 S2014 ? 0, S2015 ? 0 , 对任意正整数 n , 都有 | an |?| ak | , 则 k 的值为( A. 1006 ) B. 1007 C. 1008 D. 1009
[来源:Z|xx|k.Com]

x2 y 2 7. 设 F1 , F2 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点,P 是 C 的右支上的点, 射线 PT a b
O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M ,若 | MP |? 平分 ?F 1PF 2 ,过原点
A.

1 | F1 F2 | ,则 C 的离心率为( 3



3 2

B. 3
2 2 2

C.

2

D.

3
)

8.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? bc ? ca 的取值范围是( A. (??,1] B. [?1,1] C. [ ?

1 ,1] 2

D. [ ?

1 ,1] 4

9. 若指数函数 f ( x ) 的图像过点 (?2, 4) ,则 f (3) ? _____________;不等式 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 集为 .

5 的解 2

10. 已 知 圆 C : x2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a2 ? 25 ? 0 的 圆 心 在 直 线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 上 , 则

a?

;圆 C 被直线 l2 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为____________. ;外接球的体积为
3 2 正视图
侧视图

11. 某多面体的三视图如图所示,则该多面体最长的棱长为 12.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 在斐 波那契数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 1



an ? 2 ? an ?1 ? an (n ? N ? ) 则 a7 ? ____________;
若 a2017 ? m ,则数列 {an } 的前 2015 项和 是_ _______________(用 m 表示) .

3

俯视图 ? x3 , x ? 0 1 ? 2 m 有 4 个不同的 实数根,则 m 13.已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f ( x ? 2 x ? ) ? ( 1 2 ?x ? ? 3 x ?

的取值范围是________________. 14. 定义:曲线 C 上的点到点 P 的距离的最小值称 为曲线 C 到点 P 的距离。已知圆

C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 6 ? 0 到点 P(a, a ) 的距离为 2 ,则实数 a 的值为



15. 设正 ?ABC 的面积为 2,边 AB, AC 的中点分别为 D, E , M 为线段 DE 上的动点,则

MB ? MC ? BC 的最小值为_____________.
17.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? 2 , PC ? 4 , ?APB ? ?BPC ? 60? , cos?APC ? (Ⅰ )平面 PAB ? 平面 PBC ; (Ⅱ ) E 为 BC 上的一点.若直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 30 ? ,求 BE 的长.

2

1 。 4

P

C A B
[来源:Z|xx|k.Com]

E

(第 17 题)

16.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 sin C ? sin( B ? A) ? 2 sin 2 A , A ? (Ⅰ )求角 A 的取值范围; (Ⅱ )若 a ? 1, ?ABC 的面积 S ?

? . 2

3 ?1 , C 为钝角,求角 A 的大小. 4

18.已知数列 {an },{bn } 满足下列条件: an ? 6 ? 2n?1 ? 2, b1 ? 1 , an ? bn?1 ? bn . (Ⅰ )求 {bn } 的通项公式; (Ⅱ )比较 an 与 2bn 的大小.

19. 如图, 过抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 的直线交 C 于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 两点, 且 x1 x2 ? ?4. (Ⅰ )求 p 的值; (Ⅱ ) R, Q 是 C 上的两动点, R, Q 的纵坐标之和为 1, RQ 的垂直平 分线交 y 轴于点 T ,求 ?MNT 的面积的最小值.

[来源:学科网 ZXXK]

20.已知函数 f ( x) ? x2 ? | x ? 1 ? a | ,其中 a 为实常数. (Ⅰ)判断 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ )若对任意 x ? R ,使不等式 f ( x) ? 2 | x ? a | 恒成立,求 a 的取值范围.

余姚市高三第三次模拟考试

高三数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题 目要求的. B D A C D C A C 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题,每小题 6 分,第 13 至 15 题,每小题 4 分,共 36 分. 9.

1 ; (?1,1) 8

10. 2;8 11. 4;

32? 12. 13; m ? 1 3

13. (?1, ? ) ? (0, ??)

1 8

14. ?2, 0, 2 15.

5 3 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(Ⅰ )由 sin C ? sin( B ? A) ? 2 sin 2 A, 得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 2 2 sin A cos A. 即 2sin B cos A ? 2 2 sin A cos A. 因为 cos A ? 0, 所以 sin B ? 2 sin A. 由正弦定理,得 b ? ……………3 分 ……………4 分

2a.

故 A 必为锐角。

又 0 ? sin B ? 1 ,所以 0 ? sin A ? 因此角 A 的取值范围为 (0,

2 . 2

……………6 分 ……………8 分

?
4

].

(Ⅱ )由( Ⅰ )及 a ? 1 得 b ? 2. 又因为 S ?

3 ?1 1 3 ?1 ,所以 ?1? 2 ? sin C ? . 4 2 4
7? . 12

从而 sin C ?

6? 2 . 4

因为 C 为钝角,故 C ?

……………11 分

由余弦定理,得 c ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 cos
2

7? 6? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? 2 ? ( ? ) ? 2 ? 3. 12 4
……………13 分

故c ?

6? 2 . 2
1? 6? 2 ? 1 4 ? . 因此 A ? . 6 2 6? 2 2

[来源:学科网]

由正弦定理,得 sin A ?

a sin C ? c

……………15 分

17. (Ⅰ )在 ?PAB 中,由 PA ? PB ? 2, ?APB ? 60?, 得 AB ? 2.

在 ?PBC 中, PB ? 2, PC ? 4, ?BPC ? 60?, 由余弦定理,得 BC ? 2 3. 在 ?PAC 中, PA ? 2, PC ? 4, cos ?APC ? 因为 AB ? BC ? AC ,所以 AB ? BC.
2 2 2

1 , 由余弦定理,得 AC ? 4. 4

因为 PB ? BC ? PC ,所以 PB ? BC.
2 2 2

……………4 分 ……………6 分 ……………7 分

又因为 AB ? PB ? B ,所以 BC ? 平面 PAB. 又因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PAB ? 平面 PBC .

(Ⅱ)取 PB 的中点 F , 连结 EF , 则 AF ? PB. 又因为平面 PAB ? 平面 PBC ,平面 PAB ? 平面

PBC ? PB, AF ? 平面 PAB ,所以 AF ? 平面 PBC . 因此 ? AEF 是直线 AE 与平面 PBC 所成的角,即 ?AEF ? 30?.
在正 ?PAB 中, AF ? 在 Rt ?AEF 中, AE ? 在 Rt ?ABE

……………11 分

3 PA ? 3. 2
AF ? 2 3. sin 30?

P

F A
2

C E

BE ? AE ? AB ? 2 2.
2

……………15 B 分

18.(Ⅰ )由已知, bn?1 ? bn ? 6 ? 2n?1 ? 2.

bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? 1 ? (6 ?1 ? 2) ? (6 ? 2 ? 2) ?
? 1? 6 ?

? (bn ? bn?1 ) ? (6 ? 2n?2 ? 2) ? 1 ? 6 ? (1 ? 2 ?

…… ………2 分

? 2n?2 ) ? 2(n ?1)
……………7 分

1 ? 2n?1 ? 2(n ? 1) ? 6 ? 2n ?1 ? 2n ? 3. 1? 2
设 cn ?

(Ⅱ ) 2bn ? an ? 6 ? 2n?1 ? 4(n ? 1) ? 3 ? 2n ? 4(n ? 1).

3 ? 2n . 4(n ? 1)

3 ? 2n ?1 cn?1 2(n ? 1) n 4(n ? 2) ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 0. n 3? 2 cn n?2 n?2 4(n ? 1)
所以 cn?1 ? cn . 即 {cn } 为递增数列.
n

……………10 分

当 n ? 2 时, cn ? c2 ? 1. 所以 3 ? 2 ? 4(n ? 1). 于是 2bn ? an ? 0 ,即 an ? 2bn . ……13 分 易知当 n ? 1 时, an ? 2bn . 当 n ? 2 时, an ? 2bn . ……………15 分

19. (Ⅰ )设 MN : y ? kx ?

p , 2
……………3 分

p ? ? y ? kx ? , 2 2 由? 2 消去 y ,得 x ? 2 pkx ? p ? 0. (*) 2 ? ? x ? 2 py,
由题设, x1 , x2 是方程(*)的两实根,所以 x1x2 ? ? p2 ? ?4, 故 p ? 2.

……………6 分

(Ⅱ )设 R( x3 , y3 ),Q( x4 , y4 ),T(0, t) ,因为 T 在 RQ 的垂直平分线上,所以 | TR |?| TQ | .
2 2 2 2 得 x3 ? ( y3 ? t )2 ? x4 ? ( y4 ? t )2 ,又 x3 ? 4 y3 , x4 ? 4 y4 ,

所以 4 y3 ? ( y3 ? t )2 ? 4 y4 ? ( y4 ? t )2 . 而 y3 ? y4 ,所以 ?4 ? y3 ? y4 ? 2t. 故 T (0, ). 因此 S ?MNT ?

即 4( y3 ? y4 ) ? ( y3 ? y4 ? 2t )( y4 ? y3 ). 又因为 y3 ? y4 ? 1,所以 t ?

5 . 2

5 2

……………10 分

S?MNT

1 3 ? | FT | ? | x1 ? x2 |? | x1 ? x2 | . 由(1)得 x1 ? x2 ? 4k , x1 ? x2 ? ?4. 2 4 3 3 ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (4k ) 2 ? 4 ? (?4) ? 3 k 2 ? 1 ? 3. 4 4
……………1 5 分
2 2

因此,当 k ? 0 时, S?MNT 有最小值 3.
2

20. (Ⅰ )当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? | x | . f (? x) ? (? x) ? | ? x |? x ? | x |? f ( x), 所以 f ( x ) 为偶函数; 当 a ? 1 时,因为 f (0) ?|1 ? a |? 0 ,所以 f ( x ) 不是奇函数;
2 2 因为 f (a ?1) ? (a ?1) , f (1 ? a) ? (a ?1) ? 2 | a ?1|, 所以 f (a ? 1) ? f (1 ? a) ,

……………3 分

故 f ( x ) 不是偶函数.

综合得 f ( x ) 为非奇非偶函数.

……………7 分

2 2 (Ⅱ ) (1)当 x ? a ? 1 时,不等式化为 x ? x ?1 ? a ? 2(a ? x), 即 x ? x ? 1 ? a , ( x ? ) ?
2

1 2

5 ? a. 4

1 5 1 ,即 a ? ,则 a ? ? 矛盾. 2 4 2 1 1 2 2 若 a ? 1 ? ? ,即 a ? ,则 a ? (a ? 1) ? (a ? 1) ? 1, 即 a ? 2a ?1 ? 0, 解得 a ? 1 ? 2 或 2 2
若 a ?1 ? ?

[来源:学科网 ZXXK]

a ? 1 ? 2. 所以 a ? 1 ? 2.

…………… 9 分

2 2 2 (2)当 a ? 1? x ? a 时,不等式化为 x ? x ? 1 ? a ? 2(a ? x), 即 x ? 3x ? 1 ? 3a , ( x ? ) ?

3 2

5 ? a. 4

3 3 1 5 5 3 1 ? a 即 ? ? a ? ? , 3a ? ? , a ? ? . 结合条件,得 ? ? a ? ? . 2 2 2 4 12 2 2 1 3 若 a ? 1 ? ? 即 a ? ? , 3a ? (a ?1)2 ? 3(a ?1) ? 1, 即 a2 ? 2a ?1 ? 0, 解得 a ? 1 ? 2 或 2 2 1 ,得 ? ? a ? 1 ? 2. a ? 1 ? 2. 结合条件及(1) 2 3 2 若 a ? ? , 3a ? a ? 3a ? 1 恒成立. 综合得 a ? 1 ? 2. …………… 11 分 2 1 2 3 2 ( 3 )当 x ? a 时,不等式化为 x2 ? x ?1 ? a ? 2( x ? a),即 x ? x ? 1 ? ?a , ( x ? ) ? ? ? a. 得 2 4 3 3 3 ? a ? , 即 a ? ? 。结合(2)得 ? ? a ? 1 ? 2. ……… 13 分 4 4 4
若 a ?1 ? ? 所以,使不等式 f ( x) ? 2 | x ? a | 对 x ? R 恒成立的 a 的取值范围是

3 ? ? a ? 1 ? 2. 4

……………14 分


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