2017_2018学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课后提升作业(含解析)新人教A版必修3


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算法案例

(45 分钟 70 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

1.2 146 和 1 813 的最大公约数为( )

A.36

B.37

C.38

D.39

【解析】选 B.2 146=1 813×1+333,

1 813=333×5+148,

333=148×2+37,

148=37×4.

故 2 146 与 1 813 的最大公约数为 37.

2.(2016·淮南高一检测)利用秦九韶算法计算多项式 f(x)=101x100+100x99+99x98 +…+2x+1 当

x=x0 时的值,其中下面公式 v0=101,vk=vk-1x0+101-k(k=1,2,…100)被反复执行,可用循环结

构来实现,那么该循环结构中循环体被执行的次数为

()

A.200

B.101

C.100

D.99

【解析】选 C.多项式的最高次数为 100,故需要重复进行 100 次的乘法和加法运算,即执行

循环体 100 次.

3.(2016·武汉高一检测)将五进制数 10243(5)化为十进制数为( )

A.683

B.698

C.823

D.2 048

【解析】选 B.10243(5)=1×54+0×53+2×52+4×51+3×50=625+0+50+20+3=698.

4.下列各数中最小的数是( )

A.111111(2)

B.210(6)

C.1000(4)

D.110(8)

【解题指南】把各数都化为十进制数再比较大小.

【解析】选 A.把 A,B,C,D 项中的数都换成十进制数,

那么,111111(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63, 210(6)=2×62+1×61+0×60=78, 1 000(4)=1×43=64, 110(8)=1×82+1×81+0×80=72,

故通过比较可知 A 中数最小.

5.用秦九韶算法求多项式 f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04 当 x=0.3 时的值为( )

A.-0.079 6

B.0.079 6

C.0.796

D.-0.796

【解析】选 A.将 f(x)改写为:

f(x)=((((x+0)·x+0.11)x+0)x-0.15)x-0.04.

按从内到外的顺序,依次计算多项式的值:

v0=1,

1

v1=v0·0.3+0=0.3,

v2=v1·0.3+0.11=0.2,

v3=v2·0.3+0=0.06,

v4=v3·0.3-0.15=-0.132,

v5=v4·0.3-0.04=-0.079 6.

所以当 x=0.3 时,多项式的值为-0.079 6.

6.四位二进制数能表示的最大十进制数是( )

A.4 B.64

C.255

D.15

【解析】选 D.由二进制数化为十进制数的过程可知,当四位二进制数为 1 111 时表示的十

进制数最大,

此时,1 111(2)=15.

7.三个数 72,120,168 的最大公约数为( )

A.48

B.36

C.24

D.12

【解析】选 C.先求 120,168 的最大公约数,

因为 168=120×1+48,120=48×2+24,48=24×2,

所以 120,168 的最大公约数是 24.

再求 72,24 的最大公约数,

因为 72=24×3,所以 72,24 的最大公约数为 24,

即 72,120,168 的最大公约数为 24.

【一题多解】选 C.先求 120,168 的最大公约数,

168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24.

所以 120,168 的最大公约数为 24.

再求 72,24 的最大公约数,

72-24=48,48-24=24.

所以 72,24 的最大公约数为 24,

即 72,120,168 的最大公约数为 24.

8.用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0 时,求 f(x0)需要算乘

方、乘法、加法的次数分别为( )

A. n ?n ?1? ,n,n
2

B.n,2n,n

C.0,2n,n

D.0,n,n

【解析】选 D.利用秦九韶算法求 f(x0)的值,不需要算乘方,只需要 n 次乘法,n 次加法.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

9.235(7)=_____(8).

【解析】先将 235(7)转化为十进制数, 235(7)=2×72+3×7+5×70=124,

所以 235(7)=124.

2

又 124=174(8), 所以 235(7)=174(8). 答案:174 10.用秦九韶算法求多项式 f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5 当 x=4 时的值,给出如下数据: ①0;②2;③11;④37;⑤143. 其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有_______(只填序号). 【解析】将多项式写成 f(x)=(((x-2)x+3)x-7)x-5.其中 v0=1;v1=1×4-2=2; v2=2×4+3=11; v3=11×4-7=37; v4=37×4-5=143. 答案:②③④⑤ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 11.用两种方法求 378 和 90 的最大公约数. 【解析】方法一:辗转相除法: 378=90×4+18, 90=18×5+0, 所以 378 与 90 的最大公约数是 18. 方法二:更相减损术: 因为 378 与 90 都是偶数. 所以用 2 约简得 189 和 45. 189-45=144,144-45=99, 99-45=54,54-45=9, 45-9=36,36-9=27, 27-9=18,18-9=9. 所以 378 与 90 的最大公约数为 2×9=18. 【补偿训练】用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324,243,135 的最大公约数. 【解析】324=243×1+81,243=81×3+0, 则 324 与 243 的最大公约数为 81. 又 135=81×1+54,81=54×1+27, 54=27×2+0, 则 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以,三个数 324,243,135 的最大公约数为 27. 【一题多解】324-243=81,243-81=162,162-81=81,则 324 与 243 的最大公约数为 81. 135-81=54,81-54=27,54-27=27,则 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以,三个数 324,243,135 的最大公约数为 27. 12.用秦九韶算法求多项式 f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1,当 x=2 时的函数值. 【解析】先将多项式 f(x)进行改写: f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1 =((((((x-2)x+0)x+0)x+3)x-4)x+0)x+1. 由内向外逐次计算: v0=1,v1=v0x+a6=1×2-2=0, v2=v1x+a5=0×2+0=0, v3=v2x+a4=0×2+0=0, v4=v3x+a3=0×2+3=3,
3

v5=v4x+a2=3×2-4=2, v6=v5x+a1=2×2+0=4, v7=v6x+a0=4×2+1=9, 故当 x=2 时多项式 f(x)的值为 f(2)=9. 【能力挑战题】若二进制数 10b1(2)和三进制数 a02(3)相等,求正整数 a,b. 【解题指南】先将这两个数化为十进制数,再利用两数相等,同时注意 a,b 的取值范围来 求 a,b 的值. 【解析】10b1(2)=1×23+b×21+1=2b+9, a02(3)=a×32+2=9a+2, 所以 2b+9=9a+2.即 9a-2b=7. 又因为 a∈{1,2},b∈{0,1}. 所以当 a=1 时,b=1,符合题意;
当 a=2 时,b= 11 不合题意.所以 a=1,b=1. 2
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