数学:3.4基本不等式 课件一(新人教A版必修五)


§3.4基本不等式:

a?b ab ? 2

ICM2002会标

赵爽:弦图

D
a 2 ? b2

D

b G A H

F
E

a a C A E(FGH) b C

B

B

基本不等式1: 一般地,对于任意实数a、b,我们有

a ? b ? 2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立。

基本不等式2:

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时,等号成立。
注意:

(1)两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
(2)

ab
a?b 2

称为正数a、b的几何平均数

称为它们的算术平均数。

基本不等式的几何解释:
D

A

a

C

b

B

E
半弦CD不大于半径

应用一:利用基本不等式判断代数式的大小关系

1 例1.(1) 已知 x ? 0, 求证x ? ? 2, 并指出等号 x 成立的条件. a b (2) 已知 ab ? 0, 寻找 ? 与2的大小关系, b a 并说明理由. a b (3) 已知 ab ? 0, ? 能得到什么结论? b a 请说明理由.

练习1:设a>0,b>0,给出下列不等式

1 (1)a ? ? 2 a

1 1 (2)( a ? )(b ? ) ? 4 a b 1 1 1 2 ?2 (3)( a ? b)( ? ) ? 4 (4)a ? 1 ? 2 a ?1 a b
(1)(2)(3)

其中恒成立的



lg a ? lg b , 1 a?b Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则( B ) 2 2 A、R ? P ? Q B、P ? Q ? R C、R ? P ? Q D、P ? Q ? R

练习2:若 a ? b ? 1, P ?

应用二:解决最大(小)值问题 例2、已知 x, y 都是正数,求证
(1)如果积 和x? 积

xy 是定值P,那么当 x ? y 时,

P (2)如果和 x ? y 是定值S,那么当

y 有最小值 2

xy

小结:利用 a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0) 求最值时要注意下面三条: (1)一正:各项均为正数 (2)二定:两个正数积为定值,和有最小值。 两个正数和为定值,积有最大值。 (3)三相等:求最值时一定要考虑不等式是否能取“=”,否 则会出现错误

1 2 有最大值 S 4

x ? y 时,

例3、 (1)用篱笆围一个面积为100m2 的矩形菜园,
问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最
短篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问这个矩 形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积 是多少?

例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,

其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每
平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价

为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最
低总造价是多少?

练习:

1 1、当x>0时, x ? 的最小值为 x
2、(04重庆)已知 则x y 的最大值是
1 6

2

,此时x= 1



2 x ? 3 y ? 2( x ? 0, y ? 0)


3、若实数 x, y ,且 x ? y ? 5 ,则 3x ? 3 y 的最小值是( D) A、10 B、 6 3 C、 4 6 D、 3 18 4、在下列函数中,最小值为2的是( C ) 1 A、 B、 y ? lg x ? (1 ? x ? 10) x 5 y ? ? ( x ? R, x ? 0) lg x

5 x

x ?x C、 y ? 3 ? 3 ( x ? R)

D、 y ? sin x ?

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

构造积为定值,利用基本不等式求最值

1 ? x( x ? 3) 的最小值 例4、 求函数 y ? x ?3

思考:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值

构造和为定值,利用基本不等式求最值

例5、已知 0 ? x ? 1 ,求 x 1 ? x 的最大值
2

练习: 已知 x ? 0, y ? 且 2 x ? 5 y ? 20 ,则 lg x ? lg y 0 最大值是多少?

利用基本不等式证明不等式 a b 1.已知a、b是正数,且 ? ? 1( x, y ? R? ), x y 求证:x ? y ? ( a ? b ) 2 2.已知a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0, 求证: ad ? bc bc ? ad ? ?4 bd ac 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3.证明:a ? b ? c ? a b ? b c ? a c ? abc(a ? b ? c)


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