必修2A版

1.2.2空间几何体的直观图

立体几何中常用平行投影(斜投影) 来画空间图形的直观图，这种画法叫 斜二测画法． 投影规律 三视图是用平面图形表示空间图形的 1.平行性不变，但形状、 图片都是空间图形在平面上的反映， 一种重要方法，但三视图的直观性较差， 长度、夹角会改变； 通过对图片的研究可以了解空间图形的 因此有必要绘制空间图形的直观图．一般 2.平行直线段或同一直线 一些性质和特征． 采用中心投影或平行投影． 上的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于 地面的直线在地面上的 投影长不变．

问题提出

1.把一本书正面放置，其视觉效果 是一个矩形；把一本书水平放置，其视 觉效果还是一个矩形吗？ 这涉及水平放置的平面图形的画法问题.
2.对于柱体、锥体、台体及简单的组 合体，在平面上应怎样作图才具有强烈 的立体感？ 这涉及空间几何体的直观图的画法问题.

知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法

思考1:把一个矩形水平放置，从适当的 角度观察，给人以平行四边形的感觉， 如图.比较两图，其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化？哪些没 有发生变化？

思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 观图如下，比较两图，其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化？ 哪些没有发生变化？

例１．用斜二测画法画水平放置的六边形 思考3:你能用上述方法画水平放置的正 的直观图 六边形的直观图吗？ ?1? 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，

对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应
?

的X?轴和Y?轴，两轴相交于点O?,使?x?Oy?=45 y
F
M

E D
C

y?

A
B

O

x

O

x?

N

? 2?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD，在y?轴上取

1 M?N?= MN .以点N ?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2 并且等于BC;再以M ?为中心,画E?F?平行于x?轴 并且等于EF. y
y?

F

M

E
A?

F ? M ? E?
N ? C?

A
B

O

D
C

x

B?

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D?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?
y
F
M

E
A?

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F ? M ? E?
N ? C?

A
B

O

D
C

x

B?

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D?

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N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?
y
F
M

E D
C

A
B

O

x

N

斜二测画法的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两
轴相交于o点．画直观图时，把它画成对应的x′ 轴、y′轴，使 ?x?Oy?=45? ? 或135?，它确定的平面 ? 表示水平平面。

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直
观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图
中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为 原来的一半．

思考4:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？

知识探究（二):空间几何体的直观图的画法

思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面，我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置？
z y

o

x

思考2：用斜二测画法如何画 例2.用斜二测画法画长,宽,高分别 长方体的直观图？ 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图

?1? 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使?xOy=45 ,
?

?xOz ? 90 .
?

Z

y
O

x

? 2? 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
轴上取线段PQ,使PQ= cm;分别过点M 和N作y轴的平行 1.5 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD Z y
D
M
O

Q

C

N

A

x

P

B

?3? 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA?,BB?,CC?,DD?.
Z
B?
O

D?

C?
Q

A?

y

M

D
P

C

N

x

A

B

? 4 ? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理

?去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ? ,
就可得到长方体的直观图. Z
D?

C?

A?

y

M

D
O

B?

Q

C

N

x

A

P

B

? 4 ? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理

?去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ? ,
就可得到长方体的直观图.
D?

C?

A?

D

B?

C

A

B

例3．已知几何体的三视图，用斜二测 画法画出它的直观图
Z ·
y?

O?

y

x?

·? O

·? O · O

O

x

正视图
·

· O

侧视图

俯视图

例４.已知几何体的三视图，用斜二 测画法画出它的直观图
·? O ·? O

正视图
·

· O

侧视图

· O

俯视图

怎样画底面是正三角形，且顶点在 底面上的投影是底面中心的三棱锥？
z C C A y S

B

M

A

o S

B

x

C A B

练习:1、下列结论是否正确. （ (1)角的水平放置的直观图一定是角． ） (2)相等的角在直观图中仍相等． （ ） (3)相等的线段在直观图中仍相等．（ ） (4)若两条线段平行，则在直观图中 （ ） 对应的两条线段仍平行． 2、利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形 ①② ④菱形的直观图是菱形 其中正确的是

课堂小结：

1、水平放置的平面图形的直观图的画法
2、空间几何体的直观图的画法 作业：1、用斜二测画法画水平放置 的正三角形,矩形的直观图 作业：2、用斜二测画法画正方体、正 四棱锥的直观图