高考数学40个考点总动员 考点29 圆锥曲线的方程与几何性质(教师版) 新课标


2013 年新课标数学 40 个考点总动员 考点 29 圆锥曲线的方程与几何 性质(教师版)
【高考再现】 热点一 椭圆的方程与几何性质 1.(2012 年高考新课标全国卷理科 4)设 F1F2 是椭圆 E : 点, P 为直线 x ? ( )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

3a E 的离心率为 上一点, ? F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 2 2 3 ? ? ? ?

( A)

1 2

(B)

(C )

( D)

2.(2012 年高考山东卷理科 10)已知椭圆 C:

的离心率为

,双曲线

x?-y?=1 的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆
C 的方程为

3.(2012 年高考全国卷理科 3)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭 圆的方程为

A.

x2 y 2 ? ?1 16 12

B.

x2 y 2 ? ?1 16 8

C.

x2 y 2 ? ?1 8 4

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

4. (2012 年高考江西卷理科 13)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、 a 2 b2

右 焦 点 分 别 是 F1 , F2 。 若 |AF1| , |F1F2| , |F1B| 成 等 比 数 列 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 为 _______________. 【答案】

5 5

【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: AF 1 ? a ?c, F 1F 2 ? 2c ,

F1B ? a ? c . 又 已 知 AF1 , F1F2 , F1B 成 等 比 数 列 , 故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 , 即
a2 ? c2 ? 4 c2 ,则 a 2 ? 5c 2 .故 e ?

c 5 5 .即椭圆的离心率为 . ? a 5 5
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于 4 3

5.(2012 年高考四川卷理科 15)椭圆

点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________。

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要

联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时, 要理清它们之间的关系, 挖掘出它们之间的内在联系. 3.求椭圆离心率问题,应先将 e 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出 关于 e 的等式或不等式, 从而求出 e 的值或范围. 离心率 e 与 a、 b 的关系: e = 2=
2

c2 a2-b2 = a a2

b2 b 2 1- 2? = 1-e . a a
热点二 双曲线的方程与几何性质 7.(2012 年高考全国卷理科 8)已知 F1 , F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则 cos ?F 1PF2 ? A.

1 4

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

8.(2012 年高考浙江卷理科 8)如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦 a 2 b2

点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.
2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

令 y=0 得:xM= 即 e=
6 . 2

c3 c3 c2 3 2 .又∵ | MF ,解之得: e ? ? , 2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM= c2 ? a2 c2 ? a2 aa 2

9.(2012 年高考福建卷理科 8)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合, 4 b2

则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. 5 B. 4 2 C.3 D.5

10.(2012 年高考新课标全国卷理科 8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与 抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
2



( A)

2

(B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

x2 y 2 11.(2012 年高考湖南卷理科 5)已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 a b
C 的渐近线上,则 C 的方程为 A.

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y2 =1[w~#ww.zz&st^ep.com@] 20 80

【答案】A

12.(2012 年高考江苏卷 8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 为 5 ,则 m 的值为 【答案】 2 .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率 m m ?4

【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在 x 轴上(否则不成立) ,因此 m > 0 ,由离心率 公式得到

m ? m2 ? 4 ? 5 ,解得 m ? 2 . m
x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1,A2,虚轴 a 2 b2

13.(2012 年高考湖北卷理科 14)如图,双曲线

两端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A, B,C,D.则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e=______; (Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值
S1 ? _________. S2

【答案】 (Ⅰ)

5 ?1 5?2 ; (Ⅱ) 2 2
4 2 2 4

2 2 【解析】 (Ⅰ)在 ?FOB 1 1 中, a ? b ? c ? bc ,整理得 c ? 3a c ? a ? 0 ,即

e4 ? 3e2 ? 1 ? 0 ,解得 e2 ?

3? 5 5 ?1 ,即 e ? ;(Ⅱ)由图分析可知,面积之比为 2 2

bc 5?2 (c 2 ? a 2 )c 2 = = e4 ? e2 = . 2 4 a 2 a
【方法总结】 1.双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为 mx +ny =1(mn<0)
2 2

x2 y2 x2 y2 (2)与双曲线 2- 2=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0). a b a b
(3)若已知渐近线方程为 mx+ny=0,则双曲线方程可设为 m x -n y =λ (λ ≠0).
2 2 2 2

2.已知双曲线的离心率 e 求渐近线方程注意应用 e=

1+

b a

2

,并判断焦点的位置.

3.已知渐近线方程 y=mx,求离心率时若焦点不确定时,m= (m>0)或 m= ,故离心率有两 种可能. 热点三 抛物线的方程与几何性质 14.(2012 年高考四川卷理科 8)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经 过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( )

b a

a b

A、 2 2

B、 2 3

C、 4

D、 2 5

15.(2012 年高考安徽卷理科 9)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点

O 是原点,若 AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为(



( A)

2 2

(B)

2

(C )

3 2 2

( D) 2 2

16.(2012 年高考北京卷理科 12)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且 与该撇物线相交于 A、 B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。 若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面 积为 【答案】 3 .

【解析】由 y 2 ? 4 x 可求得焦点坐标 F(1,0),因为倾斜角为 60 ? ,所以直线的斜率为

k ? tan60? ? 3 ,利用点斜式,直线方程为 y ? 3x ? 3 ,将直线和曲线联立
? A(3,2 3 ) ? 1 1 ? y ? 3x ? 3 ? ? ? 1 2 3 ,因此 S?OAF ? ? OF ? y A ? ? 1 ? 2 3 ? 3 . ? 2 2 2 ? ) ? B ( ,? ? y ? 4x 3 ? 3
17..(2012 年高考重庆卷理科 14)过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,

25 , AF ? BF , 则 AF = 12 5 【答案】 6
若 AB ?



AF ? m, BF ? n, ?AFx ? ? ? m ? n ?
【解析】设

25 12 5 6.

m ? p ? m cos ? , n ? p ? n cos ? ( p ? 1) ? m ?

18.(2012 年高考辽宁卷理科 15)已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别 为 4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。

19.(2012 年高考陕西卷理科 13)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水 面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 【答案】 2 6 【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点 O 的坐标为(0,0) , 设 l 与抛物线的交点为 A、B,根据题意知 A(-2,-2) ,B(2,-2) 设抛物线的解析式为 y ? ax ,则有 ? 2 ? a ? ?? 2? ,∴ a ? ?
2

米.

2

1 2

∴抛物线的解析式为 y ? ?

1 2 x 2

水位下降 1 米,则 y=-3,此时有 x ? ∴此时水面宽为 2 6 米.

6或x?? 6

【方法总结】 1.抛物线的定义实质上是一种转化思想即 2.抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离. 3.抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用.注意定义在解题中的 应用.研究抛物线的几何性质时,一是注意定义转化应用;二是要结合图形分析,同时注意 平面几何性质的应用. 【考点剖析】 一.明确要求 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程,理解它的简单的几何性质. 2.了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程,理解它的简单几何性质. 3. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二.命题方向 1.椭圆的定义、 标准方程和几何性质是高考的重点, 而直线和椭圆的位置关系是高考考查的 热点.定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查,而直线与椭圆位置关系 以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查,属中、高档题目. 2.双曲线的定义,标准方程及几何性质是命题的热点.题型多为客观题,着重考查渐近线与 离心率问题, 难度中等偏低, 解答题很少考查直线与双曲线的位置关系但个别省份也偶有考 查. 3.抛物线的方程、 几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点. 题型既有小巧灵活选 择、填空题,又有综合性较强的解答题. 三.规律总结

两种方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a 、b 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据 条件确定关于 a、b、c 的方程组,解出 a 、b ,从而写出椭圆的标准方程. 三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最 小距离,且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c. (2)求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b =a -c 就可求得 e(0 <e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①中
2 2 2 2 2 2 2

心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴. 一条规律 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 两种方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从 而求出 a 、b ,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件确定 a 、
2 2 2

x2 y2 b2 的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 2- 2 = m n
λ (λ ≠0),再根据条件求 λ 的值. 三个防范 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a =b +c ,而在双曲 线中 c =a +b . (2)双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1).
2 2 2 2 2 2

x2 y2 b y2 x2 (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近 a b a a b
线方程是 y=± x. 一个结论

a b

? ? 2 焦半径:抛物线 y =2px(p>0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F? ,0?的距离|PF|=x0+ . 2 ?2 ?
p p

【基础练习】 1.(人教 A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为( A. + =1 9 16 C. + =1 或 + =1 25 16 16 25 ). B. + =1 25 16

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

D.以上都不对

解析 ∵2a+2b=18,∴a+b=9,又∵2c=6,∴c=3,则 c =a -b =9,故 a-b=1,从 而可得 a=5,b=4,∴椭圆的方程为 + =1 或 + =1. 25 16 16 25 答案 C 2.(人教 A 版教材习题改编)双曲线 - =1 的焦距为( 10 2 A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3

2

2

2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

).

3.(人教 A 版教材习题改编)抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是( A.1 B.2 C.4 D.8

2

).

解析 由 2p=8 得 p=4,即焦点到准线的距离为 4. 答案 C

x y 4 4.(经典习题)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5
A.-21 19 C.- 或 21 25 解析 若 a =9,b =4+k,则 c=
2 2

2

2

).

B.21 D. 5-k, 19 或 21 25

c 4 5-k 4 19 由 = 即 = ,得 k=- ; a 5 3 5 25
若 a =4+k,b =9,则 c=
2 2

k-5,

c 4 k-5 4 由 = ,即 = ,解得 k=21. a 5 4+k 5
答案 C 5.(经典习题)设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( A.4 ). B.6 C.8 D.12
2

x2 y2 6. (经典习题)设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、 a 9

F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于________.

【名校模拟】 一.基础扎实 1.(2012 云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)抛物线 x 2 ? 2 y 的焦点坐标是 (A) (

1 ,0) 2

(B) ( 0 ,

1 ) 2

(C) ( 1 , 0 )

(D) ( 0 , 1 )

解:∵ x 2 ? 2 y ? 2 ?1 ? y ∴ x 2 ? 2 y 的焦点坐标是 ( 0 , 故选(B). 2.( 北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷文 ) 已知双曲线 x2 ? ky 2 ? 1 的一个焦点是

1 ). 2

( 5,0) ,则其渐近线的方程为( )
(A) y ? ?

1 1 x (B) y ? ?4 x (C) y ? ? x (D) y ? ?2 x 4 2

3.(2012 年云南省第一次统一检测理)抛物线 2 x ? y ? 0 的准线方程是
2

(A) x ?

1 8

(B) y ?

1 8

(C) x ? ?

1 8

(D) y ? ?

1 8

2 2 解:∵ 2 x ? y ? 0 ,∴ x ? ?

1 y. 2 1 1 2 ∵ x ? ? y 的准线方程是 y ? , 8 2
2 ∴抛物线 2 x ? y ? 0 的准线方程是 y ?

1 . 8
2

故选(B). 4.(长春市实验中学 2012 届高三模拟考试(文))设 F 是抛物线 y ? x 的焦点,A,B 是抛物 线上两点,若线段 AB 的中点到 y 轴的距离为

5 ,则 AF ? BF 等于 4

A.2

B.

5 2

C .3

D.4

5.( 山西省 2012 年 高考考 前适 应性 训练 文 ) 已知椭 圆

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和 双曲 线 2 2a b


x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F1 , F2 ,则椭圆和双曲线离心率的平方和为( a 2 b2 9 7 A. B. C.2 D.3 4 4 【答案】A
2 2 2 2

【解析】依题意得知 2a ? b ? a ? b ,即 a ? 2b ,因此该椭圆与双曲线的离心率分别
2 2



2a 2 ? b 2 、 2a 2

a 2 ? b2 , 该 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率 的 平 方 和 等 于 a2

2a 2 ? b 2 a 2 ? b 2 4b 2 ? b 2 2b 2 ? b 2 9 ? ? ? ? ,选 A. 2a 2 a2 4b2 2b2 4
6. 【2011 学年浙江省第二次五校联考理】 过双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F2 作斜率 a2 b2

为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 A, B .若 F2 A ? AB ,则双曲线 的渐近线方程为 (A) 3 x ? y ? 0 (B) x ? 3 y ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 0 (D) 3 x ? 2 y ? 0

【解析】过右焦点的直线为 y ? ? x ? c ,设其与

y?

b ac x xA ? a 交于 A,且 a?b ;

b ac y?? x xB ? a 交于 B,且 a ? b ;由 F2 A ? AB 知:A 为线段 BF2 中点, 设其与

故有: 【答案】A

2xA ? xB ? xF2

2ac ac ? ? c ? b ? 3a ? 3x ? y ? 0 ,即: a ? b a ? b .

7.(宁波四中 2011 学年第一学期期末考试理)设点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一 a2 b2

点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 ?PF ? S ?IPF2 ? 2S ?IF1F2 , 1 F2 的内心,若 S ?IPF 1 则该椭圆的离心率是

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

1 4

8

.(河南省郑州市 2012 届高三第二次质量预测文)若双曲线 点分别为 率为 A. 答案:B 解析:依题意得知, B. C. D. ,线段 被抛物线

的左、 右焦

的焦点分成 7 :3 的两段,则此双曲线的离心

c?

,即 , b 7 4 (其中 c 是双曲线的半焦距) ? ? 2c b? c 2 7?3 5

3 , c 5 ,因此该双曲线的离心率等于 5 ,选 B.. a ? c2 ? b2 ? c ? 5 a 3 3
9.(2012 年河南豫东、 豫北十所名校阶段性测试(三) 理)过双曲线 右焦点 F 作圆 曲线的离心率是 (A)2 (B) (C) 【答案】B 【解析】 依题意得知 OR ? OF ? c , ?MOF ? 45 , sin ?MOF ? sin 45 ? 的

的切线 FM(切点为 M),交 y 轴于点 R 若 M 为线段 FP 的中点,则双 (D)

a , c

c ? 2 ,因此双曲线的离心率等于 2 ,选 B. a
10(2012 东城区普通高中示范校高三综合练习(二)理) 已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一条渐近线与 x 轴的夹角为 ? ,且

?

3 【答案】 ( 2, 2)

4

?? ?

?

,则双曲线的离心率的取值范围是_______.

【解析】 设双曲线方程为

b x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 半焦距为 c 。 根据已知即 1 ? ? 3 , 2 a a b

即 1 ? e2 ?1 ? 3 ,解得 2 ? e ? 2 。 11.(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) (文)) 若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右顶点分别是 A1 , A2 ,线段 A1 A2 a 2 b2 被 y 2 ? bx 的焦点分为 3:1 两段, 则此双曲线的离心率为 .

二.能力拔高 12. (襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)已知双曲线 2c,离心率为 e,若点(-1,0)与点(1,0)到直线 则离心率 e 的取值范围是( A. [ ) C. [ 5 , 7 ] 2 D. [ 2 , 5 ]

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 a2 b2

x y 4 ? ? 1 的距离之和为 S,且 S ? c , a b 5

5 , 5] 2 答案:A

B. [ 2 , 7 ]

解析:由题意得,将直线

x y ? ? 1 化为一般式方程 bx ? ay ? ab ? 0 , a b

所以点(-1,0)到直线的距离为 d1 ?

?b ? ab b 2 ? (?a ) 2 b ? ab b ? (?a)
2 2

?

b ? ab b2 ? a 2 ab ? b b2 ? a 2



同理点(1,0)到直线的距离为 d 2 ?

?



b ? ab ab ? b , d2 ? c c 4 b ? ab ab ? b 4 ? ? c, 又点点(-1,0)与点(1,0)到直线的距离之和 S ? c ,即 5 c c 5 2 2 4 4 c ? a 2b 2 ,将 b2 ? c2 ? a 2 代入上式, 所以 ab ? c ? 5 25
2 2 2 因为双曲线中 c ? a ? b 且a ? 1 ,所以 d1 ?

2 2 整理得 4c ? 25a c ? 25a ? 0 ? 4e ? 25e ? 25 ? 0 ,即 (4e ? 5)(e ? 5) ? 0 ,
4 2 2 4 4 2

解得

5 ? e ? 5 ,故选 A。 2
2

13..(湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理)过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线 与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距 离之和等于5,则这样的直线

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 答案:D 解析:由题意得,转化到准线 x ? ?1 的距离为3,根据抛物线的定义知,点A、B到准线 的距离之和等于弦长AB, 即 AB ? 3 , 又抛物线 y 2 ? 4 x 的通径长为 2 p ? 4 , 即 AB ? 4 , 所以这样的直线不存在,故选D。 14..(湖北省武汉市 2012 届高中毕业生五月供题训练(二)理) 如右图所示, A , B , C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与线段 AB 交于圆内一点 D ,若

OC ? xOA? yOB,则
A. 0 ? x ? y ? 1 C. x ? y ? ?1 答案:C 解析:由题意得 OA ? OB ? OC ,又 OC ? xOA ? yOB ,则 m ? 0, n ? 0 所以 OC ? ( xOA ? yOB)2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos ?AOB , 当 ?AOB ? 600 ? x2 ? y 2 ? mn ? 1 ? ( x ? y)2 ? 1 ? mn ? 1 , 所以 x ? y ? 1 或 x ? y ? ?1 ,又 m ? 0, n ? 0 ,所以 x ? y ? ?1 ,故选 C。 15..(湖北武汉 2012 毕业生五月供题训练(三)文)设 F1、F2 是双曲线 x ?
2

B. x ? y ? 1 D. ?1 ? x ? y ? 0

2

y2 ? 1 的左、 4

右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 (OP ? OF2 ) ? FO , ? 0 (O 为坐标原点) 1 且|PF1|= ? |PF2|,则 ? 的值为 A.2 B

1 2

C.3

D.

1 3

所以 PF 1 ? 2a ? PF 2 ? 4 ,所以 ? ?

PF1 PF2

?

4 ? 2 ,故选 A。. 2

x2 y2 * ? ? 1 上有 n 个不同的点 P ,F 1 、P 2 、 、P n n?N 4 3 1 是右焦点, ? P 的等差数列,则 n 的最大值为( ) n F ? 组成公差大于 d ? 100
16. (七校联考 数学试卷文)椭圆

?

?

A. 99 答案:D 解析: d ?

B. 100

C. 199

D. 200

| Pn F | ? | P | P F |?| P 1 1 1F | 1F | , (n ? 2) ? , (n ? 2) ,因为 d ? ,所以 n ,进 n ?1 n ?1 100 100
1

而 有 : n ?1 0 0 n P ( |F ?

| P |F?

| ) )? n, 1若 , ( 使 n2 的 值 最 大 , 只 需

100(| Pn F | ? | PF |) ? 1,(n ? 2) 最 大 , 即 使 | Pn F | ? | PF | 最 大 , 而 1 1 (| P |)max ? 3 ?1 ? 2 ,? n ? 201 ,? n 的最大值为 200,故选 D n F | ? | PF 1
17. (2012 年高三教学测试(二)理)设双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点

F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A 、 B 两点,与双曲线的其中一个交点为 P ,设
O 为坐标原点,若 OP ? mOA ? nOB (m, n ? R) ,且 mn ?

2 ,则该双曲线的离心率为 9

A.

3 2 2

B.

3 5 5

C.

3 2 4

D.

9 8

【解析】 A(c,

bc bc bc ), B(c,? ) ,代入 OP ? mOA ? nOB ,得 P (( m ? n)c, (m ? n) ) ,代入双 a a a
3 2 . 4

曲线方程,得 4e 2 mn ? 1 ,即可得 e ? 【答案】C

18. (2012 年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)理)设拋物线

的焦点

为 F , 点 A 在 y 轴 上 , 若 线 段 FA 的 中 点 B 在 拋 物 线 上 , 且 点 B 到 拋 物 线 准 线 的距离为 (A)(0, ) ,则点 A 的坐标为 (B)(0, 2) (C)(0, ) (D)(0, 4)

2 ? 2 px0 ? 1 , y1 ? 2 y0 ? ?2 ,即点 A 的坐标是 ? 0, ?2? ,选 A. p ? 2 , y0

19.(2012 北 京 海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 理 ) 已 知 点 F1 , F2 是 椭 圆

x2 + 2 y 2 = 2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么 PF1 + PF2 的最小值是
(A) 0 【答案】C 【解析】根据椭圆的对称性可知,设 P ?是 P 关于原点的对称点,也在椭圆上,故 (B) 1 (C) 2 (D) 2 2

PF1 + PF2 = PP?, 显然当 P ?和 P 为短轴的两个端点时,取得最小值为 2b=2.
x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的右焦点与抛物线 m 5

(2012 届高三年级第二次综合练习文)已知双曲线

y 2 ? 12 x 的焦点相同,则此双曲线的离心率为
A. 6 C. B.

3 2 2
3 4

3 2

D.

【答案】C 【解析】 y ? 12 x 焦点 F (3, 0) , 在
2

x2 y 2 ? ? 1 中 a ? m ,b ? 5 ,c ? 3 ∵ c2 ? a 2 ? b2 m 5

∴m ? 4 ∴a ? 2∴e ?

c 3 ? ,故选 C a 2

20.( 仙 桃 市 2012 年 五 月 高 考 仿 真 模 拟 试 题 理 ) 已 知 F1 , F2 分 别 是 双 曲 线

3x 2 ? y 2 ? 3a 2 (a ? 0) 的左、右焦点,P 是抛物线 y 2 ? 8ax 与双曲线的一个交点,满足
| PF1 | ? | PF2 |? 12 ,则 a 的值为

A、-1

B、1

C、2

D、3

又双曲线左准线为 x ? ? ∴ | PF1 |? 2( x p ?

a2 1 ? ? a ,离心率 e ? 2 c 2

1 a) ? 2 x p ? a ? 6 ? a ? x p ? 3 2

|PF | 2 ? x p ? 2a ? 3 ? 2a ? 6 ? a ? a ? 1
故选 B 21.( 湖 北 省 八 校 2012 届 高 三 第 一 次 联 考 文 ) 已 知 直 线 y ? k x ?1( k ? 0 )与 抛 物 线

C : x2 ? 4 y 交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若 | FB |? 3 | FA, 则k ?|
( A. )

4 3

B.

2 3 3

C.

3 3 2

D.

3 2 2

答案:B 解析:由题意得,抛物线 x2 ? 4 y 的准线方程为 y ? ?1 ,设 A? x1 , y1 ?, B ?x 2 , y 2 ? ,根据 抛物线的定义得 FB ? y2 ? 1, FA ? y1 ? 1,则 y2 ? 2 ? 3( y1 ? 1) , 又?

? x2 ? 4 y ? y ? kx ? 1

,整理得 y 2 ? (2 ? 4k ) y ? 1 ? 0 ? y1 y2 ? 1,

联立得 y1 ?

1 2 3 2 3 1 , ), ,代入抛物线方程得 x1 ? ,即 A( 3 3 3 3

代入直线方程得 k ?

2 3 。64. 3

22.(江西 2012 高三联合考试文

A.

2

B.

2 ?1

C. 3 ? 2

D. 2

【答案】B

【解析】焦点 F (

p p b2 , 0) ,公共弦 AB 方程为 x ? ,所以 AF ? p ? ? 2c ,即 2 2 a

c2 ? a2 ? 2ac ? 0 ,解得 e ? 2 ? 1,选 B。

y2 ? 1 的两个焦点, m 过点 F2 作与 x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为 A ,满足 AF2 ? F 1F 2 ,则 m 的值为
23.(2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试文) F1 , F2 是双曲线 x ?
2

__________.

24. (2012 年 长 春 市 高 中 毕 业 班 第 二 次 调 研 测 试 理 ) F1 , F2 为 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0b, ? a 2 b2

0) F2 作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 M , 的左右焦点,过点

满足 MF1 ? 3 MF2 ,则此双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 y ? ?

2 x 2
y

【 解 析 】 由 双 曲 线 的 性 质 可 推 得 MF2 ? b , 则

MF 1 ?3b
在△ MFO 中, OM ? a , OF1 ? c , 1
F1 c

M

3b
O

a c

b
F2

x

a cos ?F1OM ? ? ,由余弦定理可知 c 2 2 a ? c ? (3b)2 a ? ? ,又 c2 ? a 2 ? b2 , 2ac c
可得 a ? 2b ,即
2 2

b 2 2 ,因此渐近线方程为 y ? ? ? x a 2 2

25.(2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)

已知动圆的圆心 C 在抛物线. 则 的最大值为. _______

上, 该圆经过点 A(0, P),且与 x 轴交于两点 M、 N,

∴|MN|=|x1-x2|=2p. ∵|CM|=|CN|=

( x0 ? x1 )2 ? y0 2 =

p 2 ? y0 2

∴cos∠

?2 p 2 ? 2 y0 2 2 p2 ? 1? 2 MCN= -2p2+2y02 2p2+2y02 =1-2p2 p2+y02 2 p 2 ? 2 y0 2 p ? y02
∴-1≤cos∠MCN<1,∵0<∠MCN<π ,∴0<sin∠MCN≤1, ∴sin∠MCN 的最大值为 1 故答案为:1 26. (2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理)己知 F1 F2 是椭圆 的两个焦点,若椭圆上存在一点 P 使得 ________. 答案: [ ,1) 27.(河北省唐山市 2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考试理)过抛物线 y =2px(p>0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点,若|AF| =2|BF|=6,则 p= 。 【答案】4 【 解 析 】 设 A ( x1,y1 ) B(x2,y2) 由 题 意 得 ?
2

(a>b>0)

,则椭圆的离心率 e 的取值范围为

1 2

? ?| AF |? 2 | BF |? 6 , 所 以 , ? ? AF ? 2 FB

p p p ? ? x1 ? ? 2( x2 ? ) ? 6 x1 ? 2 x2 ? ? ? ? ? 2 2 2 ,所以 ? ,所以 x1 ? p ,因为 | AF |? 6 ,即 ? p p 3 p ? ?x ? 2x ? ? x1 ? 2( x2 ? ) 1 2 ? ? ? 2 2 ? 2
| AF |? x1 ? p p ? p? ?6 2 2

所以 p=4 28..(2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,则 经过点 F 、 M (4,4) 且与抛物线的准线相切的圆的个数为 .

三.提升自我 29.(湖北省武汉外国语学校 已知双曲线

钟祥一中 2012 届高三 4 月联考文)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 被斜率为 1 的直线截得的弦的中点为 (4,1) ,则该双曲 a 2 b2
) B.

线离心率的值为( A. 5 答案: D

10 2

C.

6 2

D.

5 2

解析:由题意得,设弦的两个端点坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , 代入双曲线的方程并整理得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, a2 b2

将斜率为 1 的直线,弦的中点为 (4,1) ,

代入得 a 2 ? 4b 2 ? c 2 ? 5b 2 ? e ?

c 5 ,故选 D。 ? a 2

30.(2012 云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 的长轴的两 25 9

个 端 点 分 别 为 A1 、 A2 , 点 P 在 椭 圆 E 上 , 如 果 ? A1 PA2 的 面 积 等 于 9 , 那 么

PA1 ? PA2 ? (
(A) ?

)

144 25

(B)

144 25

(C) ?

81 25

(D)

81 25

31.(2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 设 F1,F2 分别为双曲线 的左、右焦点,点 P 在双曲线的右支上,且 ,

F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.

【答案】B 【解析】 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系, 得出 a 与 b 之间的等量关系, 即可得到答案. 依题意|PF2|=|F1F2|, 可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形, F2 在直线 PF1 的投影是其中点, 由勾股定理知:可知|PF1|= 2 4c2 ? 4a2 =4b;

根据双曲定义可知 4b-2c=2a, 整理得 c=2b-a, 代入 c2=a2+b2 整理得 3b2-4ab=0, 求得

b 4 ? . a 3

c b2 4 5 ? 1 ? 2 ? 1 ? ( )2 ? a 3 3 .故选:B. ∴该双曲线的离心率 e= a 32.(2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试文)以 O 为中心,F1 , F2 为两个焦点的椭圆上
存在一点 M ,满足 MF1 ? 2 MO ? 2 MF2 ,则该椭圆的离心率为 A.

2 2

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 4
c 2

【答案】C 【 解 析 】 过 M 作 x 轴 的 垂 线 , 交 x 轴 于 N 点 , 则 N 点 坐 标 为 ( , 0) , 并 设

MF1 ? 2 MO ? 2 MF2 ? 2t ,根据勾股定理可知, MF1 ? NF1 ? MF2 ? NF2 ,

2

2

2

2

得到 c ? 故选 C.

c 6 3t 6 . t ,而 a ? ,则 e ? ? 2 a 3 2

33.(2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理 )过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 右焦点 a2 5 ? a2

F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜
率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点, 则双曲线离心率的取值范围为( A. ( 2, 5) B. ( 5, 10) C. (1, 2 ) D. (5,5 2) )

继续识别条件:右焦点 F 作一条直线 画图! 继续识别条件:当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点 恩?为啥会左右各一?呵呵,你看看你画的双曲线,对吗?你画渐近线了吗,没画渐近线, 你画的就不是双曲线! 然后发现, 渐近线斜率大于 2 时, 就可以保证左右可以 各一 转化: 也就是 b/a>2 继续识别条件:当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点 一样,没啥说的,b/a<3 放在一起,就是 2<b/a<3 看看问题吧 确定一下方向:双曲线离心率的取值范围 离心率啊,离心率,你不就是 C/a 吗 就弄出个 a 与 c 的关系就行了呗 4 ? 我都知道 2<b/a<3,我还知道 c ? a ? b
2 2 2

b2 ?9 a2

b 2 ? c 2 ? a 2 代入就行了 结束

b2 c2 ? a2 4? 2 ?9?4? ? 9 ? 4 ? e 2 ? 1 ? 9 ? 5 ? e ? 10 2 a a
【答案】B 【原创预测】 1.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1的离心率为( m

)

(A)

3 2

(B) 5

(C)

3 5 或 2 2

( D)

3 或 5 2

x2 y 2 2.直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ?) 交于 A、B 两点,M 是线段 AB 的中 点, a b
若 l 与 OM (O 是原点)的斜率的乘积等于 1,则此双曲线的离心率为 A. 2 【答案】 A B. 3 C.2 D. 3

? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 【 解 析 】 设 A ( x1,y1 ) B ( x2,y2 ) M(x0,y0), 则 ? ,两式相减得 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) y1 b2 ( y1 ? y2 ) (? ? , 所 以 ? 2 2 2 a b a ( 1x? 2 x) (?1x

y2 ) , 所 以 x 2)

c a 2 ? b2 b2 2 y0 ( y1 ? y2 ) 2 2 a ? b ,所以 ,即 a=b, 所以 e ? ? ? 2 ? ? k ? k ? 1 0 l a a a 2 2 x0 ( x1 ? x2 )
故选 A 3.已知直线 y ? k ( x ? m) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A、B 两点,且 OA ? OB . OD ? AB 于

D. 若动点 D 的坐标满足方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,则 m ?
A.1 【答案】D B.2 C.3 D.4

1 ?b km ? ?? 【解析】 设点 D ? a, b? ,则由 OD ? AB 于 D ,于是有 ? a ,b ? ? , k 2 1 ? k ?b ? k ? a ? m ? ?
a ? ?bk ; 又 动 点 D 的 坐 标 满 足 方 程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , 于 是 有 a 2 ? b2 ? 4a ? 0 ,

b2 k 2 ? b2 ? 4bk ? 0
4 ?1 ? k ? ? m ? ? ?
2



bk 2 ? b ? 4k ? 0



?

k 3m km ? ? 4k ? 0 2 1? k 1? k 2





0 m ? 4 ,选 D. ,因此

y 2 x2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,则满足△ PF1 F2 的周长为 6 + 2 5 的动 2 3 点 P 的轨迹方程为
4.已知双曲线 A. C.

x2 y 2 ? ?1 4 9 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 4 9

B. D.

x2 y 2 ? ?1 9 4 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 9 4

5.过点 M (2,?2 p) 作抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,若线段 AB 中点的纵坐标为 6,则抛物线的方程为 【答案】 x ? 2 y或x ? 4 y
2 2



【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 线段 AB 的中点为 N (m, 6).

x2 ? 2 py( p ? 0),? y ?

x2 x ,? y? ? k ? , 2p p

kMA ?

x1 x ,? lMA : y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ),即xx1 ? py ? py1 ? 0. p p

同理切线 BM 的方程为: xx2 ? py ? py2 ? 0.

6.已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线

的焦点 F, 且与 y 轴相交于点 A,若

(O

2 为坐标原点) 的面积为 1, 则 P=._______15.

OF ?
依题意得知,

p p AF ? 2 OF ? 4, 2,

?AOF 的面积等于

1 p2 AF OF ? ? 1 , a 2 ? 4 ;又 a ? 0 ,因此 p ? 2 . 2 16

x2 y 2 a2 2 2 7.过双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左焦点 F,作圆 x ? y ? 的切线,切点为 E,延长 a b 4
FE
交双曲线右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为 .

8.过双曲线 线段

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在 a 2 b2
.

OF(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为
【解析】 2 设垂足为 P ,则 P 点的横坐标为

c b ,设渐近线方程是 y ? x ,则点 P 的坐 2 a bc c bc b b ) ,根据 PF 垂直渐近线 y ? x ,可得 2a ? ? ?1 ,解得 a ? b ,此时 标是 ( , c 2 2a a ?c a 2 c e? ? 2 a


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