2018版高中数学第三章指数函数和对数函数6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案北师大版必修1


§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学习目标 1.了解指数增长、 幂增长、 对数增长的意义(重点); 2.能结合具体实际问题, 建立恰当函数模型(重、难点). 预习教材 P98-103 完成下列问题: 知识点一 三种函数模型的性质 1.当 a>1 时,指数函数 y=a 在 R 上是增函数,对数函数 y=logax 在(0,+∞)上是增 函数; 当 0<a<1 时,指数函数 y=a 在 R 上是减函数, 对数函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数. 2.幂函数 y=x ,当 α >0 时,在(0,+∞)上是增函数. 【预习评价】 1.若 x∈(1,2),则下列结论正确的是( 1 x A.2 >x2 >lg x 1 x C.x2 >2 >lg x 解析 ∵x∈(1,2),∴2 >2. 1 ∴x2 ∈(1, 2),lg x∈(0,1). 1 x ∴2 >x >lg x. 2 答案 A 2.当 x>4 时,a=4 ,b=log4x,c=x 的大小关系是________. 解析 三个已知函数按增长速度由慢到快排列为 y=log4x,y=x ,y=4 ,当 x=4 时, 4 α x x ) 1 x B.2 >lg x>x2 1 x D.x2 >lg x>2 x x 4 x b=log44=1,a=c=44, 所以 a,b,c 的大小关系是 b<c<a. 答案 b<c<a 知识点二 三种函数的增长趋势 当 a>1 时,指数函数 y=a 是增函数,并且当 a 越大时,其函数值的增长就越快. 当 a>1 时,对数函数 y=logax 是增函数,并且当 a 越小时,其函数值的增长就越快. 当 x>0, n>1 时, 幂函数 y=x 是增函数, 并且当 x>1 时, n 越大其函数值的增长就越快. 【预习评价】 1.在函数 y=3x,y=log3x,y=3 ,y=x 中增长速度最快的是________. 解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出 y=3 的增长速 1 x x 3 x n 度最快. 答案 y=3 x 2.如图所示曲线反映的是__________ 函数模型的增长趋势. 解析 由图像知, 此函数的增长速度越来越慢, 因此反映的是幂函数模型或对数型函数 模型的增长速度. 答案 幂函数或对数型 知识点三 三种函数的增长对比 对数函数 y=logax(a>1)增长最慢,幂函数 y=x (n>0),指数函数 y=a (a>1)增长的快 慢交替出现,当 x 足够大时,一定有 a >x >logax. 【预习评价】 1.在区间(0,+∞)上,当 a>1,n>0 时,是否总有 logax<x <a 不成立? 提示 不是,但总存在 x0,使得当 a>1,n>0,x>x0 时,logax<x <a 成立. 2.能否举例说明“指数爆炸”增长的含义? 提示 如 1 个细胞分裂 x 次后的数量为 y=2 ,此为“指数增长”,其“增长量”是成 倍增加的,从图像上看出,存在 x0,当 x>x0 时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效 果. 3.判断某个增函数增长快慢的依据是什么? 提示 依据是自变量每改变一个单位,函数值增长量的大小.增长量越大,增长速度越 快. x n x n x x n n x 题型一 函数模型的增长差异 【例 1】 (1)当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( A.y=10 000x C.y=x 1 000 ) B.y=log2x ?e?x D.y=? ? ?2? 5 26 32 10 4.322 10 101 1 024 20 5.322 15 226 32 768 30 5.907 20 401 1.05×10 40 6.322 6 (2)四个变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表: x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 2 25 626 3.36×10 50 6.644 7 30 901 1.07×10 60 6.907 9 2 关于 x 呈指数函数变化的变量是________. ?e?x 解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长, 则当 x 越来越大时, 函数 y=? ? 增长 ?2? 速度最快. (2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的. 从表格中可以看出,四个变量 y1,y2,y3,y4 均是从 2 开始变化,变量 y1,y2,y3,y4 都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量 y2 的增长速度最快,可知变量 y2 关于 x 呈指 数函数变化. 答案 (1)D (2)y2 规律方法 在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=a (a>1),y=logax(a>1)和 y=x (n>0)都 是增函数, 但它们的增长速度不同, 而且不在同一个“档次”上. 随着 x 的增大, y=a (a>1) 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=x (n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长 速度则会越来越慢,因此总会存在一个 x0,当 x>x0 时,就有 logax<x <a . 【训练 1】 下列函数中,随 x 增大而增大速度最快的是( A.2 014ln x C.y= B.y=x 2 014 x n x n n x ) x 2 014 D.y=2 014·2 x 解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来越大时,函数 y=2 014·2 的 增长速度最快.故选 D. 答案 D 题型二 函数模型的选择问题 【例 2】 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市, 通过市场调查, 得到西红柿种植成本 y(单 位:元/10 kg)与上市时间 x(单位:天)的数据如下表: 时间 x 种植成本 y 50 150 110 108 250 150 2 x (1)根据上述表格中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 y 与上市 时间 x

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