2019-2020年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入单元测试含解析北师大版


2019-2020 年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入单元测试含

解析北师大版

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.已知 a,b∈C,下列命题正确的是( )

A.3i<5i

B.a=0?|a|=0

C.若|a|=|b|,则 a=±b

D.a2≥0

【解析】 A 选项中,虚数不能比较大小;B 选项正确;C 选项中,当 a,b∈R 时,结

论成立,但在复数集中不一定成立,如|i|=???-12+

23i???,但

1 i≠-2+

3 2i

1 或2-

3 2 i;D

选项中,当 a∈R 时结论成立,但在复数集中不一定成立,如 i2=-1<0.

【答案】 B

i 2.i 是虚数单位,则1+i的虚部是( )

A.12i

B.-12i

C.12

D.-12

i



1+i 1 1

【解析】 1+i= +

- = 2 =2+2i.

【答案】 C

3.???1+2 i???=(

)

A.2 2

B.2

C. 2

D.1

2



2-2i

【解析】 由1+i= +

- = 2 =1-i,

∴???1+2 i???=|1-i|= 2.故选 C.
【答案】 C

4. z 是 z 的共轭复数.若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位),则 z=( )

A.1+i

B.-1-i

C.-1+i

D.1-i

【解析】 法一:设 z=a+bi,a,b 为实数,则-z =a-bi,∵z+-z =2a=2,∴a=

1.又(z--z )i=2bi2=-2b=2, ∴b=-1.故 z=1-i.

法二:∵(z--z )i=2,∴z--z =2i=-2i.又 z+-z =2,

∴(z--z )+(z+-z )=-2i+2,∴2z=-2i+2, ∴z=1-i.

【答案】 D

i 5.复数1-i的共轭复数为( )

A.-12+12i

B.12+12i

C.12-12i

D.-12-12i

i



-1+i 1 1

【解析】 ∵1-i= -

+ = 2 =-2+2i,

∴其共轭复数为-12-12i.故选 D.

【答案】 D

6.下面是关于复数 z=-12+i的四个命题:

p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z 的共轭复数为 1+i; p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( ) A.p2,p3 C.p2,p4 【解析】 ∵z=-12+i=-1-i,

B.p1,p2 D.p3,p4

∴|z|= - 2+ - 2= 2, ∴p1 是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i,∴p2 是真命题;

∵ z =-1+i,∴p3 是假命题;

∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题为 p2,p4.

【答案】 C

7.复平面上平行四边形 ABCD 的四个顶点中,A,B,C 所对应的复数分别为 2+3i,3+

2i,-2-3i,则 D 点对应的复数是( )

A.-2+3i

B.-3-2i

C.2-3i

D.3-2i

??2+ - 3+x 2 =2,

【解析】 设 D(x,y),由平行四边形对角线互相平分得
?3+ - 2+y ?? 2 = 2 ,



??x=-3, ???y=-2,
∴D(-3,-2),∴对应复数为-3-2i.

【答案】 B

8.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )

A.a=-1

B.a≠-1 且 a≠2

C.a≠-1

D.a≠2

【解析】 要使复数不是纯虚数,则有

??a2-a-2≠0, ???|a-1|-1≠0, 解得 a≠-1.

【答案】 C 9.若 a,b∈R,则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i 对应的点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】 复数对应点的坐标为(a2-6a+10,-b2+4b-5),

又∵a2-6a+10=(a-3)2+1>0,

-b2+4b-5=-(b-2)2-1<0.

∴复数对应的点在第四象限.故选 D.

【答案】 D 10.如果复数 z=3+ai 满足条件|z-2|<2,那么实数 a 的取值范围是( )

A.(-2 2,2 2)

B.(-2,2)

C.(-1,1)

D.(- 3, 3)

【解析】 因为|z-2|=|3+ai-2|=|1+ai|= 1+a2<2,所以 a2+1<4,所以 a2<3,

即- 3<a< 3.

【答案】 D

11.若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则( )

A.b=2,c=3

B.b=-2,c=3

C.b=-2,c=-1

D.b=2,c=-1

【解析】 因为 1+ 2i 是实系数方程的一个复数根,所以 1- 2i 也是方程的根,则

1+ 2i+1- 2i=2=-b,(1+ 2i)(1- 2i)=3=c,解得 b=-2,c=3.

【答案】 B 12.设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( ) A.若 z2≥0,则 z 是实数 B.若 z2<0,则 z 是虚数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 【解析】 设 z=a+bi(a,b∈R),

选项 A,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi≥0,则?????aab2≥=b02,, 故 b=0 或 a,b 都为 0,即 z

为实数,正确.

选项 B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,则?????aab2<=b20,, 则?????ab=≠00,, 故 z 一定为虚数,

正确. 选项 C,若 z 为虚数,则 b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi, 由于 a 的值不确定,故 z2 无法与 0 比较大小,错误.

选项 D,若 z 为纯虚数,则???a=0, 则 z2=-b2<0,正确. ??b≠0,

【答案】 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线上)

13.(2015·重庆高考)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=________.

【解析】 ∵|a+bi|= a2+b2= 3,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.

【答案】 3

14.a 为正实数,i 为虚数单位,???a+i i???=2,则 a=__________.

【解析】 a+i i= a+

- -

=1-ai,

则???a+i i???=|1-ai|= a2+1=2,所以 a2=3.

又 a 为正实数,所以 a= 3.

【答案】 3

15.设 a,b∈R,a+bi=111--27ii(i 为虚数单位),则 a+b 的值为__________.

【解析】 a+bi=111--27ii=

- -

+ +

=25+515i=5+3i,依据复数相等的

充要条件可得 a=5,b=3.

从而 a+b=8.

【答案】 8

16.若复数 z 满足|z-i|≤ 2(i 为虚数单位),则 z 在复平面内所对应的图形的面积为

________.

【解析】 设 z=x+yi(x,y∈R),则由|z-i|≤ 2可得 x2+ y- 2≤ 2,即 x2

+(y-1)2≤2,它表示以点(0,1)为圆心, 2为半径的圆及其内部,所以 z 在复平面内所对

应的图形的面积为 2π .

【答案】 2π 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)计算:

(1)(

2+

2i)2(4+5i);(2)

2+2i -

2+???1+2i???2 . 016

【解】 (1)( 2+ 2i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)

=4i(4+5i)=-20+16i.

(2)

2+2i -

2+???1+2i???2016

=2-+22ii+???22i???1 008=i(1+i)+???1i???1 008
=-1+i+(-i)1 008=-1+i+1=i.

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 关 于 x , y 的 方 程 组

?? ? ??

x- +i=y- -y ,① x+ay - x-y+b =9-8i,②

有实数解,求实数 a,b 的值.

【解】 由①得?????2yx--31==1y,,

解得???x=52, ??y=4,

将 x,y 代入②得(5+4a)-(6+b)i=9-8i,

所以?????5-+4a= +9b,=-8,

所以 a=1,b=2. 19.(本小题满分 12 分)实数 k 为何值时,复数 z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i 是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0. 【解】 (1)当 k2-5k-6=0,即 k=6 或 k=-1 时,z 是实数. (2)当 k2-5k-6≠0,即 k≠6 且 k≠-1 时,z 是虚数. (3)当?????kk22--35kk--46=≠00,, 即 k=4 时,z 是纯虚数. (4)当?????kk22--35kk--46==00,, 即 k=-1 时,z 是 0. 20.(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足|z|= 2,z2 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z2,z-z2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 【解】 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi,由题意得 a2+b2=2 且 2ab =2,解得 a=b=1 或 a=b=-1,所以 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i,所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ ABC=1. 当 z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以 S△ABC=1. 21.(本小题满分 12 分)已知复数 z1= 5i,z2= 2- 3i,z3=2-i,z4=- 5在复平 面上对应的点分别是 A,B,C,D. (1)求证:A,B,C,D 四点共圆; (2)已知→AB=2 A→P,求点 P 对应的复数. 【解】 (1)证明:∵|z1|=|z2|=|z3|=|z4|= 5, 即|OA|=|OB|=|OC|=|OD|, ∴A,B,C,D 四点都在圆 x2+y2=5 上,即 A,B,C,D 四点共圆. (2)∵A(0, 5),B( 2,- 3), ∴A→B=( 2,- 3- 5). 设 P(x,y),则A→P=(x,y- 5), 若A→B=2 →AP,那么( 2,- 3- 5)=(2x,2y-2 5),
? 2=2x, ∴?
?- 3- 5=2y-2 5,

??x= 22,

解得? ??y=

5- 2

3 ,

∴点 P 对应的复数为 22+

5- 2

3i.

22.(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点,已知向量 O→Z 1,O→Z 2 分别对应复数 z1,z2, 且 z1=a+3 5+(10-a2)i,z2=1-2 a+(2a-5)i,a∈R.若 z 1+z2 可以与任意实数比较大小,

求 O→Z 1·O→Z 2 的值. 【解】 由题意,得 z 1=a+3 5-(10-a2)i,

则 z 1+z2=a+3 5-(10-a2)i+1-2 a+(2a-5)i

=???a+3 5+1-2 a???+(a2+2a-15)i.

因为 z 1+z2 可以与任意实数比较大小,

所以 z 1+z2 是实数, 所以 a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 又因为 a+5≠0,所以 a=3,所以 z1=38+i,z2=-1+i. 所以 O→Z 1=???38,1???,O→Z 2=(-1,1). 所以 O→Z 1·O→Z 2=38×(-1)+1×1=58.


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