高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修22_图文


新课标导学

数 学
选修2-2 ·人教A版

第三章

数系的扩充与复数的引入

3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算

1 2

自主预习学案

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

? 在研究复数的乘法时,我们注意到复数的形式就像一个二 项式,类比二项式乘二项式的法则,我们可以得到复数乘 法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘,再合并“同 类项”,即得到乘法的结果.

? 1.复数代数形式的乘法法则 ? 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+ ac- bd) + (= ad+ bc)i b(i)( c+ d i) ________________________ . ? 2.复数乘法的运算律 ? 对任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律 结合律 z2·z1 z1·z2=_____ (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) z1z2+z1z3 z1(z2+z3)=________

分配律

3.共轭复数 已知 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则

a=c且b=-d (1)z1,z2 互为共轭复数的充要条件是__________________ . a=c且b=-d≠0 . (2)z1,z2 互为共轭虚数的充要条件是__________________
4.复数代数形式的除法法则 a+bi ac+bd bc-ad (a+bi)÷ (c+di)= = 2 2 + 2 2 i(c+di≠0). c+di c +d c +d

1.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数 m 等于( B ) A.1 C. 2 B.-1 D.- 2

[ 解析]

∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i 是实数,m∈R,

∴由 a+bi(a、b∈R)是实数的充要条件是 b=0, 得 m3+1=0,即 m=-1.

- 2.已知- z 是 z 的共轭复数,若 z· z i+2=2z,则 z=( A ) A.1+i C.-1+i
[ 解析]

B.1-i D.-1-i

- 设 z=a+bi(a,b∈R),则- z =a-bi,代入 z· z i+2=2z 中得,(a+

bi)(a-bi)i+2=2(a+bi), ∴2+(a2+b2)i=2a+2bi, 由复数相等的条件得,
? ?2a=2, ? 2 2 ? a + b =2b, ? ? ?a=1, ∴? ? ?b=1.

∴z=1+i,故选 A.

? 3.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,则 z=( B ? A.2+i B.2-i ? C.1+2i D.1-2i
[ 解析] 解法 1:设 z=a+bi(a,b∈R),则 (1+2i)(a+bi)=(a-2b)+(2a+b)i, 由已知及复数相等的条件得,
? ?a-2b=4, ? ? ?2a+b=3, ? ?a=2, 解之得? ? ?b=-1,

)

故选 B.

4+3i ?4+3i??1-2i? 10-5i 解法 2:z= = = 5 =2-i,选 B. 1+2i ?1+2i??1-2i?

z 4.把复数 z 的共轭复数记作 z ,已知(1+2i) z =4+3i,求 z 及 . z
[ 解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,

由已知得:(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由复数相等的定义知,
? ?a+2b=4, ? ? ?2a-b=3.

得 a=2,b=1,

∴z=2+i. ?2+i?2 3+4i 3 4 z 2+i ∴ = = = 5 =5+5i. 2 - i ? 2 - i ?? 2 + i ? z

互动探究学案

命题方向1 ?复数代数形式的乘除法运算

? ? ? ? ?

典例 1

A (1)若复数z1=1+i,z2=3-i,则 z1·z2=(

) A.4+2i B.2+i 2 C.2+2i D.3 (2)设复数z(2-3i)=6+4i(其中i是虚数单位),则z的模为 ___. [思路分析] (1)利用乘法法则运算;

? (2)先求复数z,然后利用模长公式求解.

[ 解析]

(1)z1· z2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i2=4+2i.

6+4i ?6+4i??2+3i? (2)由 z(2-3i)=6+4i,得 z= = =2i, 2-3i ?2-3i??2+3i? ∴|z|=2.

? 『规律总结』 1.复数的乘法运算法则的记忆 ? 复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行 ,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简. ? 2.复数的除法运算法则的记忆 ? 复数除法一般先写成分式形式,再把分母实数化,即分子 分母同乘以分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需同 乘以i.

〔跟踪练习 1〕 z1 → → 如图,在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是OA,OB,则复数z 对应的
2

点位于( B )
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

?1+i?7 ?1-i?7 ?3-4i??2+2i?3 (2)计算: + - . 1-i 1+i 4+3i

[ 解析]

(1)由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,

z1 -2-i 所以z = i =-1+2i,对应的点在第二象限. 2
? 3 1 + i 1 - i 8 ? 3 - 4i ? 1 + i ? (2)原式=[(1+i)2] 3· +[(1-i)2] 3· - =(2i)3· i+(-2i)3· (-i) 1-i 1+i ?3-4i?i

8· 2i?1+i? - =8+8-16-16i=-16i. i

命题方向2 ?虚数单位的幂的周期性

? 计算i+i2+i3+…+i2016+i2018. 典例 2 ? [思路分析] 先计算i,i2,i3,i4的和,找出规律,再按照 规律求解. ? [解析] ∵i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,…… ? ∴i+i2+i3+i4=0,∴i+i2+i3+i4+…+i2018=i2017+i2018 =i-1.

『规律总结』

1.虚数单位 i 的周期性.

(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N).n 也可以推广到整数集. (2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N). 2.常用结论: 1-i 1+i (1)(1+i) =2i,(1-i) =-2i;(2) =-i, =i; 1+i 1-i
2 2

1 (3) i =-i.

? 〔跟踪练习2〕 ? 计算:1+2i+3i2+…+2017i2016
[ 解析] 设 S=1+2i+3i2+…+2017i2016 ∴iS=i+2i2+3i3+…+2017i2017 ∴(1-i)S=1+i+i2+…+i2016-2017i2017 =1-2017i 1-2017i ?1-2017i??1+i? ∴S= = 2 1-i =1009-1008i.

命题方向3 ?共轭复数
典例 3
3 A.-5i C.-i 2+i 复数 的共轭复数是( C ) 1-2i 3 B.5i D.i

[ 思路分析] -bi.

通过运算把复数写成 a+bi(a、b∈R 的形式),则其共轭复数为 a

[ 解析]

2+i 2i-1 1 依题意: = =- i =i, 1-2i ?1-2i?· i

∴其共轭复数为-i,选 C.

? 『规律总结』 1.由比较复杂的复数运算给出的复数, 求其共轭复数,可先按复数的四则运算法则进行运算,将 复数写成代数形式,再写出其共轭复数. ? 2.注意共轭复数的简单性质的运用.

〔跟踪练习 3〕 若复数 z 满足 2z+ z =3-2i 其中 i 为虚数单位,则 z=( B ) A.1+2i C.-1+2i B.1-2i D.-1-2i

[ 解析]

设 z=a+bi(a,b∈R),则- z =a-bi.故 2z+- z =2(a+bi)+a-bi=
? ?a=1 ,解得? ? ?b=-2

? ?3a=3 3a+bi=3-2i,所以? ? ?b=-2

,所以 z=1-2i.故选 B.

复数的综合应用

? 在有关复数运算的综合问题中,常与数列、不等式、三角 函数、函数、解析几何等内容结合在一起,要解决此类问 题常将复数设为x+yi(x,y∈R)的形式,利用有关条件及 复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点 的坐标或向量问题进行解决.

典例 4

x b 已知关于 x 的方程a+x=1,其中 a、b 为实数.

(1)若 x=1- 3i 是该方程的根,求 a、b 的值; b 1 (2)当 a>0 且a>4时,证明该方程没有实数根. x b [ 解析] (1)将 x=1- 3i 代入a+x=1,
1 b 3 3 化简得(a+4)+( 4 b- a )i=1, ?1 b ?a+4=1, ∴? ? 3b- 3=0, a ?4

解得 a=b=2.

(2)证明:原方程化为 x2-ax+ab=0, 假设原方程有实数解, 那么 Δ=(-a)2-4ab≥0,即 a2≥4ab. b 1 b 1 ∵a>0,∴a≤4,这与题设a>4相矛盾.故原方程无实数根.

『规律总结』

解与复数有关的方程的根问题时,一般方法是将方程的根

设出,代入方程,然后利用复数相等的充要条件求解.

〔跟踪练习 4〕 4 - 若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限,|z|=5, z 对应点在直线 y=3x 上,

-3+4i . 则 z=__________ 4 - [ 分析] 利用 z 对应点在直线 y=3x 上可设出 z 或- z ,再利用|z|=5 可列方程
求解,最后由 z 的对应点在第二象限决定取舍. [ 解析] 设- z =3t+4ti(t∈R),
则 z=3t-4ti, ∵|z|=5,∴9t2+16t2=25,∴t2=1, ∵z 的对应点在第二象限,∴t<0, ∴t=-1,∴z=-3+4i.

混淆复数集与实数集中运算性质的差别

?

典例 5
[ 错解]

解方程|x|=2+x-2i.

方程两边平方,得:x2=4+x2-4+4x-8i-4xi,

2i 即 4(1-i)x=8i,所以 x= =-1+i. 1-i
[ 辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式|z|2=z2.

[ 正解]

设 x=a+bi(a,b∈R),则 a2+b2=2+a+bi-2i=(2+a)+(b-2)i
? ?a=0, 解得? ? ?b=2.

2 2 ? ? a +b =2+a, 由复数相等可得? ? ?b-2=0.

所以方程的解为 x=2i.

[ 点评]

注意数域扩展后,原来实数集中成立的关系,在复数集中有些已经不

再成立,如|a|2=a2,a2≥0,a>b?a+c>b+c 等等.解题时要审慎对待,避免失误.

1.对于非零复数 a,b,以下有四个命题 1 ①a+a≠0. ②(a+b)2=a2+2ab+b2. ③若|a|=|b|,则 a=± b. ④若 a2=ab,则 a=b.则一定为真的有( A ) A.②④ C.①② B.①③ D.③④

[ 解析]

1 对于①,取 a=-i,则 a+a=0,①不正确;

对于②,对于任意复数 a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2,②正确; 对于③,取 a=1,b=i,|a|=|b|,但 a≠± b,③错误; 对于④,由 a2=ab 及 a≠0,得 a=b,命题④正确. ∴正确的命题是②④,故选 A.

a+3i 2.若复数 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( C ) 1+2i A.-2 C.-6
[ 解析] a=-6.

B.4 D.6
? ?a+6=0, a+3i ?a+3i??1-2i? a+6+?3-2a?i ? ∵ = = 为纯虚数, ∴ ∴ 5 ? 1+2i ?1+2i??1-2i? ?3-2a≠0.

1+z 3.设复数 z 满足 =i,则|z|=( A ) 1-z A.1 C. 3 B. 2 D.2

[ 解析]

1+z -1+i ?-1+i??1-i? 由 =i 得,z= = =i, 1-z 1+i ?1+i??1-i?

故|z|=1,故选 A.

2+ai 4.计算:(1)若 =- 2i,求实数 a 的值. 1+ 2i 2i (2)若复数 z= ,求| z +3i|. 1-i
[ 解析] (1)依题意,得 2+ai=- 2i(1+ 2i)=2- 2i,

∴a=- 2. 2i?1+i? 2i (2)∵z= = =i(1+i)=-1+i, 1-i ?1-i??1+i? ∴ z =-1-i,∴ z +3i=-1+2i, 故| z +3i|=|-1+2i|= 5.


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