18版高中数学第一章立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学业分层测评新人教B版必修2


1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列命题中,真命题的个数是( ) ①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个; ②圆柱的所有平行于底面的截 面都是圆面;③圆台的两个底面可以不平行. A.0 C.2 B.1 D.3 【解析】 ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于 90°时,其面积不是最大的;③圆台 的两个底面一定平行,故①③错误. 【答案】 B 2.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴, 其他两边旋转一周所得到的几何体是( A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 【解析】 如图,以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底 的小圆锥. 【答案】 D 3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,这个几何体不可 能是( ) B.圆柱 D.棱柱 ) A.圆锥 C.球 【解析】 用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面,但截棱柱一定不会产生圆 面. 【答案】 D 4.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体(如图 1?1?40 所示),其结构特征 是( ) 图 1?1?40 1 A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 【解析】 一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选 B. 【答案】 B 5.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图 1?1?41 所示,则截面可能的图形 是( ) 图 1?1?41 A.①③ C.①②③ B.②④ D.②③④ 【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③, 当截面过正方体的体对角线时得②, 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④. 【答案】 C 二、填空题 6.如图 1?1?42 是一个几何体的表面展开图形,则这个几何体是________. 图 1?1?42 【解析】 一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱. 【答案】 圆柱 7. 直 角 梯 形 绕 其 较 长 底 边 所 在 直 线 旋 转 一 周 , 所 得 旋 转 体 的 结 构 特 征 是 ________________. 【解析】 由旋转体的定义知,该几何体为一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体. 【答案】 一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体 8.一个圆锥的母线长为 20 cm,母线与轴的夹角为 30°,则圆锥的高为________cm. 【解析】 如图是圆锥的轴截面, 则 SA=20 cm,∠ASO=30°, ∴AO=10 cm,SO=10 3 cm. 2 【答案】 10 3 三、解答题 9.指出如图 1?1?43①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的. 图 1?1?43 【解】 图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体. 图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体. 10.一个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4π cm 和 25π cm .求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD(如图所示). 2 2 由已知可得上底半径 O1A=2(cm), 下底半径 OB=5(cm),又因为腰长为 12 cm, 所以高 AM= 12 - 2 - 2 =3 15(cm). (2)如图所示,延长 BA,OO1,CD,交于点 S,设截得此圆台的圆锥的母线长为 l,则由 △SAO1∽△SBO 可得 l-12 2 = ,解得 l=20(cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm. l 5 [能力提升] 1.下列判断中正确的个数是( ) ①圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的; ②球面和球是同一个概念; ③经过球面上不同的两点只能作一个球大圆. A.1 C.3 B.2 D.0 【解析】 ①正确;球面和球是两个不同的概念,②错误;若球面上不同的两点恰好为 球的直径的端点,则过此两点的球大圆有无数个,故③错误. 【答案】 A 2.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧,且距离为 3 1,那么这个球的半径是( A.4 C.2 ) B.3 D.0.5 【解析】 如图所示,∵两个平行截面的面积分别为 5π 、8π ,∴两个截面圆的半径 分别为 r1= 5,r2=2 2. ∵球心到两个截面的距离 d1= R -r1,d2= R -r2, ∴d1-d2= R -5- R -8=1,∴R =9,∴R=3. 【答案】 B 3.在如图 1?1?44 所示的斜截圆柱中, 已知圆柱底面的直径为 40 cm, 母线长最短 50 cm、 最长 80 cm,则斜截圆柱侧面面积 S=________cm . 2 2 2 2 2 2 2 2 图 1?1?44 1 2 【解析】 将侧面展开可得 S= (50+80)×40π =2 600π (cm ). 2 【答案】 2 600π 4.一个圆锥的底面半径为 2 cm,高为 6 cm,在圆锥内部有一个高为 x cm 的内接圆柱. (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S; (2)当 x 为何值时,S 最大? r 6-x 6-x 【解】 (1)如图, 设圆柱的底面半径为 r cm, 则由 = , 得 r= , 2 6 3 2 2 ∴S=- x +4x(0<x<6). 3 2 2 2 2 (2)由 S=- x +4x=- (x-3) +6, 3 3 ∴当 x=3 时,Smax=6 cm . 2 4

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