例谈基本不等式应用的若干应用技巧


例说应用基本不等式的若干技巧
1、求下列函数的值域 (1)y=3x 2 + 2、求最值: (1) 、若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是 (2) 、若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求 . 1 2x 2 (2)y=x+ 1 x (3) y ?

x(1 ? x)

(0 ? x ? 1)

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
y2 =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2

2、已知 x,y 为正实数,且 x 2+

技巧二:凑系数 1、当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 2、设 0 ? x ? 3、 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

2 ,求函数 y ? x(2 ? 3 x) 的最大值. 3

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1 技巧四:换元 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例、 求 y ? x ?1
技巧五:若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ?

a 的单调性。 x

1、求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2、求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) y ?

1 1 x 2 ? 3x ? 1 , x ? (0, ? ) , x ? 3 (3) y ? 2sin x ? , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? sin x x x ?3
1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

技巧六:整体代换 1、已知 x ? 0, y ? 0 ,且

2、若 x, y ? R 且 2 x ?

?

y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值 x y

? 3、已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x ? x y

y 的最小值
1 的最小值. ab

4、已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 技巧七:取平方

1、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. 2、 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 2 2

应用二:利用基本不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例 6:已知 a、b、c? R ? ,且 a ? b ? c ? 1。求证: ? 应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y
1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

.


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