2015湖北高三数学(理)一轮复习课件6.2《等差数列》_图文


第2 讲

等差数列

考纲考向

考纲展示 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式 与前 n 项和公式. 3.了解等差数列与一次函数 的关系.

命题分析 等差数列知识在高考中属必考内容,通常直接考 查等差数列的通项公式、等差数列的性质、前 n 项和公式,尤其是等差数列性质的应用为高考 的必考内容.题目常以选择题、填空题形式出 现,多为容易题,而与其他知识(函数、不等式、 解析几何等)相结合的综合题一般为解答题,难 易程度为中档题.

考点基础

基础梳理

1-3

4-5

6-7

8

1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差是同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表 示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果 A 是 a 与 b 的等差中项,则 A=
+ . 2

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考点基础

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4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 md 的等差 数列. 5.等差数列的前 n 项和公式
已知条件 a1,an,n a1,d,n 前 n 项和公式 Sn=
n(a1 +an ) 2 n(n-1) 2

Sn=na1+

d

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考点基础

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2

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8

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n= n2+ 1 常数). 7.等差数列前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在 最小值.
2

n.

数列{an}为等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn=An2+Bn(A,B 为

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8.等差数列与等差数列各项的和的有关性质 (1)若{an}是等差数列,则 差是{an}公差的 . (2)若 Sm,S2m,S3m 分别为等差数列{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和, 则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. (3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质. ①若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=nd,
奇 偶 1 2

也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公

=

. +1 奇 偶

②若项数为 2n-1,则 S 偶=(n-1)an,S 奇=nan,S 奇-S 偶=an, (4)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和

=

. -1

Sn,Tn 之间的关系为

=

2-1 2-1

.

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温馨提示
连续三个数成等差数列的通常设法是设其为 a-d,a,a+d.

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5

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3-4

5

3.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( A.4 B.5 C.6 答案:C 解析:∵a2+a8=2a5=12,∴a5=6.

) D.7

4.下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列


是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. ).

其中的真命题为(

A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 答案:D 解析:如数列-2,-1,0,1,2,…,则 1×a1=2×a2,排除 p2,如数列 1,2,3,…,则 =1,排


除 p3,故选 D.
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5.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 ( ) B.170 C.210 D.260 A.130 答案:C

解析:方法一:依据题设和前 n 项和公式有

②-①,得 ma1+ 故

(3-1) d=70. 2 3(3-1) S3m=3ma1+ d=3 1 2

(-1) 1 + d = 30, 2 2(2-1) 21 + d = 100,② 2
+
(3-1) d 2



=210.

方法二:∵ 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列, ∴ 30,70,S3m-100 成等差数列.故 2×70=30+S3m-100,即 S3m=210.
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重点难点

题型一

等差数列的定义及证明

例1

特别提醒

迁移训练1

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2),a1= . (1)求证:
1

1 2

是等差数列;

(2)求 an 的表达式. 思路分析: (1)将 an 与 Sn 的关系先转化为 an=Sn-Sn-1,然后利用定义证明. (2)先求 Sn,再求 an.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

等差数列的定义及证明

例1

特别提醒

迁移训练1

(1)证明:∵ an=Sn-Sn-1(n≥2), 又 an=-2Sn·Sn-1,∴ Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0.因此 故由等差数列的定义知 (2)解:由(1)知
1 1

1

?

1 -1

=2(n≥2).

是以

1 1

=

1 =2 为首项,2 为公差的等差数列. 1

=

1 +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,即 1 1 , 2(-1)

Sn= .

1 2

由于当 n≥2 时,有 an=-2Sn·Sn-1=1 ,n = 1, 2 1 ,n ≥ 2(-1)

又∵ a1= ,∴ a n=

1 2

2.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

等差数列的定义及证明

例1

特别提醒

迁移训练1

(1) 判定或证明 {an}为等差数列的方法 : ①用定义证明 : an-an-1=d( d 为常数 , n≥2)?{an}为等差数列 ; ②用等差中项证明 : 2an+1=an+an+2?{an}为等差数列; ③通项法 : an为 n 的一次函数 ?{an}为等差数列 ; 2 ④前 n 项和法 : Sn=An +Bn. (2) 用定义证明等差数列时, 常采用的两个式子是 an+1-an=d 和 an-an-1=d, 但它 们的意义不同 , 后者必须加上“ n≥2” , 否则 n=1 时 , a0无定义 .

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型一

等差数列的定义及证明

例1

特别提醒

迁移训练1

在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; (2)设 bn=
+3 * (n∈N ),证明:{bn}是等差数列. 2

(1)解:∵ a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*), ∴ a2=2a1+22+3=1,a3=2a2+23+3=13. (2)证明:对于任意 n∈N*, ∵ bn+1-bn=
+1 +3 2
+1

?

+3 2

=

2

+1 [(an+1-2an)-3]=

1

2

+1 [(2

1

n+1

+3)-3]=1,

∴ 数列{bn}是首项为

1 +3 2

=

-3+3 =0,公差为 2

1 的等差数列.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

等差数列基本量的计算

例2

点拨提示

迁移训练2

已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 思路分析:等差数列基本量的计算,基本思想就是根据条件列方程,求 等差数列的首项与公差. 解:(1)设{an}的公差为 d.
2 由题意,11 =a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2.故 an=-2n+27.

(2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n.
2 2

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

等差数列基本量的计算

例2

点拨提示

迁移训练2

(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中 三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

等差数列基本量的计算

例2

点拨提示

迁移训练2

设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. 解:(1)由题意知 S6=
-15 =-3,a6=S6-S5=-8. 5

51 + 10d = 5, 于是 1 + 5d = -8, 解得 a1=7.故 S6=-3,a1=7.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型二

等差数列基本量的计算

例2

点拨提示

迁移训练2

(2)方法一:∵ S5S6+15=0,
2 ∴ (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 21 +9da1+10d2+1=0.

∵ 关于 a1 的一元二次方程有解, ∴ Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0, 解得 d≤-2 2或 d≥2 2. 方法二:∵ S5S6+15=0, 2 ∴ (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 21 +9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 因此应有 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型三

等差数列的性质及运用

例3

迁移训练3

(1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知其前 6 项和为 36,Sn=324,最后 6 项的和为 180(n>6),求该数列的项数 n 及 a9+a10; (2)等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且


=

3-1 ,求 8 的值. 2+3 8

思路分析: (1)可利用前 6 项与后 6 项的和及等差数列的性质求出 a1+an 的值,然后利用前 n 项和公式求出项数 n. (2)可利用中项公式求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型三

等差数列的性质及运用

例3

迁移训练3

解:(1)由题意可知 a1+a2+…+a6=36,① an+an-1+an-2+…+an-5=180,② ①+②得, (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,于是 a1+an=36. 又 Sn=
(1 + ) =324,∴ 18n=324, 2

即 n=18.从而可得 a1+a18=36.故 a9+a10=a1+a18=36. (2)∵ = ∵ S15=
8 3-1 15 ,∴ 2+3 15

=

3×15-1 2×15+3

=

44 33

= .

4 3

15(1 +15 ) 15(1 +15 ) =15a8,T15= =15b8, 2 2 158 158

∴8 =

=

15 15

= .
题型三 题型四 解题策略

4 3

题型一

题型二

重点难点

题型三

等差数列的性质及运用

例3

迁移训练3

(1)设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2(n∈N*),则 a1+a2+…+a17= . (2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和 等于 . 答案:(1)153 (2)180 解析:(1)∵ an+1-an=2, ∴ {an}为等差数列.∴ an=-7+(n-1)·2,∴ a17=-7+16×2=25, S17=
(1 +17 )×17 2

=

(-7+25)×17 =153. 2 1 +20 ×20 2

(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78 ? (a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54? a1+a20=18? S20= = ×20=180.
题型一 题型二 题型三 题型四 解题策略

18 2

重点难点

题型四

等差数列前n项和的综合问题

例4

迁移训练4

(12 分)在公差为 d 的等差数列 {an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数 列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 【规范解答】 解 :(1)由题意得 5a3·a1=(2a2+2)2,(2 分) 即 d -3d-4=0. 故 d=-1 或 d=4.(4 分) 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*.(6 分)
2

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

等差数列前n项和的综合问题

例4

迁移训练4

(2)设数列 {an}的前 n 项和为 Sn,因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11.则当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- n2+ n.(8 分) 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11= n - n+110. 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|(11 分) = 1
2 1 2 21 2 2 1 2 21 2

- 2 + 2 21

1 2

21 n,n 2

≤ 11,

2

n + 110,n ≥ 12.

(12 分)

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

等差数列前n项和的综合问题

例4

迁移训练4

(1)在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何 值时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和. 解:方法一:∵ a1=20,S10=S15, ∴ 10×20+
10×9 15×14 d=15×20+ d.故 2 2 5 3 5 3

d=- .

5 3

于是 an=20+(n-1)× -

=- n+ .

因此 a13=0,即当 n≤12 时,an>0,n≥14 时,an<0. 故当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值, 且最大值为 S13=S12=12×20+
12×11 × 2

65 3

-

5 3

=130.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

等差数列前n项和的综合问题
5 3

例4

迁移训练4

方法二:同方法一求得 d=- .
(-1) · 2 5 25 2 3 125 =- + . 6 2 24

于是 Sn=20n+

-

5 3

=- n2+

5 6

125 n 6

∵ n∈N*,∴ 当 n=12 或 n=13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 方法三:同方法一得 d=- . 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. 从而可得 5a13=0,即 a13=0. 故当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值, 且最大值为 S12=S13=130.
5 3

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

等差数列前n项和的综合问题

例4

迁移训练4

(2)∵ an=4n-25,an+1=4(n+1)-25, ∴ an+1-an=4=d. 又 a1=4×1-25=-21, ∴ 数列{an}是以-21 为首项,4 为公差的递增的等差数列. = 4n-25 < 0,① 令 +1 = 4(n + 1)-25 ≥ 0,② 由①得 n<6 ;由②得 n≥5 . 因此 n=6. 即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首项,公差为-4 的等差数列,从第 7 项 起以后各项构成公差为 4 的等差数列,
1 4 1 4

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

题型四

等差数列前n项和的综合问题

例4

迁移训练4

而|a7|=a7=4×7-25=3, 设数列{|an|}的前 n 项和为 Tn, 则 Tn=
(-1) × (-4),n ≤ 6, 2 (-6)(-7) 66 + 3(-6) + × 4,n ≥ 2

21 +

7

-22 + 23n,n ≤ 6, = 22 -23n + 132,n ≥ 7,

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

等差数列解题中的整体思想

设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n(m>n),求它的前 m+n 项的和 Sm+n. 思维启迪:(1)Sm+n=a1(m+n)+ 只要求出 a1+
+-1 d 2 (+-1)(+) d=(m+n) 2

1 +

+-1 d 2

,这样

即可.(2)由 Sn,Sm 可以构造出 a1+

+-1 d,并求出. 2

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

等差数列解题中的整体思想

解:方法一:设数列{an}的公差为 d, 则由 Sn=m,Sm=n,
(-1) d = n. ② 2 (-)(+-1) ②-①,得(m-n)a1+ d=n-m, 2 +-1 ∵ m>n,∴ a1+ d=-1. 2



= n1 +

(-1) d 2

= m,



= m1 +

故 Sm+n=(m+n)a1+ =(m+n)

(+)(+-1) d 2 +-1 1 + d =-(m+n). 2

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

等差数列解题中的整体思想

方法二:设 Sn=An2+Bn(n∈N*), 2 + Bm = n, 则 2 + Bn = m.④ ③-④,得 A(m2-n2)+B(m-n)=n-m. ∵ m≠n, ∴ A(m+n)+B=-1. 于是 A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n). 故 Sm+n=-(m+n). ③

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

重点难点

等差数列解题中的整体思想

特别提醒
(1)本题的两种解法都突出了整体思想,其中方法一把 a1+
+-1 d 看成了一 2

个整体,方法二把 A(m+n)+B 看成了一个整体,解起来都很方便. (2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧.这就要求学生要掌握公式,理 解其结构特征.

题型一

题型二

题型三

题型四

解题策略

随堂演练
1-2 3 4-5

1.若{an}是等差数列,则下列数列中一定为等差数列的个数为( ①{an+3} A.1
2 ②{ }

)

③{an+1-an} B.2

④{2an} C.3

⑤{2an+n} D.4

答案:D 解析:{an}为等差数列,则由其定义可知①,③,④,⑤仍然是等差数列. 2.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a2+a10=4,则 S11 的值为( A.12 答案:C 解析:由题意可知 S11=
11(1+11 ) 11(2 +10 ) = 2 2

)

B.18

C.22

D.44
11×4 =22,应选 2

=

C.

随堂演练
1-2 3 4-5

3.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:方法一:设等差数列{an}的公差为 d, 21 + 4d = 10, = 1, 由题意得 解得 1 ∴ d=2. 1 + 3d = 7. = 2. 方法二:∵ 在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10, ∴ a3=5.又 a4=7,∴ 公差 d=7-5=2.

)

随堂演练
1-2 3 4-5

4.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S20-2S10 等 于( A.40 答案:C 解析:S20-2S10= ) B.200 C.400 D.20

又 a10=a2+8d,∴ 33=1+8d.∴ d=4. ∴ S20-2S10=400.

20(1+20 ) 10( + ) -2× 1 10 =10(a20-a10)=100d, 2 2

5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6= 答案:13

.

解析:设等差数列{an}的公差为 d, 1 + 2d = 7, = 3, 则由已知,得 解得 1 1 + 4d = 1 + d + 6, = 2. 所以 a6=a1+5d=13.


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2015湖北高三数学(理)一轮复习课件2.5《对数与对数函数》
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2015湖北高三数学(理)一轮复习课件7.2《不等式的解法》
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