2018版高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6.3二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题模拟演练课件文_图文


板块四 模拟演练· 提能增分

[A 级

基础达标] (时间:40 分钟)

?2x-y≤0, ? 1.[2016· 北京高考] 若 x,y 满足?x+y≤3, ? ?x≥0,

则 2x+ y

的最大值为( A.0 C.4

) B.3 D.5

解析

画出可行域, 如图中阴影部分所示, 令 z=2x+y,

则 y=-2x+z,当直线 y=-2x+z 过点 A(1,2)时,z 最大, zmax=4.故选 C.

?2x-y+1>0, ? 2.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0

表示的平

面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范 围是( )
? 1? ? B.?-∞,3? ? ? ? ? 5? ? D.?-∞,-3? ? ? ? ? 4? ? A.?-∞,3? ? ? ? ? 2? ? C.?-∞,-3? ? ? ?

解析

图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含 y

1 1 =2x-1 上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在 y=2x 1 2 -1 下方,也就是 m<-2m-1,即 m<-3.故选 C.

?y≥x, ? 3.已知 z=2x+y,x,y 满足?x+y≤2, ? ?x≥m,

且 z 的最大

值是最小值的 4 倍,则 m 的值是( 1 A.7 1 B.6 1 C.5 1 D.4

)

解析

画出线性约束条件 的可行域,如图阴影部分所示.由可行域

?y≥x, ? ?x+y≤2, ? ?x≥m

知:目标函数 z=2x+y 过点(m,m)时有最小值,zmin=3m; 过点(1,1)时有最大值,zmax=3,因为 z 的最大值是最小值的 1 4 倍,所以 3=12m,即 m=4.

4.[2017· 江西模拟] 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植 面积不超过 50 亩, 投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜 和韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润 (总利润=总销售收入-总种植 成本 ) 最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积 ( 单位:亩 ) 分别为 ( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

解析

设种植黄瓜 x 亩,种植韭菜 y 亩,因此,原问题

转化为在条件
?x+y≤50, ? ?1.2x+0.9y≤54, ? ?x≥0, ? ?y≥0

下,

求 z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x-0.9y=x+0.9y 的最大 值.画出可行域如图.利用线性规划知识可知,当 x,y 取
?x+y=50, ? ?1.2x+0.9y=54

的交点(30,20)时,z 取得最大值.故选 B.

?y≥-1, ? 5.变量 x,y 满足约束条件?x-y≥2, ? ?3x+y≤14,

若使 z=ax

+y 取得最大值的最优解有无穷多个,则实数 a 的取值集合 是( ) A.{-3,0} B.{3,-1} C.{0,1} D.{-3,0,1}

解析

作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易

知直线 z=ax+y 与 x-y=2 或 3x+y=14 平行时取得最大值 的最优解有无穷多个,即-a=1 或-a=-3, ∴a=-1 或 a=3.

?x+y-2≥0, ? 6 . [2014· 安徽高考 ] 不等式组 ?x+2y-4≤0, ? ?x+3y-2≥0

表示的

4 平面区域的面积为________ .

解析

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分

1 所示,可知 S△ABC=2×2×(2+2)=4.

7 . [2017· 厦门模拟] 设变量 x,y 满足约束条件
?x+y-2≥0, ? ?x-y-2≤0, ? ?y≥1,

则 目 标 函 数 z = x + 2y 的 最 小 值 为

3 ________ .

解析

画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分).

1 1 1 由 z=x+2y,得 y=-2x+2z,作直线 l:y=-2x,平 移 l,由图形可知当 l 经过可行域中的点 A(1,1)时,z 取最 小值,所以 zmin=1+2×1=3.

?x-y≤10, ? 8. [2017· 辽宁模拟] 设变量 x, y 满足?0≤x+y≤20, ? ?0≤y≤15,



55 2x+3y 的最大值为________ .

解析

不等式组表示的区域如图所示,令 z=2x+3y,

2 z 目标函数变为 y=-3x+3,因此截距越大,z 的取值越大,
?x+y=20, 故当直线 z=2x+3y 经过点 A 时, z 最大, 由于? ?y=15 ?x=5, ?? ?y=15,

故点 A 的坐标为(5,15),代入 z=2x+3y,得到

zmax=55,即 2x+3y 的最大值为 55.

?x≥0, ? 9.当 x,y 满足约束条件?y≤x, ? ?2x+y+k≤0,

(k 为负常数)时,能使 z=x+3y 的最大值为 12,试求 k 的值. 解
在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面

区域(如图所示).

1 1 当直线 y=-3x+3z 经过区域中的点 A 时,截距最大. ?y=x, 由? ?2x+y+k=0, k 得 x=y=-3. ? k k? ? ∴点 A 的坐标为?-3,-3? ?, ? ? ? k? 4 k ? ? 则 z 的最大值为-3+3?-3?=-3k, ? ? 4k 令- 3 =12,得 k=-9. ∴所求实数 k 的值为-9.

?x-4y+3≤0, ? 10.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1.

y (1)设 z=x,求 z 的最小值; (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.



由约束条件

?x-4y+3≤0, ? ?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1

作出(x,y)的可行域如图所示.

?x=1, 由? ?3x+5y-25=0,

解得

? 22? ? A?1, 5 ? ?. ? ?

?x=1, 由? ?x-4y+3=0,

解得 C(1,1). 解得 B(5,2).

?x-4y+3=0, 由? ?3x+5y-25=0,

y y-0 (1)因为 z=x= ,所以 z 的值即是可行域中的点与原 x-0 点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB=5. (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距 离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29,所以 2≤z≤29.

(3)z = x2 + y2 + 6x - 4y + 13 = (x + 3)2 + (y - 2)2 的几何意 义是可行域上的点到点 ( - 3,2) 的距离的平方.结合图形可 知,可行域上的点到 (-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4, dmax= ?-3-5?2+?2-2?2=8.所以 16≤z≤64.

[B 级

知能提升] (时间:20 分钟)

?x≥2, ? 11.设 x,y 满足约束条件?3x-y≥1, ? ?y≥x+1,

则下列不等式

恒成立的是( A.x≥3

) B.y≥4 D.2x-y+1≥0

C.x+2y-8≥0

解析

不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所

示.由图象可知 x≥2,y≥3,A、B 错误;点(3,8)在可行域 1 内,但不满足 2x-y+1≥0,D 错误;设 z=x+2y,y=-2x 1 +2z,由图象可知当其经过点(2,3)时,z 取得最小值 8.

?2x+y≥2, ? 12 . [2017· 太原模拟 ] 设不等式组 ?x-2y≥-4, ? ?3x-y≤3

所表

示的平面区域为 M,若函数 y=k(x+1)+1 的图象经过区域 M,则实数 k 的取值范围是( A.[3,5] B.[ -1,1] ) C.[ -1,3]
? ? 1 ? D.?-2,1? ? ? ?

解析

画出不等式组 , 所表示的平面区域 M, 如图中阴影部分

?2x+y≥2, ? ?x-2y≥-4 ? ?3x-y≤3

所示, 函数 y=k(x+1)+1 的图象表示一条经过定点 P(-1,1) 的直线, 当直线经过区域 M 内的点 A(0,2)时斜率最大, 为 1, 1 当直线经过区域 M 内的点 B(1,0)时斜率最小,为-2,故实 数k
? ? 1 ? 的取值范围是?-2,1? ?,选 ? ?

D.

?|x|+|y|≤1, 13.[2017· 山西质检] 若变量 x,y 满足? ?xy≥0,



[ -2,2] . 2x+y 的取值范围为________

解析

作出满足不等式组的平面区域, 如图中阴影部分

所示,平移直线 2x+y=0,经过点(1,0)时,2x+y 取得最大 值 2×1+0=2,经过点(-1,0)时,2x+y 取得最小值 2×(- 1)+0=-2,所以 2x+y 的取值范围为[ -2,2] .

14. [2016· 天津高考] 某化肥厂生产甲、 乙两种混合肥料, 需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料 甲 乙 A 4 5 B 8 5 C 3 10

现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨, 在此基础上生产甲、 乙两种肥料. 已知生产 1 车皮甲种 肥料, 产生的利润为 2 万元; 生产 1 车皮乙种肥料, 产生的 利润为 3 万元.分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料 的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相 应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生 最大的利润?并求出此最大利润.



(1)由已知,x,y 满足的数学关系式为

?4x+5y≤200, ? ?8x+5y≤360, ? ?3x+10y≤300, ? ?x≥0, ?y≥0. ?

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影 部分:

(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y.

2 z 考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=-3x+3,这是斜率为 2 z -3,随 z 变化的一族平行直线.3为直线在 y 轴上的截距,当 z 3取最大值时,z 的值最大.又因为 x,y 满足约束条件,所 以由图 2 可知,当直线 z=2x+3y 经过可行域上的点 M 时, z 截距3最大,即 z 最大.

?4x+5y=200, 解方程组? ?3x+10y=300,

得点 M 的坐标为(20,24).

所以 zmax=2×20+3×24=112. 答:生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最 大,且最大利润为 112 万元.


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