江西省景德镇市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(15班)试题Word版缺答案


2016-2017 学年第一学期期中考试高二(15)班数学试卷

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

1.已知复数 a ? 3i 是纯虚数,则实数 a ? ( ) 1? 2i

A. ?2

B. 4

C. ?6

D. 6

2.已知命题 P:函数 y ? sin ? x 在 x ? a 处取到最大值;命题 q:直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 2

(x ? 3)2 ? ( y ? a)2 ? 8 相切;则 p 是 q 的(



A.充分不必要条件 B.不要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.

已知函数

y

?

1 x

与x

? 1, y 轴和 x

? e 所围成的图形的面积为

M,N= tan 22.5? ,则程 1? tan2 22.5?

序框图输出的 S 为( )

A. 1

B. 2

C. 1

D. 0

2

4. 某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现

要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽

样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、

三年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机

编号 1,2,…, 270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四

种情况:

①5,9,100,107,111,121,180,195,200,265,

②7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;

③30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;

④11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;

关于上述样本的下列结论中,正确的是(

)

A.②、④都可能为分层抽样

B.①、③都不能为分层抽样

C.①、④都可能为系统抽样

D.②、③都不能为系统抽样

5.函数 f (x) ? ?x ? log 2 x 的零点所在区间为(



A.

? ??

1 4

?

1 2

? ??

B.

? ??

1 8

?

1 4

? ??

C.

???0?

1 8

? ??

D.

? ??

1 2

?1???

6. 要得到函数 f (x) ? cos(2x ? ? ) 的图像,只需将函数 g(x) ? sin(2x ? ? ) 的图像

3

3

A.向左平移 ? 个单位长度 2

B.向右平移 ? 个单位长度 2

C.向左平移 ? 个单位长度 4

D.向右平移 ? 个单位长度 4

7.已知数列{an } 的前 n 项和为 S n ,若 nSn ? (n ? 2)an ? 4n ,则下列说法正确的是( )

A. 数列{an } 是以 1 为首项的等比数列

B.

数列{an } 的通项公式为 an

?

n ?1 2n

C.数列{an } 是等比数列,且公比为 1

n

2

D. 数列{Sn } 是等比数列,且公比为 1

n

2

8.若点 P(x,, y) 的坐标满足 ln 1 ? x ?1 ,则点 P 的轨迹图像大致是(



y

9. 四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上, AB ? 平面 BCD , BCD 是边长为 3 的等边

三角形,若 AB ? 2 ,则球 O 的表面积为(



A. 4?

B. 12?

C. 16?

D. 32?

10.

函数

f

(x)

?

??2x3 ? ??

? 3x2 ?1, (x ear , (x ? 0)

?

0)

在 [?2, 2] 上的最大值为

2,则

a

的取值范围是(



A. [1 ln 2,? ?] 2

B. [0, 1 ln 2] 2

C. (??,0)

D. [??, 1 ln 2] 2

11.已知函数 f (x) 的定义域为 R,且 x3 f (x) ? x3 f (?x) ? 0 ,若对任意 x ?[0,??) ,都有

3xf (x) ? x2 f ?(x) ? 2 ,则不等式 x3 f (x) ? 8 f (2) ? x2 ? 4 的解集为(



A. ( -2,2 )

B. (??,?2) ? (2,??)

C.(-4,4)

D.

(??,?4) ? (4,??)
12.在平面直角坐标系中,点 P 是直线 ? : x ? ? 1 上一动 2
点,定点 F ( 1 ,0) ,点 Q 为 PF 的中点,动点 M 满足 2
MQ? PF ? 0、MP ? ?OF ( ? ? R ), 过 点 M 作 圆

(x - 3)2 ? y 2 ? 2 的切线,切点分别为 S、T,则 MS ? MT

的最小值是( )

A. 3

B. 35

C. 10

5

9

3

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

D. ? 1 3

? ? ? 13.

4 ?4

16 ? x2 dx ?

?

2 ??

x3dx

?

2

21 ( ? x)dx ? 1x

.

? ? 14.在区间 ?1,3 上随机取一个数x,则 x ? 2 的概率为

.

15.已知函数 f (x) ? 2sin(?x ??)(? ? 0, ? ? ? ) 的部分图像如下,且 A (? ,1) ,B (? ,?1) ,则
2

??

.

16. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上,

若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为

.

三、解答题(共 70 分)

17.(10 分)已知等比数列{an } 中, a2 ? 2, a2 , a3 ? 1, a4 成等差数列,数列{bn } 的前 n 项和

为 S n , S n ? n 2 ? n .(1)求数列{an } 的通项公式;

(2)求数列{an

?

4 } 的前 bn bn ?1

n

项和.

18.(12 分)在△ABC 中, sin 2 B ? sin Asin C .

(1)若 1 , 3 , 1 成等差数列,求 cosB 的值; tan A 3 tan C
(2)若 BC ? 4 ,求△ABC 面积的最大值. sin A
19.(12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 , Q 是 AD 的中点. (1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2)若平面 APD ? 平面 ABCD ,且 PA ? PD ? AD ? 2 ,在线段 PC 上是 否存在点 M ,使二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60 ,若存在,试确定点 M 的位置,若不存在,请说明理由。

? x?4

20.

(12

分)设不等式组

? ?

y?0

所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内整点的个数为 an(横

?? y ? nx(n ? N ? )

纵坐标均为整数的点称为整点). (1) n ? 2 时,先在平面直角坐标系中作出区域 D2 ,再求 a2 的值;
(2)求数列?an? 的通项公式;

(3)记 数 列 ?an? 的 前 n 项 的 和 为 Sn , 试 证 明 : 对 任 意 n ? N? 恒 有

S1 ? S2 ? ?

Sn

? 5 成立。

22 S2 32 S3

(n ?1)2 Sn?1 12

21. (12 分)已知定圆:(x ? 3)2 ? y2 ? 16 ,动圆 N 过点 F( 3, 0) 且与圆 M 相切,记圆心 N 的 轨迹为 E . (1)求轨迹 E 的方程;

(2)设点 A、B、C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当 ABC 的面积最小 时,求直线 AB 的方程。

22. ( 12 分 ) 已 知 函 数 f (x) ? x ? a ln x 在 x ?1 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2y ? 0 垂 直 , 函 数

g(x) ? f (x) ? 1 x2 ? bx . 2
(1)求实数 a 的值;

(2)若函数 g(x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

(3)设

x1,

x2 (x1

?

x2 )

是函数

g(x)

的两个极值点,若

b

?

7 2

,求

g ( x1 )

?

g(x2 )

的最小值。


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