2018-2019学年高中数学北师大版选修4-1同步配套课件:第一章 §2 2.1 圆周角定理_图文


§ 2 第 一 章 圆 与 直 线 2 . 1 圆 周 角 定 理 理解教材新知 自主学习 合作探究 考点一 考点二 把握热点考向 应用创新演练 § 2 圆 与 直 线 2.1 圆周角定理 [自主学习] 1.圆周角定理 (1)文字语言:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的 一半 . _____ ? 所对的圆周角和圆心角分别是 (2)符号语言:在⊙O中, BC 1 1? ∠BOC ∠BAC,∠BOC,则有∠BAC= 2 = 2 BC ? . (3)图形语言:如图所示. 2.圆周角定理的推论 (1)推论1 相等 ; 同圆或等圆 同弧或等弧所对的圆周角_____ 中,相等的圆周角所对的弧 也相等 . (2)推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90° 的圆周 角所对的弧是 半圆 . [合作探究] 1.圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗? 提示:一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系. 2.推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论 还成立吗? 提示:不成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,在 一般情况下是不相等的. 利用圆周角定理解决计算问题 [例1] 已知△ABC内接于圆O,∠OBC=35° ,求∠A. [思路点拨] 本题主要考查圆周角定理.顶点A的位置不确 定,所以点A和圆心O可能在BC的同侧,也可能在BC的异侧. [精解详析] (1)当点A和圆心O在BC的同侧 时,如图①所示. ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. ∵∠OBC=35° , ∴∠BOC=180° -2∠OBC=110° . 1 ∴∠BAC= ∠BOC=55° . 2 (2)当点A和圆心O在BC的异侧时,如图② 所示. 设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点,连接 PB,PC. ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. ∵∠OBC=35° , ∴∠BOC=180° -2∠OBC=110° . 1 ∴∠BPC= ∠BOC=55° . 2 ∴∠BAC=180° -∠BPC=180° -55° =125° . 综上所得,∠A的度数是55° 或125° . 使用圆周角定理时,一定要注意“同一条弧”所对的圆 周角与圆心角这一条件. 1.如图,△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D,∠A=50° ,则 ∠OCD的度数是 ( ) A.40° C.50° B.25° D.60° 解析:连接OB.因为∠A=50° , 所以BC弦所对的圆心角∠BOC=100° , 1 ∠COD= ∠BOC=50° ,∠OCD=90° - 2 ∠COD=90° -50° =40° .所以∠OCD=40° . 答案:A [例2] 如图,已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC, 交AC于D,BC=4 cm. (1)试判断OD与AC的关系; (2)求OD的长; (3)若2sinA-1=0,求⊙O的直径. [思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论2的应用.解题 时,可判断∠ACB=90° .利用OD∥BC可得OD⊥AC.用相似可得 OD的长,由边角关系可求⊙O的直径. [精解详析] (1)∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90° .∵OD∥BC, ∴∠ADO=∠ACB=90° ,∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC, OD AO 1 1 1 ∴ BC = AB= ,∴OD= BC= ×4=2(cm). 2 2 2 1 (3)∵2sin A-1=0,∴sin A= . 2 BC ∵sin A=AB, BC 1 ∴AB= ,∴AB=2BC=2×4=8(cm). 2 “半圆(直径)所对的圆周角是直角,和直径能构成直角 三角形”这一性质应用广泛,解题时注意直角三角形中有 关定理的应用. 本例的条件变为:“弦AC=4,BC=3,CD⊥AB于 D”,求CD. 解:由勾股定理知AB=5, 1 1 ∵S△ACB= AC· BC= AB· CD, 2 2 12 ∴3×4=5×CD,∴CD= . 5 利用圆周角定理解决证明问题 [例3] AF = ? AB ,BF 如图,BC为圆O的直径,AD⊥BC, ? 和AD相交于E,求证:AE=BE. [思路点拨] 本题主要考查利用圆周角定理证明问题.解 题时只需在△ABE中证明∠ABE=∠EAB.而要证这两个角相 等,只需借助∠ACB即可. [精解详析] ∵BC是⊙O的直径, ∴∠BAC为直角, 又AD⊥BC, ∴Rt△BDA∽Rt△BAC. ∴∠BAD=∠BCA. AF ,∴∠FBA=∠ACB. AB = ? ∵? ∴∠BAD=∠FBA. ∴△ABE为等腰三角形. ∴AE=BE. 有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧及弦可以相互转 化.即欲证圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相 等.要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等.这是 证明圆中线段相等的常用方法. 2.如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上一点,∠ABC=30° , ⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D. 求证:(1)∠CAB=∠BOD. (2)△ABC≌△ODB. 证明:(1)因为AB是⊙O的直径, 所以∠ACB=90° ,由∠ABC=30° , 所以∠CAB=60° . 又OB=OC,所以∠OCB=∠OBC=30° , 所以∠BOD=60° , 所以∠CAB=∠BOD. 1 (2)在Rt△ABC中,∠ABC=30° ,得AC= AB, 2 1 又OB= AB,所以AC=OB. 2 由BD切⊙O于点B,得∠OBD=90° . 在△ABC和△ODB中, ?∠CAB=∠BOD, ? ?∠ACB=∠OBD, ?AC=OB, ? 所以△ABC≌△ODB. 本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题,难度 中档. [考题印证] 如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两 点,连接BD并延

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