四川省棠湖中学2012-2013学年高二上学期期中考试 数学(理)


棠湖中学高 2014 级半期测试题(理数)
参考公式 S 圆锥侧面积= ? r l( r 表示圆锥的底面半径,l 表示圆锥的母线) S 圆台侧面积= ? ( r1 + r2 )l( r1 、 r2 表示圆台的上、下底面半径,l 表示圆台的母线) V 台体=

1 (S1+S2+ S1 ? S2 )h(S1、S2 表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高) 3
V 球= ? R (R 表示球半径)
3

S 球面=4π R2(R 表示球半径)

4 3

V 柱体=Sh(S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高) V 锥体=

1 Sh(S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高) 3

时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.垂直于同一条直线的两条直线一定( ). A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 2. 设平面 ? 内两个向量的坐标分别为(1,2,1)和(-1,1,2) ,则下列向量中是平面的法 向量的是( ) A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1) C.(1, 1,1) D.(1,-1,-1) 3. 点 P 为Δ ABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 是Δ ABC 的 ( ) (A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心 4. 已知 A、B、C 三点不共线,点 O 为平面 ABC 外的一点,则下列条件中,能得到 M∈平面 ABC 的条件是( ) (A) OM ? OA ? OB ? OC ; (B) OM ? OA ? OB ? OC ; 2 ???? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ???? 3??? ??? ???? ? ? 3? (C) OM ? OA ? OB ? OC ; (D) OM ? 2OA ? OB ? OC 5.如图,正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置 的一个平面图形的直观图,则原图的周长是( ) A.8 cm B.6 cm C.2(1+ 3) cm D.2(1+ 2) cm 6. 设 m,n 表示不同直线,α,β 表示不同平面,则下列结论中正确的是( A.若 m∥α,m∥n,则 n∥α B.若 m?α,n?β,m∥β,n∥α,则 α∥β C.若 α∥β,m∥α,m∥n,则 n∥β D.若 α∥β,m∥α,n∥m,n ? β,则 n∥β.

???? ?

? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ???

???? ?

? ? 1 ??? 1 ??? ????

)

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7.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是周长为 4,一个内角为 60° 的菱形,俯视图是 圆及一点,那么这个几何体的表面积为( ) π A. 2 B.π 3π C. 2 D.2π

8.在正三棱柱 ABC——A1B1C1 中(底面是正三角形,侧棱垂直底面) ,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为( ) (A)60° (B)90° (C)105° (D)75° 9.如图,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,侧棱 AA1 长为 4,且 AA1 与 A1B1,A1D1 的夹角都是 60° ,则 AC1 的长等于( ) . A.10 B.

56

C.

10

D. 34

? 10. 如 图 , 在 平 行 六 面 体 A B C D A1 B1C1 D1 中 , M 为 AC 与 BD 的 交 点 , 若 A1 B1 ? a ,

A1 D1 ? b , A1 A ? c .则下列向量中与 B1 M 相等的向量是(
1 1 A .? a? b?c 2 2
B.



1 1 a? b?c 2 2

C.

1 1 a? b?c 2 2

1 1 D .? a? b?c 2 2

11.如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 上有两个 动点 E, F ,且 EF ?

2 ,则下列结论中错误的是( .. 2



A. AC ? BE B. EF ∥平面 ABCD C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D.△AEF 与△BEF 的面积相等 12.球 O 的球面上有四点 S、A、B、C,其中球心 O、A、B、C 四点共面,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAB⊥ 平面 ABC,则棱锥 S-ABC 的体积的最大值为( ) A.1 B.

1 3

C.

3

D.

3 3

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. a =(2x,1,3), b =(1,-2y,9),如果 a 与 b 为共线向量,则 x ? y ? 14、正方体棱长为 1,则其外接球的体积是 .

15.如图所示,AO⊥平面 α,BC⊥OB,BC 与平面 α 的夹角为 30° ,AO=BO=BC=a,则 AC =________.

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16.如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD⊥ 平面 ABE,已知 AB=2,AE =BE= 3 , 且当规定正视图方向垂直平面 ABCD 时, 该几何体的侧视图的面积为 N 分别是线段 DE、CE 上的动点,则 AM+MN+NB 的最小值为________.

2 .若 M、 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)已知 a (1)计算 3a ? 2b, 及 a ? b ;

?

? ? ? ? ? (2)求实数 ? 的值,使 ? a ? 2b 与 c 垂直。

?

?

? ? ? (3,5, ?4) , b ? (2,1,8) , c ? (0, 0,1)

18.已知 AB=2,AD=2 2 ,PA=2,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点。求: (1)三角形 PCD 的面积 P (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小。 E A B C D

19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥ BC,∠ ADC=90° ,BC 1 = AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点. 2 (1)求证:AD⊥ 平面 PBQ; (2)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使 得 PA∥ 平面 BMQ.

20.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90° ,PA⊥底面 ABCD, 1 且 PA=AD=DC= ,AB=1,M 是 PB 的中点. 2 (1)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-MC-B 的大小的余弦值.

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21.如图,已知四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱 形,∠ DAB=60° . (1)证明:∠ PBC=90° ; (2)若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

22.(本小题满分 14 分)如图(1)所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥ AP,AB⊥ BC,CD⊥ AP,AD =DC=PD=2,E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥ 平面 ABCD(图(2)). (1)若点 Q 是线段 PB 的中点,求证:PC⊥ 平面 ADQ; (2)求二面角 G-EF-D 的余弦值. (3)若 K 为 ? PAD 的重心,H 在线段 EG 上,KH∥ 平面 PDC,求出 H 到面 PAC 的距离

棠湖中学高 2014 级半期测试题(理数)的答案
一、选择题:DBBBA DBBCA DD

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二、填空题:13: ?

4 3

14:

3 ? 2

15: 2a

16: [解析] 取 AB 中点 F, AE=BE= 3, EF⊥ 3. ∵ ∴ AB, 平面 ABCD⊥ ∵ 平面 ABE, EF⊥ ∴ 1 2 2 平面 ABCD,易求 EF= 2,左视图的面积 S= AD· EF= AD= ,∴ AD=1,∴ AED= ∠ 2 2 2 ∠ BEC=30° DEC=60° ,∠ ,将四棱锥 E-ABCD 的侧面 AED、DEC、CEB 展开铺平如图, 1 则 AB2=AE2+BE2-2AE· cos120° BE· =3+3-2× (- )=9, 3× 2 ∴ AB=3,∴ AM+MN+BN 的最小值为 3. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 17: (12 分) (1) 3a ? 2b ? (5,13,-28) a ? b ? -21………..6 分 (2) ? =4.。。。。。。 分 。。。。。。6 18. (12 分) (1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD 因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

所以三角形 PCD 的面积为 ? 2 ? 2 3 ? 2 3
1 2

P 。。6 分 。 E A B 。。 分 。。6 C D

(2)取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2
? 知 ?AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= 4 .

1 19(12 分) .[解析] (1)证明:AD∥ BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,∴ 四边形 BCDQ 为平 2 行四边形,∴ ∥ CD BQ. ∵ ADC=90° ∠ ∠ ,∴ AQB=90° ,即 QB⊥ AD. ∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴ PQ⊥ AD. ∵ PQ∩BQ=Q,∴ AD⊥ 平面 PBQ.。。。5 分 。。 (2)解:当 t=1 时,PA∥ 平面 BMQ, 连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. 1 ∵ 綊 AD, BC 2 ∴ 四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点. ∵ M 是线段 PC 的中点,∴ ∥ 点 MN PA. ∵ MN? 平 面 BMQ , PA? 平 面 BMQ , ∴ ∥平 面 PA BMQ.。。。。。7 分 。。。。

20. (12 分)解:以 A 为坐标原点,AD 长为单位长度,如图建立 空间直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0), 1 P(0,0,1),M(0,1, ). 2
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(1)因 AC =(1,1,0), PB =(0,2,-1), 故| AC |= 2,| PB |= 5, AC · PB =2,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? AC · PB ? ??? = 10.。。。。 分 ? 所以 cos< AC , PB >= ??? 。。。。5 5 | AC |· PB | | ???? ???? ? (2)法一:在 MC 上取一点 N(x,y,z),则存在 λ∈R,使 NC =λ MC , ???? ???? ? 1 NC =(1-x,1-y,-z), MC =(1,0,-2),
1 ∴x=1-λ,y=1,z= λ. 2

? ???? ???? 1 4 要使 AN⊥MC,只需 AN · MC =0 即 x- z=0,解得 λ= . 2 5
? ???? ???? 4 1 2 可知当 λ= 时,N 点坐标为( ,1, ),能使 AN · MC =0. 5 5 5

? ???? 1 ???? 1 ???? ???? 2 2 此时, AN =( ,1, ), BN =( ,-1, ),有 BN · MC =0 5 5 5 5
由 AN · MC =0, BN · MC =0 得 AN⊥MC,BN⊥MC. 所以∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵| AN |=

????

???? ?

????

???? ?

????

???? ???? ???? 30 30 4 ,| BN |= , AN · BN =- . 5 5 5

???? ???? ???? ???? AN · BN ???? =-2. ∴cos〈 AN , BN 〉= ???? 3 | AN |· BN | |
2 ∴平面 AMC 与平面 BMC 所成角的余弦值为- .。。。。。。。7 分 。。。。。。 3 法二:还可以使用法向量法 21. (12 分) [解析] (1)取 AD 中点 O,连 OP、OB,由已知得:OP⊥ AD,OB⊥ AD,又 OP∩OB=O, ∴ AD⊥ 平面 POB, ∵ ∥ BC AD,∴ BC⊥ 平面 POB,∵ PB?平面 POB, ∴ BC⊥ PB,即∠ PBC=90° 。。。。。。。5 分 .。。。。。。。 (2)法一:如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3, 3 0),C(-1, 3,0),由 PO=BO= 3,PB=3,得∠ POB=120° ∠ ,∴ POz=30° P(0,- , ,∴ 2 3 3 3 3 → → → ),则AB=(-1, 3,0),BC=(-1,0,0),PB=(0, ,- ),设平面 PBC 的法向量为 n 2 2 2 =(x,y,z), ?-x=0 则?3 3 3 ,取 z= 3,则 n=(0,1, 3), ? 2 y-2z=0 ? 设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为 θ,则 3 → sinθ=|cos〈AB,n〉|= .。。。。。。。 分 。。。。。。。7 4

?

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法二:可以使用几何法解决 22.(本小题满分 14 分)如图(1)所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥ AP,AB⊥ BC,CD⊥ AP,AD =DC=PD=2,E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥ 平面 ABCD(图(2)). (1)若点 Q 是线段 PB 的中点,求证:PC⊥ 平面 ADQ; (2)求二面角 G-EF-D 的余弦值. (3)若 K 为 ? PAD 的重心,H 在线段 EG 上,KH∥ 平面 PDC,求出 H 到面 PAC 的距离 [解析] (1)解:连接 DE,EQ, ∵ E、Q 分别是 PC、PB 的中点,∴ ∥ ∥ EQ BC AD. ∵ 平面 PDC⊥ 平面 ABCD,PD⊥ DC,∴ PD⊥ 平面 ABCD. ∴ PD⊥ AD,又 AD⊥ DC,∴ AD⊥ 平面 PDC,∴ AD⊥ PC. 在△PDC 中,PD=CD,E 是 PC 的中点, ∴ DE⊥ PC,∴ PC⊥ 平面 ADEQ,即 PC⊥ 平面 ADQ.。。。。。 分 。。。。。4

2 。。。。。。。。。。。。4 分 。。。。。。。。。。。 2 2 3 (3) 。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。6 9
(2)

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