例说“化折为直”思想在高中数学解题应用论文


例说“化折为直”思想在高中数学解题中的应用 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火, 黄昏饮马傍交河.” ,记录了将军在观望烽火之后从山脚下的 a 点出 发,走到河边饮马后,再回到 b 点宿营的活动过程(如图 1).人们 自然会提出这样一个问题:饮马点该选在何处才能使总行程最短. 无独有偶,古希腊的一位将军更是把这个问题提交给数学家海伦求 解.于是,这个问题就有了它的专有名称——将军饮马.? 图 1 其实, “将军饮马”抽象成数学问题即为:点 a,b 在直线 mn 的同侧,在 mn 上求一点 s,使? sa+? sb 为最小.海伦的解法十分 巧妙,作点 a 关于轴 mn 的对称点 a′,a′b 与 mn 的交点 s 就是所 求之点.理由是对于 mn 上任一点 s′,s′a+s′b=s′a′+s′b≥a′ b=as+sb.? 探究其解题的思想方法,采用的是“化折为直”的方法,依据是 平面几何中的公理:连接两点的线中以直线段为最短.这一数学思 想方法在数学解题中会经常得到运用.下面举例说明之.? 图 2 例 1 如图 2,已知正方形 abcd 内有一正三角形 abe,试在其 对角线 ac 上找一点 p,使 pd+pe 最小.? 解析 因为点 d,e 在直线 ac 的同侧,很明显,例 1 就是将军饮马问题.点 d 关于直线 ac 的对称点为 b, 所以 pd=pb,从而只需 pb+pe 最小即可,故当 p,b,e 三点共线时 pb+pe 最小,即点 p 在直线 ac 与直线 be 的交点时 pd+pe 最小, 最小 值就是正方形的边长.? 图 3 例 2 如图 3,在平面直角坐标系 xoy 中,a(a,0),b(a+5,0), c(7,9),d(5,5),当四边形 abcd 周长最小时,求实数 a 的值.? 解析 因为线段 ab=5,cd=25 均为定值, 所以,欲使四边形 abcd 周长最小,只需 ad+bc 最小即可. 过 a 作 ae∥bc 且 ae=bc,则问题转化为求 ad+ae 最小,如此,问 题又转化成将军饮马问题,不难求得 a=55[]14.? “化折为直”思想方法的用武之地有时候并不是一眼就可发现, 往往在隐蔽之中,需要具备较强的洞察能力.? 图 4 例 3 如图 4,在平面直角坐标系 xoy 中,a(2,8),b(6,2), 试在 x 轴上求一点 q,y 轴上求一点 p,使折线 apqb 最短.? 解析 怎样把折线 apqb“化直”而使之为最短呢?先 作 a 关于 y 轴的对称点 a′,再作 b 关于 x 轴的对称点 b′,连接 a′b′,分别交 x 轴、y 轴于点 q 和点 p,则此时折线 apqb 最短, 最小值为 241.? 如果把上题中的直角坐标系改成一般的仿射坐标系,那么就有下 面的问题,解法与例 3 如出一辙,不再赘述.? 例 4 若∠aob=θ (0 ?°?有时候对“化直”的对象需进行深入推 敲,所选对象准确对于问题解决是至关重要的.? 例 6 求函数 y=(x-1)? 2+4+(x-3)? 2+9 的最小值.? 解析 本题采用代数的方法去求解运算会很麻烦,而应用数形结合 的思想方法去求解就十分便捷.可把(x-1)? 2+4 看成点(x,0)到点 (1,2)的距离,又可把(x-3)? 2+9 看成点(x,0)到点(3,3)的距离, 故问题转化为在 x 轴上找一点,使其到点(1,2)及点(3,3)的距离和 最小,这就是将军饮马问题,数形结合的结果为实施“化折为直” 创造了条件.由两点间直线距离最短知

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