高考数学第一轮复习资料(教师版)


高考数学第一轮复习资料(教师版)
第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组
1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关系为________. 解析:由集合 B={x|x∈A}知,B={1,2}.答案:A=B
2.若? {x|x2≤a,a∈R},则实数 a 的取值范围是________.
解析:由题意知,x2≤a 有解,故 a≥0.答案:a≥0 3.已知集合 A={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合 B={x|-2≤x<8},则集合 A 与 B 的关系是________.
解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴B A. 答案:B A 4.(2009 年高考广东卷改编)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N ={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是________.
解析:由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0},则 N M.答案:② 5.(2010 年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a}, 若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 ________.
解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件,∴A B,∴a<5. 答案:a<5 6.(原创题)已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z}, 又 C={x|x=4a+1,a∈Z},判断 m+n 属于哪一个集合? 解:∵m∈A,∴设 m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设 n=2a2+1,a2∈Z, ∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2∈Z,∴m+n∈B.
B组
1.设 a,b 都是非零实数,y=|aa|+|bb|+|aabb|可能取的值组成的集合是________. 解析:分四种情况:(1)a>0 且 b>0;(2)a>0 且 b<0;(3)a<0 且 b>0;(4)a<0
且 b<0,讨论得 y=3 或 y=-1.答案:{3,-1} 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________.
解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m =1.答案:1 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P ={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个.

解析:依次分别取 a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互 异性,∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N M,那么 a 的值是________.
解析:M={x|x=1 或 x=-1},N M,所以 N=?时,a=0;当 a≠0 时,x
=1a=1 或-1,∴a=1 或-1.答案:0,1,-1

5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个. 解析:A 中一定有元素 1,所以 A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3
6.已知集合 A={x|x=a+16,a∈Z},B={x|x=b2-13,b∈Z},C={x|x=2c+16, c∈Z},则 A、B、C 之间的关系是________.

解析:用列举法寻找规律.答案:A B=C 7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________.
解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条 件.答案:必要不充分条件 8.(2010 年江苏启东模拟)设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所 有元素的和为________.
解析:∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S=1+2+22 +…+28=511.答案:511 9.(2009 年高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1? A,且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这 三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有 6 个.答案:6 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值.
解:由 lg(xy)知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. ∴A={x,1,0},B={0,|x|,1x}.
于是必有|x|=1,1x=x≠1,故 x=-1,从而 y=-1. 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},
(1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B?A,∴①若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A.

??m+1≤2m-1, ②若 B≠?,则?-2≤m+1,
??2m-1≤5.

解得 2≤m≤3.

由①②得,m 的取值范围是(-∞,3].

??2m-1>m-6, (2)若 A?B,则依题意应有?m-6≤-2,
??2m-1≥5.

??m>-5, 解得?m≤4,
??m≥3.

故 3≤m≤4,

∴m 的取值范围是[3,4].

(3)若 A=B,则必有?????m2m--6= 1=-52,, 解得 m∈?.,即不存在 m 值使得 A=B. 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.
(1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2}, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A B,则此时 B={x|1≤x ≤ a},故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,由数轴可知 1≤a≤2.

(3)若 A=B,则必有 a=2
第二节 集合的基本运算
A组
1.(2009 年高考浙江卷改编)设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=____. 解析:?UB={x|x≤1},∴A∩?UB={x|0<x≤1}.答案:{x|0<x≤1}
2.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U= A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有________个.
解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},?U(A∩B)={3,5,8}.答案:3 3.已知集合 M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩N=________.
解析:由题意知,N={0,2,4},故 M∩N={0,2}.答案:{0,2} 4.(原创题)设 A,B 是非空集合,定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A ={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则 A?B=________.
解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以 A?B=(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.(2009 年高考湖南卷)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓 球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人 数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩图 得到方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3,∴喜爱篮球运动但 不喜爱乒乓球运动的人数为 15-3=12(人).答案:12 6.(2010 年浙江嘉兴质检)已知集合 A={x|x>1},集 合 B={x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B=

{x|x≥-1}.(2)若 B?A,则 m>1,即 m 的取值范围为(1,+∞)

B组

1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________.

解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}.答案:{-1,0}

2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩B=________.
解析:?UA={0,1},故(?UA)∩B={0}.答案:{0} 3.(2010 年济南市高三模拟)若全集 U=R,集合 M={x|-2≤x≤2},N={x|x2

-3x≤0},则 M∩(?UN)=________. 解 析 : 根 据 已 知 得 M∩( ? UN) = {x|- 2≤x≤2}∩{x|x<0 或 x>3} = {x|-
2≤x<0}.答案:{x|-2≤x<0}

4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 解析:由 A∩B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4}

5.(2009 年高考江西卷改编)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中 有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为________.

解析:U=A∪B 中有 m 个元素,

∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个元素.答案:m-n

6.(2009 年高考重庆卷)设 U={n|n 是小于 9 的正整数},A

={n∈U|n 是奇数},B={n∈U|n 是 3 的倍数},则?U(A∪B) =________.

解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7},

得?U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8} 7.定义 A?B={z|z=xy+xy,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},

则集合(A?B)?C 的所有元素之和为________.

解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,则(A?B)?C 中所含的元素有

0,8,10,故所有元素之和为 18.答案:18

8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4=

x,y)|y=3x+b},则 b=________.

解析:由???x+y-2=0, ??x-2y+4=0.

????x=0, ??y=2.

点(0,2)在 y=3x+b 上,∴b=2.

9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|}, 则集合 M 的所有子集是________.
解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a-3=5,解得 a=-4 或 a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}.
答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.

(1)若 A∩B={2},求实数 a 的值;

(2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3;当 a=-1 时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当 a=-3 时,B ={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a 的值为-1 或-3.

(2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件;②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2} 满足条件;③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数 的关系得

??1+2=-2(a+1) ???1×2=a2-5

????a=-25, ??a2=7,

矛盾.综上,a 的取值范围是 a≤-3.

11.已知函数 f(x)=

x+6 1-1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)

的定义域为集合 B.

(1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值.

解:A={x|-1<x≤5}.

(1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},

∴有-42+2×4+m=0,解得 m=8,此时 B={x|-2<x<4},符合题意.

12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}.

(1)若 A=?,求实数 a 的取值范围;

(2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A;

(3)求集合 M={a∈R|A≠?}.

解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解.

若 a=0,方程有一解 x=23,不合题意.

若 a≠0,要方程 ax2-3x+2=0 无解,则 Δ=9-8a<0,则 a>98.

综上可知,若

A=?,则

a

的取值范围应为

9 a>8.

(2)当 a=0 时,方程 ax2-3x+2=0 只有一根 x=23,A={23}符合题意.

当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0,即 a=98时,

方程有两个相等的实数根 x=43,则 A={43}.

综上可知,当 a=0 时,A={23};当 a=98时,A={43}.

(3)当 a=0 时,A={23}≠?.当 a≠0 时,要使方程有实数根,

则 Δ=9-8a≥0,即 a≤98.

综上可知,a 的取值范围是 a≤98,即 M={a∈R|A≠?}={a|a≤98}

第二章 函数

第一节 对函数的进一步认识

A组

1.(2009 年高考江西卷改编)函数 y= -x2-x 3x+4的定义域为________.

解析:???-x2-3x+4≥0, ??x≠0,

?x∈[-4,0)∪(0,1]

答案:[-4,0)∪(0,1]

2.(2010 年绍兴第一次质检)如图,函数 f(x)的图象是曲线

段 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),

则 f(f(13))的值等于________.

解析:由图象知 f(3)=1,f(f(13))=f(1)=2.答案:2

3.(2009 年高考北京卷)已知函数 f(x)=?????-3x,x,x≤x>11,. 若 f(x)=2,则 x=________. 解析:依题意得 x≤1 时,3x=2,∴x=log32; 当 x>1 时,-x=2,x=-2(舍去).故 x=log32.答案:log32
4.(2010 年黄冈市高三质检)函数 f:{1, 2}→{1, 2}满

足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有________个.

解析:如图.答案:1

5.(原创题)由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+

b2(x+1)+b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3),则

f(2,1,-1)=________.

解析:由题意知 x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3,

令 x=-1 得:-1=b3;

再令

x=0



x=1

得???-1=1+b1+b2+b3 ??3=8+4b1+2b2+b3



解得 b1=-1,b2=0.

答案:(-1,0,-1)

??1+1x (x>1), ? 6.已知函数 f(x)= x2+1 (-1≤x≤1),
??2x+3 (x<-1).

(1)求 f(1- 21-1),f{f[f(-2)]}的值;

(2)求 f(3x-1);(3)若 f(a)=32, 求 a. 解:f(x)为分段函数,应分段求解. (1)∵1- 21-1=1-( 2+1)=- 2<-1,∴f(- 2)=-2 2+3,

又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+12=32. (2)若 3x-1>1,即 x>23,f(3x-1)=1+3x-1 1=3x3-x 1; 若-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤32,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 若 3x-1<-1,即 x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.

? 3x 3x-1

(x>23),

?? ∴f(3x-1)=

9x2-6x+2 (0≤x≤23), 6x+1 (x<0).

(3)∵f(a)=32,∴a>1 或-1≤a≤1. 当 a>1 时,有 1+1a=32,∴a=2;

当-1≤a≤1

时,a2+1=32,∴a=±

2 2.

∴a=2 或±22. B组
1.(2010 年广东江门质检)函数 y= 3x1-2+lg(2x-1)的定义域是________. 解析:由 3x-2>0,2x-1>0,得 x>23.答案:{x|x>23}

??-2x+1,(x<-1), 2.(2010 年山东枣庄模拟)函数 f(x)=?-3,(-1≤x≤2),
??2x-1,(x>2),

则 f(f(f(32)+5))=_.

解析:∵-1≤32≤2,∴f(32)+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f(2)=-3, ∴f(-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:7 3.定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则 f(x)的解析式 为________. 解析:∵对任意的 x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 由 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② ①×2+②消去 f(-x),得 3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1), ∴f(x)=23lg(x+1)+13lg(1-x),(-1<x<1).
答案:f(x)=23lg(x+1)+13lg(1-x),(-1<x<1) 4.设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1,则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可 能是________个.

解析:由 f(x+1)=f(x)+1 可得 f(1)=f(0)+1,f(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…

本题中如果 f(0)=0,那么 y=f(x)和 y=x 有无数个交点;若 f(0)≠0,则 y=f(x)

和 y=x 有零个交点.答案:0 或无数

5.设函数 f(x)=?????2x2+bx+c

(x>0) (x≤0) ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则 f(x)

的解析式为 f(x)=________,关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________个.

解析:由题意得

??16-4b+c=c
?
??4-2b+c=-2

??b=4
?



??c=2

∴f(x)=?????x22+4x+2

(x>0) (x≤0) .

由数形结合得 f(x)=x 的解的个数有 3 个.

答案:?????2x2+4x+2

(x>0) (x≤0)

3

6.设函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),函数 g(x)=-x2+bx+c,若 f(2+ 2)-f( 2 +1)=12,g(x)的图象过点 A(4,-5)及 B(-2,-5),则 a=__________,函数 f[g(x)]

的定义域为__________.

答案:2 (-1,3)

7.(2009 年高考天津卷改编)设函数 f(x)=?????xx2+-64,x+x<60,x≥0 ,则不等式 f(x)>f(1)

的解集是________.

解析:由已知,函数先增后减再增,当 x≥0,f(x)>f(1)=3 时,令 f(x)=3,

解得 x=1,x=3.故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3.

当 x<0,x+6=3 时,x=-3,故 f(x)>f(1)=3,解得-3<x<0 或 x>3.

综上,f(x)>f(1)的解集为{x|-3<x<1 或 x>3}.答案:{x|-3<x<1 或 x>3}

8 . (2009 年 高 考 山 东 卷 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) =

??log2(4-x),
?
??f(x-1)-f(x-2),

x≤0, x>0, 则 f(3)的值为________.

解析:∵f(3)=f(2)-f(1),又 f(2)=f(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24

=2,∴f(3)=-2.答案:-2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻 开始,5 分钟内只进水,不出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水,得到时 间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则 这段时间内(即 x≥20),y 与 x 之间函数的函数关系是________.

解析:设进水速度为 a1 升/分钟,出水速度为 a2 升/分钟,则由题意得

??5a1=20
?
??5a1+15(a1-a2)=35

,得???a1=4 ??a2=3

,则 y=35-3(x-20),得 y=-3x+95,又

因为水放完为止,所以时间为 x≤935,又知 x≥20,故解析式为 y=-3x+ 95(20≤x≤935).答案:y=-3x+95(20≤x≤935)

10.函数 f(x)= (1-a2)x2+3(1-a)x+6.

(1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;

(2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. 解:(1)①若 1-a2=0,即 a=±1,

(ⅰ)若 a=1 时,f(x)= 6,定义域为 R,符合题意;

(ⅱ)当 a=-1 时,f(x)= 6x+6,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若 1-a2≠0,则 g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 为二次函数.

由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立,

∴???1-a2>0, ∴???-1<a<1,

??Δ≤0,

??(a-1)(11a+5)≤0,

∴-151≤a<1.由①②可得-151≤a≤1. (2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0 的解集为[-2,1],显然 1- a2≠0 且-2,1 是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0 的两个根.

1-a2<0,
?? -2+1=3a(12--1a),

?-2=1-6 a2, ??Δ=[3(1-a)]2-24(1-a2)>0

??a<-1或a>1, a=2,
?∴ a=±2. ??a<-151或a>1

∴a=2.

11.已知 f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当 x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当 x∈[2k -1,2k+1](k∈Z)时、f(x)的解析式.
解:由 f(x+2)=f(x),可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数.当 x∈[2k-1,2k +1]时,2k-1≤x≤2k+1,-1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1.
又 f(x)=f(x-2)=f(x-4)=…=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 12.在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关 注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件 该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置 配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人分 成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工 C 型装置的工人有 x 位, 他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x),其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数) (1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?
解:(1)g(x)=2030x0(0<x<216,x∈N*),h(x)=211060-0x(0<x<216,x∈N*).

?2000 3x
? (2)f(x)= 1000 ?216-x

(0<x≤86,x∈N*). (87≤x<216,x∈N*).

(3)分别为 86、130 或 87、129.

第二节 函数的单调性

A组 1.(2009 年高考福建卷改编)下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是________.
①f(x)=1x ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)
解析:∵对任意的 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答 案:① 2.函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x) =f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________.

解析:∵0<a<1,y=logax 为减函数,∴logax∈[0,12]时,g(x)为减函数.
由 0≤logax≤12 a≤x≤1.答案:[ a,1](或( a,1)) 3.函数 y= x-4+ 15-3x 的值域是________.
解析:令 x=4+sin2α,α∈[0,π2],y=sinα+ 3cosα=2sin(α+π3),∴1≤y≤2. 答案:[1,2] 4.已知函数 f(x)=|ex+eax|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围__.
解析:当 a<0,且 ex+eax≥0 时,只需满足 e0+ea0≥0 即可,则-1≤a<0;当
a=0 时,f(x)=|ex|=ex 符合题意;当 a>0 时,f(x)=ex+eax,则满足 f′(x)=ex-eax ≥0 在 x∈[0,1]上恒成立.只需满足 a≤(e2x)min 成立即可,故 a≤1,综上-1≤a≤1.
答案:-1≤a≤1 5.(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x)≥M(M 为常数),称 M 为 f(x)的下界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的 所有函数是________.

??1 (x>0) ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=ex;④f(x)=?0 (x=0)
??-1 (x<-1)

解析:∵sinx≥-1,∴f(x)=sinx 的下确界为-1,即 f(x)=sinx 是有下确界 的函数;∵f(x)=lgx 的值域为(-∞,+∞),∴f(x)=lgx 没有下确界;∴f(x)=ex 的值域为(0,+∞),∴f(x)=ex 的下确界为 0,即 f(x)=ex 是有下确界的函数;

??1 (x>0) ∵f(x)=?0 (x=0)
??-1 (x<-1)

??1 (x>0) 的下确界为-1.∴f(x)=?0 (x=0)
??-1 (x<-1)

是有下确界的

函数.答案:①③④

6.已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1.

(1)若存在 x∈R 使 f(x)<b·g(x),求实数 b 的取值范围;

(2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m

的取值范围.

解:(1) x∈R,f(x)<b·g(x x∈R,x2-bx+b

=(-b)2-4b b<0

或 b>4.(2)F(x)=x2-mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4,

①当 Δ≤0 即-25 5≤m≤25 5时,则必需

?m2 ≤0 ??-2 55≤m≤25 5

-2 5 5≤m≤0.

②当

Δ>0



m<-2

5

5或

2 m>

5

5时,设方程

F(x)=0

的根为

x1,x2(x1<x2),若

m2 ≥1,则 x1≤0.

???m2 ≥1 ??F(0)=1-m2≤0

m≥2.

若m2 ≤0,则 x2≤0,

???m2 ≤0 ??F(0)=1-m2≥0

-1≤m<-25 5.综上所述:-1≤m≤0 或 m≥2.

B组 1.(2010 年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________.
①y=-1x ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|
解析:由函数 y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④ 2.若函数 f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值 范围是________.
解析:令 g(x)=x2-ax+3a,由题知 g(x)在[2,+∞)上是增函数,且 g(2)>0.

∴???a2≤2,

∴-4<a≤4.答案:-4<a≤4

??4-2a+3a>0,

3.若函数 f(x)=x+ax(a>0)在(34,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__.
解析:∵f(x)=x+ax(a>0)在( a,+∞)上为增函数,∴ a≤34,0<a≤196.
答案:(0,196] 4.(2009 年高考陕西卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+ ∞)(x1≠x2),有f(xx2)2- -fx(1x1)<0,则下列结论正确的是________.

①f(3)<f(-2)<f(1) ②f(1)<f(-2)<f(3) ③f(-2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2) 解析:由已知f(xx2)2- -fx(1x1)<0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性 质得 f(2)=f(-2),即 f(3)<f(-2)<f(1).答案:①

5.(2010 年陕西西安模拟)已知函数 f(x)=?????(aax-3)x+4a

(x<0), (x≥0)

满足对任意

x1≠x2,都有f(xx1)1- -fx(2x2)<0 成立,则 a 的取值范围是________.

??0<a<1, 解析:由题意知,f(x)为减函数,所以?a-3<0,
??a0≥(a-3)×0+4a,

解得 0<a≤14.

6.(2010 年宁夏石嘴山模拟)函数 f(x)的图象是如下图 所示的折线段 OAB,点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标 为(3,0),定义函数 g(x)=f(x)·(x-1),则函数 g(x)的最 大值为________.

解析:g(x)=?????2(-x(xx-+13))(x-1)

(0≤x<1), (1≤x≤3),

当 0≤x<1 时,最大值为 0;当 1≤x≤3 时, 在 x=2 取得最大值 1.答案:1 7.(2010 年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0], 则函数 y=f(cos x)的值域是________. 解析:∵cos x∈[-1,1],函数 y=f(x)的值域为[-2,0],∴y=f(cos x)的值 域为[-2,0].答案:[-2,0] 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________. 解析:∵函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为

??1≤x≤9, ???1≤x2≤9,

∴x∈[1,3],令 log3x=t,t∈[0,1],

∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当 t=1 时,ymax=13.答案:13 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,12)内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单 调递增区间为__________.
解析:令 μ=2x2+x,当 x∈(0,12)时,μ∈(0,1),而此时 f(x)>0 恒成立,∴0<a<1.

μ=2(x+14)2-18,则减区间为(-∞,-14).而必然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<

-12.∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-12).答案:(-∞,-12)

10.试讨论函数 y=2(log12x)2-2log12x+1 的单调性.

解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令 u=g(x)=log12x,y=f(u)=2u2

-2u+1,那么原函数 y=f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数,而 u=log12

x 在 x∈(0,+∞)内是减函数,y=2u2-2u+1=2(u-12)2+12在 u∈(-∞,12)上是

减函数,在 u∈(12,+∞)上是增函数.又 u≤12,即 log12x≤12,得 x≥ 22;u>12,

得 0<x< 22.由此,从下表讨论复合函数 y=f[g(x)]的单调性:

单调性

函数

(0, 22)

( 22,+∞)

u=log12x f(u)=2u2-2u+1 y=2(log12x)2-2log12x+1

故函数 y=2(log12x)2-2log12x+1 在区间(0, 22)上单调递减,在区间( 22,+∞) 上单调递增.
11.(2010 年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(xx12)=f(x1) -f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.
(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则xx12>1,由于当 x>1 时,f(x)<0,
所以 f(xx12)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

(3)由 f(xx12)=f(x1)-f(x2)得 f(93)=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2.
由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. 12.已知:f(x)=log3x2+axx+b,x∈(0,+∞),是否存在实数 a,b,使 f(x)同时
满足下列三个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x) 的最小值是 1.若存在,求出 a、b;若不存在,说明理由.
解:∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x=1 时,f(x)最小,
log31+1a+b=1.即 a+b=2.
设 0<x1<x2≤1,则 f(x1)>f(x2).即x12+xa1x1+b>x22+xa2x2+b恒成立.
由此得(x1-x2x)1(xx21x2-b)>0 恒成立.
又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0 恒成立,∴b≥1. 设 1≤x3<x4,则 f(x3)<f(x4)恒成立.∴(x3-x4x)3(xx43x4-b)<0 恒成立.
∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4>b 恒成立.∴b≤1.由 b≥1 且 b≤1 可知 b=1, ∴a=1.∴存在 a、b,使 f(x)同时满足三个条件.
第三节 函数的性质
A组 1.设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(b+2)的大小 关系为________.
解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,∴f(x)=loga|x|,又 f(x)在(-∞,0)上单调 递增,所以 0<a<1,1<a+1<2,则 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(b +2).答案:f(a+1)>f(b+2) 2.(2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的 周期函数,则 f(1)+f(4)+f(7)等于________.
解析:f(x)为奇函数,且 x∈R,所以 f(0)=0,由周期为 2 可知,f(4)=0,f(7) =f(1),又由 f(x+2)=f(x),令 x=-1 得 f(1)=f(-1)=-f(1)?f(1)=0,所以 f(1) +f(4)+f(7)=0.答案:0 3.(2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数,则 f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为________.
解析:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为 周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数,f(0)=0,得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由 f(x-4) =-f(x)得 f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又因为 f(x)在区间[0,2]上是增 函数,所以 f(1)>f(0)=0,所以-f(1)<0,即 f(-25)<f(80)<f(11).
答案:f(-25)<f(80)<f(11)

4.(2009 年高考辽宁卷改编)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满 足 f(2x-1)<f(13)的 x 取值范围是________.
解析:由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|),由 f(|2x-1|)<f(13),再根据 f(x)的单 调性得|2x-1|<13,解得13<x<23.答案:(13,23) 5.(原创题)已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对 x∈R,f(2+x)=f(2-x), 当 f(-3)=-2 时,f(2011)的值为________.
解析:因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,所以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2), 故函数 f(x)是以 4 为周期的函数,所以 f(2011)=f(3+502×4)=f(3)=f(-3)=- 2.答案:-2 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1) 是奇函数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值-5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)求 y=f(x)在[4,9]上的解析式.
解:(1)证明:∵f(x)是以 5 为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0.
(2)当 x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2-5(a>0),由 f(1)+f(4)=0,得 a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).
(3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=0,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函 数,∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1),而 f(1)=2(1-2)2-5=-3,∴k=-3,∴当 0≤x≤1 时,f(x)=-3x,从而当-1≤x<0 时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1 时,f(x) =-3x.∴当 4≤x≤6 时,有-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+ 15.当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,∴f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.
∴f(x)=?????2-(x3-x+7)12-5,5,4≤6<x≤x≤69 .
B组 1.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是 奇函数,则下列结论正确的是________.
①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2) ④f(x+3)是奇函数 解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)= -f(x-1),∴函数 f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数 f(x)是周期 T=2[1-(- 1)]=4 的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即 f(x +3)是奇函数.答案:④ 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+32),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0) =2,f(1)+f(2)+…+f(2009)+f(2010)=________. 解析:f(x)=-f(x+32)?f(x+3)=f(x),即周期为 3,由 f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,所以 f(1)=-1,f(2)=-1,f(3)=2,所以 f(1)+f(2)+…+f(2009)+f(2010) =f(2008)+f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)=0.答案:0

3.(2010 年浙江台州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x) 的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(2010)=________.
解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),将 f(x)的图象向右 平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则满足 f(-2+x)=-f(x),即 f(x+2) =-f(x),所以周期为 4,f(1)=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所 以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=f(4)×502+f(2)= 0.答案:0 4.(2010 年湖南郴州质检)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________.
解析:在(0,+∞)上有 f′(x)>0,则在(0,+∞)上 f(x)是增函数,在(-∞, 0)上是减函数,又 f(x)在 R 上是偶函数,且 f(-1)=0,∴f(1)=0.从而可知 x∈(- ∞,-1)时,f(x)>0;x∈(-1,0)时,f(x)<0;x∈(0,1)时,f(x)<0;x∈(1,+∞)时, f(x)>0.∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1). 5.(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2009)+f(2010)的值 为________.
解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-2009)=f(2009).∵f(x)在 x≥0 时 f(x+2)=f(x), ∴f(x)周期为 2.∴f(-2009)+f(2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(0)=log22+log21 =0+1=1.答案:1 6.(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x, 满足 f(x+2)=-f(1x),若当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(2009.5)=________.
解析:由 f(x+2)=-f(1x),可得 f(x+4)=f(x),f(2009.5)=f(502×4+1.5)=f(1.5)
=f(-2.5)∵f(x)是偶函数,∴f(2009.5)=f(2.5)=52.答案:52 7.(2010 年安徽黄山质检)定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞,a]上是增函数,函数 y=f(x+a)是偶函数,当 x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,则 f(2a-x1)与 f(x2)的 大小关系为________.
解析:∵y=f(x+a)为偶函数,∴y=f(x+a)的图象关于 y 轴对称,∴y=f(x) 的图象关于 x=a 对称.又∵f(x)在(-∞,a]上是增函数,∴f(x)在[a,+∞)上是 减函数.当 x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,有 a-x1<x2-a,即 a<2a-x1<x2, ∴f(2a-x1)>f(x2).答案:f(2a-x1)>f(x2) 8.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1).若 f(a)=-2,则 实数 a=________.
解析:当 x≥0 时,f(x)=x(x+1)>0,由 f(x)为奇函数知 x<0 时,f(x)<0,∴a<0, f(-a)=2,∴-a(-a+1)=2,∴a=2(舍)或 a=-1.答案:-1 9.(2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在 区间[0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1, x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________.
解析:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x), 因此,函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x), 所以函数是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x) 在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]

上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=- 12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案:-8

10.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)

的解析式.

解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当 x>0 时,-x<0,由已

知 f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0).

∴f(x)=?????- -xxllgg((22- +xx))

(x<0), (x≥0). 即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).

11.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇

函数;(2)如果 x∈R+,f(x)<0,并且 f(1)=-12,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值.

解:(1)证明:∴函数定义域为 R,其定义域关于原点对称.

∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,∴f(0)

=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)法一:设 x,y∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+y)-f(x)=f(y). ∵x∈R+,f(x)<0,∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x).∵x+y>x,∴f(x)在(0,

+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函

数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=-12,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=

1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小

值为-3.

法二:设 x1<x2,且 x1,x2∈R.则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2) -f(x1).∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减.∴f(- 2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=-12,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)

=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3.

12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x).

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)=12x,求使 f(x)=-12在[0,2010]上

的所有 x 的个数.

解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),

∴f(x)是以 4 为周期的周期函数.

(2)当 0≤x≤1 时,f(x)=12x,

设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f(-x)=12(-x)=-12x.∵f(x)是奇函数,∴f(-

x)=-f(x),∴-f(x)=-12x,即 f(x)=12x.故 f(x)=12x(-1≤x≤1)

又设 1<x<3,则-1<x-2<1,∴f(x-2)=12(x-2), 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[-f(-x)]=-f(x),∴-f(x)=12(x

??? -2),∴f(x)=-12(x-2)(1<x<3).∴f(x)=

1 2x

(-1≤x≤1)

-12(x-2) (1<x<3)

由 f(x)=-12,解得 x=-1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数.故 f(x)=-12的所



x = 4n - 1(n∈Z) . 令

0≤4n



1≤2010





1 4

≤n≤502

3 4





∵n∈Z



∴1≤n≤502(n∈Z),∴在[0,2010]上共有 502 个 x 使 f(x)=-12.

第三章 指数函数和对数函数

第一节 指数函数
A组 1.(2010 年黑龙江哈尔滨模拟)若 a>1,b<0,且 ab+a-b=2 2,则 ab-a-b 的值 等于________.
解析:∵a>1,b<0,∴0<ab<1,a-b>1.又∵(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8,∴a2b +a-2b=6,∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4,∴ab-a-b=-2.答案:-2 2.已知 f(x)=ax+b 的图象如图所示,则 f(3)=________.
解析:由图象知 f(0)=1+b=-2,∴b=-3.又 f(2) =a2-3=0,∴a= 3,则 f(3)=( 3)3-3=3 3-3.
答案:3 3-3 3.函数 y=(12)2x-x2 的值域是________.
解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ∴(12)2x-x2≥12.答案:[12,+∞) 4.(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实 数 a 的取值范围是________.
解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 交点的个数, 由函数的图象可知 a>1 时两函数图象有两个交点,0<a<1 时两函数图象有惟一交 点,故 a>1. 答案:(1,+∞)

5.(原创题)若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a 等于________.

解析:由题意知???0a<2-a<11=0 ??a0-1=2

无解或???aa>0-1 1=0 ??a2-1=2

?a= 3.答案: 3

6.已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+21x++ab是奇函数.(1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.
解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即-2+1+ab=0,解得 b=1.
从而有 f(x)=-2x+21x++a1.又由 f(1)=-f(-1)知-4+2+a1=--12+1+a1,解得 a=2. (2)法一:由(1)知 f(x)=-2x+21x++21=-12+2x+1 1, 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t) +f(2t2-k)<0?f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k.
即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-13. 法二:由(1)知 f(x)=-2x+21x++21,又由题设条件得-2t22-t2-2t+21t++21+-22t22-2tk2+-1k++21<0 即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<0 整理得 23t2-2t-k>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0
上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<-13.

B组 1.如果函数 f(x)=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过 第三象限,那么一定有________.
①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0 解析:当 0<a<1 时,把指数函数 f(x)=ax 的图象向下平移,观察可知-1<b -1<0,即 0<b<1.答案:② 2.(2010 年保定模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间[1,2]上都是减 函数,则 a 的取值范围是________. 解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以 f(x)在[a,+∞)上为减函数,

又 f(x),g(x)都在[1,2]上为减函数,所以需?????aa≤ +11>1 ?0<a≤1.答案:(0,1] 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件①f (x)=ax·g(x)(a>0, a≠1);②g(x)≠0;若gf((11))+gf((--11))=52,则 a 等于________.
解析:由 f(x)=ax·g(x)得gf((xx))=ax,所以gf((11))+gf((--11))=52?a+a-1=52,解得 a

=2 或12.答案:2 或12 4.(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),其反函数为 f-1(x).若 f(2)=9,则 f-1(13)+f(1)的值是________.
解析:因为 f(2)=a2=9,且 a>0,∴a=3,则 f(x)=3x=13,∴x=-1, 故 f-1(13)=-1.又 f(1)=3,所以 f-1(13)+f(1)=2.答案:2
5.(2010 年山东青岛质检)已知 f(x)=(13)x,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图 象对应的函数为 g(x),则 g(x)的表达式为________.
解析:设 y=g(x)上任意一点 P(x,y),P(x,y)关于 x=1 的对称点 P′(2-x, y)在 f(x)=(13)x 上,∴y=(13)2-x=3x-2.答案:y=3x-2(x∈R) 6.(2009 年高考山东卷改编)函数 y=eexx+-ee--xx的图象大致为________.

解析:∵f(-x)=ee- -xx+ -eexx=-eexx+-ee--xx=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除④. 又∵y=eexx+ -ee- -xx=ee22xx+ -11=e2ex-2x-1+1 2=1+e2x2-1在(-∞,0)、(0,+∞)上都

是减函数,排除②、③.答案:①

7.(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=(12)x;当 x<4

时,f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=________. 解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2.∴3<2+log23<4,∴f(2+log23)
=f(3+log23)=f(log224)=(12)log224=2-log224=2log2214=214.答案:214

8.(2009 年高考湖南卷改编)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定

的正数 K,定义函数 fK(x)=?????Kf(x,),f(f(xx))≤>KK., 取函数 f(x)=2-|x|,当 K=12时,函

数 fK(x)的单调递增区间为________.

解析:由

f(x)=2-|x|≤12得

x≥1



??2-|x|,x≥1或x≤-1, x≤-1,∴fK(x)=???12,-1<x<1.

则单调增区间为(-∞,-1].答案:(-∞,-1] 9.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图 象可以是________.

解析:函数 y=2|x|的图象如图. 当 a=-4 时,0≤b≤4, 当 b=4 时,-4≤a≤0,答案:② 10.(2010 年宁夏银川模拟)已知函数 f(x)=a2x+2ax- 1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实 数 a 的值. 解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1], (1)当 0<a<1 时,a≤ax≤1a,∴当 ax=1a时,f(x)取得最大值.
∴(1a+1)2-2=14,∴1a=3,∴a=13.
(2)当 a>1 时,1a≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x)取得最大值.
∴(a+1)2-2=14,∴a=3.综上可知,实数 a 的值为13或 3. 11.已知函数 f(x)=2x--a+2 1.(1)求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称;
(2)若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
解:(1)证明:设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x,y),则 y=-2x-2a+1,
P(x,y)关于点 M(a,-1)的对称点为 P′(2a-x,-2-y). ∴-2-y=-2+2x-2a+1=-2x-2a·+2x-1a=1+-2-2(x-a)=2(2a--x)-2a+1,
说明点 P′(2a-x,-2-y)也在函数 y=2x--a+2 1的图象上,由点 P 的任意性
知,f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称. (2)由 f(x)≥-2x 得2x--a+2 1≥-2x,则2x-2a+1≤2x,化为 2x-a·2x+2x-2≥0,
则有(2x)2+2a·2x-2·2a≥0 在 x≥a 上恒成立.令 g(t)=t2+2a·t-2·2a,则有 g(t)≥0 在 t≥2a 上恒成立.∵g(t)的对称轴在 t=0 的左侧,∴g(t)在 t≥2a 上为增函数. ∴g(2a)≥0.∴(2a)2+(2a)2-2·2a≥0,∴2a(2a-1)≥0,则 a≥0.即实数 a 的取值范 围为 a≥0. 12.(2008 年高考江苏)若 f1(x)=3|x-p1|,f2(x)=2·3|x-p2|,x∈R,p1、p2 为常数,且
f(x)=?????ff12((xx)), ,ff11((xx))≤ >f2f(2x(x).), (1)求 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用
p1、p2 表示);(2)设 a,b 是两个实数,满足 a<b,且 p1、p2∈(a,b).若 f(a)=f(b),

求证:函数 f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为b-2 a(闭区间[m,n]的

长度定义为 n-m). 解:(1)f(x)=f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|x-p1|≤2·3|x-p2|?3|x-p1|-|x-p2|≤2 ?|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若 p1=p2,则(*)?0≤log32,显然成立;若 p1≠p2,

??p1-p2,x<p2, 记 g(x)=|x-p1|-|x-p2|,当 p1>p2 时,g(x)=?-2x+p1+p2,p2≤x≤p1,
??p2-p1,x>p1.

所以 g(x)max=p1-p2,故只需 p1-p2≤log32.

??p1-p2,x<p1; 当 p1<p2 时,g(x)=?2x-p1-p2,p1≤x≤p2;
??p2-p1,x>p2.

所以 g(x)max=p2-p1,故只

需 p2-p1≤log32. 综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件是|p1-p2|≤log32. (2)证明:分两种情形讨论.

①当|p1-p2|≤log32 时,由(1)知 f(x)=f1(x)(对所有实数 x∈[a,b]),则由 f(a) =f(b)及 a<p1<b 易知 p1=a+2 b.再由 f1(x)=?????33px-1-p1x, ,xx<≥pp1,1, 的单调性可知,f(x) 在区间[a,b]上的单调增区间的长度为 b-a+2 b=b-2 a.

②当|p1-p2|>log32 时,不妨设 p1<p2,则 p2-p1>log32.于是,当 x≤p1 时,有 f1(x)=3p1-x<3p2-x<f2(x),从而 f(x)=f1(x).
当 x≥p2 时,f1(x)=3x-p1=3p2-p1·3x-p2>3log32·3x-p2=f2(x),从而 f(x)=f2(x).
当 p1<x<p2 时,f1(x)=3x-p1 及 f2(x)=2·3p2-x,由方程 3x0-p1=2·3p2-x0,解得 f1(x)

与 f2(x)图象交点的横坐标为 x0=p1+2 p2+12log32.①

显然 p1<x0=p2-12[(p2-p1)-log32]<p2,这表明 x0 在 p1 与 p2 之间.

由①易知 f(x)=?????ff12((xx)), ,px01<≤x≤x≤px2.0,

综上可知,在区间[a,b]上,f(x)=?????ff12((xx)), ,ax0≤<xx≤≤bx.0,
故由函数 f1(x)与 f2(x)的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度 之和为(x0-p1)+(b-p2),由于 f(a)=f(b),即 3p1-a=2·3b-p2,得

p1+p2=a+b+log32.② 故由①②得(x0-p1)+(b-p2)=b-12(p1+p2-log32)=b-2 a.

综合①、②可知,f(x)在区间[a,b]上单调增区间的长度之和为b-2 a.

第二节 对数函数

A组 1.(2009 年高考广东卷改编)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,

其图象经过点( a,a),则 f(x)=________. 解析:由题意 f(x)=logax,∴a=logaa12=12,∴f(x)=log12x.答案:log12x
2.(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大 小关系是________.

解析:a=log3π>1,b=log2 3=12log23∈(12,1),c=log3 2=12log32∈(0,12), 故有 a>b>c.答案:a>b>c

3.若函数

f(x)=

???? ??

1 4

?? ?

x

,

x

?

[?1,0)

,则

f(log43)=________.

??4x , x ?[0,1]

解析:0<log43<1,∴f(log43)=4log43=3.答案:3

4.如图所示,若函数 f(x)=ax-1 的图象经过点(4,2),则函数 g(x)=logax+1 1的图

象是________.

1
解析:由已知将点(4,2)代入 y=ax-1,∴2=a4-1,即 a=23>1.
又x+1 1是单调递减的,故 g(x)递减且过(0,0)点,∴④正确.答案:④ 5.(原创题)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f(20110)=4,则 f(2010)的值为_.
解析:设 F(x)=f(x)-2,即 F(x)=alog2x+blog3x,则 F(1x)=alog21x+blog31x= -(alog2x+blog3x)=-F(x),∴F(2010)=-F(20110)=-[f(20110)-2]=-2,
即 f(2010)-2=-2,故 f(2010)=0.答案:0 6.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0 且 a≠1).(1)求 f(log2x)的 最小值及相应 x 的值;(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1),求 x 的取值范围.
解:(1)∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a=1, ∴a=2.又∵log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=2.∴f(x)=x2-x+2. ∴f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x-12)2+74. ∴当 log2x=12,即 x= 2时,f(log2x)有最小值74.

(2)由题意知?????(lologg22(xx)22--xl+og22x)<+2.2>2, ∴?????l0o<gx22x-<0x或+l2o<g42x.>1,

∴???0<x<1或x>2, ??-1<x<2.

∴0<x<1.

B组

1.(2009 年高考北京卷改编)为了得到函数 y=lgx+103的图象,只需把函数 y=lgx

的图象上所有的点________. 解析:∵y=lgx+103=lg(x+3)-1,∴将 y=lgx 的图象上的点向左平移 3 个

单位长度得到 y=lg(x+3)的图象,再将 y=lg(x+3)的图象上的点向下平移 1 个

单位长度得到 y=lg(x+3)-1 的图象.

答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

2.(2010 年安徽黄山质检)对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下







①f(x1



x2)



f(x1)



f(x2)



②f(x1·x2)



f(x1)



f(x2)





f(x1)-f(x2) x1-x2

>0



④f(x1+2 x2)<f(x1)+2 f(x2).上述结论中正确结论的序号是________.

解析:由运算律 f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2=f(x1x2),所以②对;因为 f(x) 是定义域内的增函数,所以③正确;f(x1+2 x2)=lgx1+2 x2,f(x1)+2 f(x2)=lgx1+2 lgx2=

lg x1x2,∵x1+2 x2≥ x1x2,且 x1≠x2,∴lgx1+2 x2>lg x1x2,所以④错误.

答案:②③

3.(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b,定义运算“*”如下:

a*b=???a(a≤b) ??b(a>b)

,则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x 的值域为________.
2

解析:在同一直角坐标系中画出 y=log12(3x-2)和 y=log2x 两个函数的图象,

由图象可得

??log2x

(0<x≤1)

f(x)=???log12(3x-2) (x>1)

,值域为(-∞,0].答案:(-∞,0]

4.已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关 于 x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 的值为________.

解析:由 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,得 f(x)=lnx,因为 y=g(x)的图象与 y =f(x)的图象关于 x 轴对称,故有 g(x)=-lnx,g(a)=1?lna=-1,所以 a=1e.
答案:1e 5.已知函数 f(x)满足 f(x+2|x|)=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是________.
解析:由 log2 x|x|有意义可得 x>0,所以,f(x+2|x|)=f(1x),log2 x|x|=log2x, 即有 f(1x)=log2x,故 f(x)=log21x=-log2x.答案:f(x)=-log2x,(x>0) 6.(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5, 则 x1+x2=________.
解析:由题意 2x1+2x1=5,①2x2+2log2(x2-1)=5,②所以 2x1=5-2x1, x1=log2(5-2x1),即 2x1=2log2(5-2x1).令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t -2)=2+2log2(t-1),∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2,于是 2x1=7- 2x2.∴x1+x2=T2.答案:72 7.当 x∈[n,n+1),(n∈N)时,f(x)=n-2,则方 程 f(x)=log2x 根的个数是________.
解析:当 n=0 时,x∈[0,1),f(x)=-2; 当 n=1 时,x∈[1,2),f(x)=-1; 当 n=2 时,x∈[2,3),f(x)=0; 当 n=3 时,x∈[3,4),f(x)=1; 当 n=4 时,x∈[4,5),f(x)=2; 当 n=5 时,x∈[5,6),f(x)=3.答案:2 8.(2010 年福建厦门模拟)已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是________.
解析:由题知,a=1b,则 f(x)=(1b)x=b-x,g(x)=-logbx,当 0<b<1 时,f(x) 单调递增,g(x)单调递增,②正确;当 b>1 时,f(x)单调递减,g(x)单调递减.
答案:② 9.已知曲线 C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与函数 y=log3x 及函数 y=3x 的图象分别 交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x12+x22 的值为________.
解析:∵y=log3x 与 y=3x 互为反函数,所以 A 与 B 两点关于 y=x 对称,所 以 x1=y2,y1=x2,∴x12+x22=x12+y12=9.答案:9 10.已知函数 f(x)=lgkxx--11(k∈R 且 k>0).(1)求函数 f(x)的定义域;
(2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围.

解:(1)由kxx--11>0 及 k>0 得xx- -11k>0,即(x-1k)(x-1)>0.

①当 0<k<1 时,x<1 或 x>1k;②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;③当 k>1 时,x<1k

或 x>1.综上可得当 0<k<1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪(1k,+∞);

当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞,1k)∪(1,+∞).

(2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴1100k--11>0,∴k>110.

又 f(x)=lgkxx--11=lg(k+kx- -11),故对任意的 x1,x2,当 10≤x1<x2 时,恒有

f(x1)<f(x2) , 即

lg(k



k-1 x1-1)<lg(k



k-1 x2-1

)





k-1 x1-1

<

k-1 x2-1



∴(k



1 1)·(x1-1



x2-1 1)<0,又∵x1-1 1>x2-1 1,∴k-1<0,∴k<1.综上可知 k∈(110,1). 11.(2010 年天津和平质检)已知 f(x)=loga11+ -xx(a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域;

(2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

解:(1)由11+ -xx>0 ,解得 x∈(-1,1).

(2)f(-x)=loga11+-xx=-f(x),且 x∈(-1,1),∴函数 y=f(x)是奇函数.

(3)若 a>1,f(x)>0,则11+ -xx>1,解得 0<x<1;若 0<a<1,f(x)>0,则 0<11+ -xx<1,

解得-1<x<0.

12.已知函数 f(x)满足 f(logax)=a2-a 1(x-x-1),其中 a>0 且 a≠1.

(1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合;

(2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围.

解:令 logax=t(t∈R),则 x=at,∴f(t)=a2-a 1(at-a-t),

∴f(x)=a2-a 1(ax-a-x).∵f(-x)=a2-a 1(a-x-ax)=-f(x),

∴f(x)是 R 上的奇函数.

当 a>1 时,a2-a 1>0,ax 是增函数,-a-x 是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数;

当 0<a<1,a2-a 1<0,ax 是减函数,-a-x 是减函数,∴f(x)是 R 上的增函数.

综上所述,a>0 且 a≠1 时,f(x)是 R 上的增函数. (1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 有 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),

??1-m<m2-1, ∴?-1<1-m<1,
??-1<m2-1<1.

解得 m∈(1, 2).

(2)∵f(x)是 R 上的增函数,∴f(x)-4 也是 R 上的增函数,由 x<2,得 f(x)<f(2), ∴f(x)-4<f(2)-4,要使 f(x)-4 的值恒为负数,只需 f(2)-4≤0,

即a2-a 1(a2-a-2)-4≤0,解得 2- 3≤a≤2+ 3,

∴a 的取值范围是 2- 3≤a≤2+ 3且 a≠1.

第三节 幂函数与二次函数的性质

A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集为________.
解析:∵a>1,0<b<1,∴alogb(x-3)>1?logb(x-3)>0?logb(x-3)>logb1?0<x -3<1?3<x<4.答案:{x|3<x<4}
2
2.(2010 年广东广州质检)下列图象中,表示 y=x 3 的是________.

解析:y=x

2 3

=3

x2是偶函数,∴排除②、③,当

x>1

时,

x
2

1

2

=x 3 >1,∴x>x 3 ,

x3

∴排除①.答案:④ 3.(2010 年江苏海门质检)若 x∈(0,1),则下列结论正确的是__________.

1
①2x>x 2 >lgx

1
②2x>lgx>x 2

1
③x 2 >2x>lgx

1
④lgx>x 2 >2x

1
解析:∵x∈(0,1),∴2>2x>1,0<x 2 <1,lgx<0.答案:① 4.(2010 年东北三省模拟)函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有

三个零点,则 a=__________. 解析:先画出 f(x)=4x-x2 的图象,再将 x 轴下方
的图象翻转到 x 轴的上方,如图,y=a 过抛物线顶点
时恰有三个交点,故得 a 的值为 4.答案:4
1
5.(原创题)方程 x2=logsin1x 的实根个数是__________.

1
解析:在同一坐标系中分别作出函数 y1=x 2 和 y2=logsin1x 的图象,可知只有惟一一个交点.答案:1

6.(2009 年高考江苏卷)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)·|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式
h(x)≥1 的解集. 解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即 a<0.由 a2≥1 知 a≤-1.因此,
a 的取值范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|
=???3(x-a3)2+23a2,x>a, ① ??(x+a)2-2a2,x≤a, ②
(ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2,由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. (ⅱ)当 a<0 时,f(a3)=23a2.若 x>a,则由①知 f(x)≥23a2; 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2>23a2.此时 g(a)=23a2.
??-2a2, a≥0, 综上,得 g(a)=???23a2, a<0.

(3)(ⅰ)当 a∈(-∞,- 26]∪[ 22,+∞)时,解集为(a,+∞); (ⅱ)当 a∈[- 22, 22)时,解集为[a+ 33-2a2,+∞); (ⅲ)当 a∈(- 26,- 22)时,解集为(a,a- 33-2a2]∪[a+ 33-2a2,+∞).
B组 1.(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,-18),则满足 f(x) =27 的 x 的值是__________.
解析:设幂函数为 y=xα,图象经过点(-2,-18),则-18=(-2)α,∴α=- 3,∵x-3=27,∴x=13.答案:13 2.(2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表:
1 x1 2

f(x) 1

2 2

则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________.

解析:由表知 22=(12)α,∴α=12,∴f(x)=x12.∴(|x|)12≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4.

答案:{x|-4≤x≤4}

3.(2010 年广东江门质检)设 k∈R,函数 f(x)=???1x(x>0), F(x)=f(x)+kx,x∈R. ??ex(x≤0),

当 k=1 时,F(x)的值域为__________. 解析:当 x>0 时,F(x)=1x+x≥2;当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数
与幂函数的单调性,F(x)是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,所以 k=1 时,F(x) 的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).答案:(-∞,1]∪[2,+∞)

4.设函数 f(x)=?????- x2+2 bx+c

(x>0), (x≤0), 若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不

等式 f(x)≤1 的解集为__________.

解析:由 f(-4)=f(0),得 b=4.又 f(-2)=0,可得 c=4,∴?????xx2≤+04,x+4≤1

或???x>0, ??-2≤1,

可得-3≤x≤-1 或 x>0.答案:{x|-3≤x≤-1 或 x>0}

5.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=?????4x2x+-4xx2,,

x≥0, 若 f(2-a2)>f(a),
x<0.

则实数 a 的取值范围是__________.

解析:函数 f(x)=?????x42x+-4xx2, ,xx≥ <00,, 的图象如图.

知 f(x)在 R 上为增函数.

∵f(2-a2)>f(a),即 2-a2>a.

解得-2<a<1.

答案:-2<a<1

6.(2009 年高考江西卷改编)设函数 f(x)= ax2+bx+c

(a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(t))

(s , t∈D) 构 成 一 个 正 方 形 区 域 , 则 a 的 值 为

__________.

解析:由题意定义域 D 为不等式 ax2+bx+c≥0 的解集.∵ax2+bx+c=a(x

+2ba)2+4ac4-a b2,∵a<0,∴0≤y≤

4ac4-a b2,∴所有点(s,f(t)),(s,t∈D)

构成一个正方形区域,意味着方程 ax2+bx+c=0 的两根 x1,x2 应满足|x1-x2|= 4ac4-a b2,由根与系数的关系知4ac4-a b2=ba22-4ac=b2-a24ac,∴4a=-a2.∵a<0,

∴a=-4.答案:-4

7.(2010 年辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)=?????- -2x2++xb,x+x>c0,,x≤0. 若 f(0)=-2f(-

1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点的个数为__________. 解析:∵f(0)=1,∴c=1.又 f(-1)=-12,∴-1-b+1=-12,∴b=12.当 x>0

时,g(x)=-2+2x=0,∴x=1;当 x≤0 时,g(x)=-x2+12x+1+x=0,∴x2-32

x-1=0,∴x=2(舍)或 x=-12,所以有两个零点.答案:2 8.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时,f(x)是奇函数;②b =0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程 f(x)=0 至多有两个实根.其中正确的命题是__________.
解析:c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x)是奇函 数;b=0,c>0 时,f(x)=x|x|+c=0,∴x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x)=

-x2+c=0,∴x=- c,有一个实数根.答案:①②③ 9.(2010 年湖南长沙质检)对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果 对于区间[a,b]中的任意数 x 均有|f(x)-g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a, b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x)=x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某 个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是________.
①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4] 解析:|m(x)-n(x)|≤1?|x2-5x+7|≤1,解此绝对值不等式得 2≤x≤3,故 在区间[2,3]上|m(x)-n(x)|的值域为[0,1],∴|m(x)-n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立. 答案:③

10.设函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以证明. 解:(1)证明:f(1)=0?1+2b+c=0?b=-c+2 1.又 c<b<1,故 c<-c+2 1<1

?-3<c<-13.方程 f(x)+1=0 有实根,即 x2+2bx+c+1=0 有实根,故 Δ=4b2 -4(c+1)≥0,即(c+1)2-4(c+1)≥0?c≥3 或 c≤-1.又 c<b<1,得-3<c≤-1,
由 b=-c+2 1知 b≥0. (2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1),f(m)=-1<0, ∴c<m<1,∴c-4<m-4<-3<c,∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0, ∴f(m-4)的符号为正. 11.(2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=-a2,3a>2c>2b,

求证:(1)a>0 且-3<ba<-34;(2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设 x1、

x2 是函数 f(x)的两个零点,则

2≤|x1-x2|<

57 4.

证明:(1)∵f(1)=a+b+c=-a2,∴3a+2b+2c=0. 又 3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0,∴a>0,b<0.又 2c=-3a-2b,由 3a>2c>2b, ∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0,∴-3<ba<-34.

(2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c,

①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 f(1)=-a2<0,

∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.

②当 c≤0 时,∵a>0,∴f(1)=-a2<0 且 f(2)=a-c>0,∴函数 f(x)在区间(1,2)

内至少有一个零点.综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点.

(3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个





∴x1



x2





b a



x1x2



c a





3 2



b a



∴|x1



x2|



(x1+x2)2-4x1x2 =

(-ba)2-4(-32-ba)=

(ba+2)2+2.∵-3<ba<-34,∴

2≤|x1-x2|<

57 4.

12.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0,a、b∈R),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实

根为 x1、x2,方程 f(x)=x 的两实根为 α、β.(1)若|α-β|=1,求 a、b 的关系式;(2) 若 a、b 均为负整数,且|α-β|=1,求 f(x)的解析式;(3)若 α<1<β<2,求证:(x1
+1)(x2+1)<7. 解:(1)由 f(x)=x 得 ax2+3x+b=0(a<0,a、b∈R)有两个不等实根为 α、β,

∴Δ=9-4ab>0,α+β=-3a,α·β=ba.由|α-β|=1 得(α-β)2=1,

即(α+β)2-4αβ=a92-4ab=1,∴9-4ab=a2,即 a2+4ab=9(a<0,a、b∈R).

(2)由(1)得 a(a+4b)=9,∵a、b 均为负整数,

∴???a=-1

或???a=-9

或???a=-3,

显然后两种情况不合题

??a+4b=-9 ??a+4b=-1 ??a+4b=-3,

意,应舍去,从而有???a=-1,

∴???a=-1,

??a+4b=-9, ??b=-2.

故所求函数解析式为 f(x)=-x2+4x-2.

(3)证明:由已知得 x1+x2=-4a,x1·x2=ba,又由 α<1<β<2 得 α+β=-3a<3,

α·β=ba<2,∴-1a<1,∴(x1+1)(x2+1)=x1·x2+(x1+x2)+1=ba-4a+1<2+4+1=7,

即(x1+1)(x2+1)<7.

第四节 函数的图像特征

A组
1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对 称.命题乙:函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命 题正确的是__________.
解析:可举实例说明如 f(x)=2x,依次作出函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象 判断.答案:甲

2.(2010 年济南市高三模拟考试)函数 y=|xx|·ax(a>1)的图象的基本形状是_____.

解析:先去绝对值将已知函数写成分段函数形式,再作图象即可,函数解析 式:y=?????-ax(axx>(x0<) 0) ,由指数函数图象易知①正确. 答案:①
3.已知函数 f(x)=(15)x-log3x,若 x0 是方程 f(x)=0 的 解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值为__________(正负情况).
解析:分别作 y=(15)x 与 y=log3x 的图象,如图可知, 当 0<x1<x0 时,(15)x1>log3x1,
∴f(x1)>0.答案:正值 4.(2009 年高考安徽卷改编)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____.
解析:∵x>b 时,y>0.由数轴穿根法,从右上向左下穿,奇次穿偶次不穿可 知,只有③正确.答案:③ 5.(原创题)已知当 x≥0 时,函数 y=x2 与函数 y=2x 的图 象如图所示,则当 x≤0 时,不等式 2x·x2≥1 的解集是 __________.
解析:在 2x·x2≥1 中,令 x=-t,由 x≤0 得 t≥0, ∴2-t·(-t)2≥1,即 t2≥2t,由所给图象得 2≤t≤4, ∴2≤-x≤4,解得-4≤x≤-2. 答案:-4≤x≤-2

?3-x2, x∈[-1,2], 6.已知函数 f(x)= ??x-3, x ∈(2,5].
(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.,
(2)由图象可知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. B组
1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln11- +xx的图象只可能是__________.
解析:本题中 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},从而排除②③选项.又由于 u(x) =-1+1+2 x在定义域{x|-1<x<1}内是减函数,而 g(x)=lnx 在定义域(0,+∞) 内是增函数,从而 f(x)=ln11- +xx=ln(-1+1+2 x)在定义域{x|-1<x<1}是减函数.
答案:① 2.家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造 集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时 间 T 内完成预期的运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如 下图所示.在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是
解析:运输效率是运输总量 Q 与时间 t 的函数的导数,几何意义为图象的切 线,切线斜率的增长表明运输效率的提高,从图形看,②正确.
答案:②

3.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是__________.
解析:设 C(a,4a),所以 A(a,2a),B(2a,4a),又 O,A,B 三点共线,所以2aa=24aa,故 4a=2×2a,所以 2a=0(舍去)或 2a=2,即 a=1,所以点 A 的坐标是(1,2).答案:(1,2) 4.已知函数 f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞) 上的奇函数,当 x>0 时,g(x)=log2x,则函数 y=f(x)·g(x)的大致图象为__________.
解析:f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(x)·g(x)为奇函数,图象关于原点 对称,当 x→+∞时,f(x)→-∞,g(x)→+∞,所以 f(x)·g(x)→-∞答案:② 5.某加油机接到指令,给附近空中一运输机加油.运 输机的余油量为 Q1(吨),加油机加油箱内余油 Q2(吨), 加油时间为 t 分钟,Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图 象如右图.若运输机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地,问运输机的油料是否够用?________.
解析:加油时间 10 分钟,Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40 增加到 69,因而 10 分钟时间内运输机用油 1 吨.以后的 11 小时需用油 66 吨.因 69>66,故运输机的油料够用.答案:够用 6.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则 y= f(x)与 y=log7x 的交点的个数为__________.
解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 y=f(x)为周期为 2 的周期函数,作图. 答案:6
m
7.函数 y=xn(m,n∈Z,m≠0,|m|,|n|互质)图象如图所示, 则下列结论正确的是__________.
①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶 解析:由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0,+∞)上单调递减,

此时只需保证mn <0,即

mn<0,有

m

|m|

y=x n =x- |n| ;同时函数只在第一象限有图象,

则函数的定义域为(0,+∞),此时|n|定为偶数,n 即为偶数,由于两个数互质, 则 m 定为奇数.答案:② 8.(2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则 在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调性不同的是
①y=x2+1 ②y=|x|+1

③y=?????2x3x++11,,xx<≥0 0

④y=?????eex-,x,x≥x<00 解析:∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x3+1 在 (-∞,0)上为增函数.答案:③ 9.(2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于

直线 y=x 对称,且图象 C′关于点(2,-3)对称,则 a 的值为__________. 解析:∵C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称, ∴C′为 x(y+a+1)=ay+a2+1.整理得,y+1+a=1x--aa.

∵C′关于点(2,-3)对称,∴a=2.答案:2

10.作下列函数的图象: (1)y=|x|-1 1;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y=1|1--|xx||;(4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|.

解:(1)定义域{x|x∈R 且 x≠±1},且函数是偶函数.又当 x≥0 且 x≠1 时,

y=x-1 1.先作函数 y=1x的图象,并将图象向右平移 1 个单位,得到函数 y=x-1 1

(x≥0 且 x≠1)的图象(如图(a)所示).

又函数是偶函数,作关于 y 轴对称图象,得 y=|x|-1 1的图象(如图(b)所示).

?(x-12)2-94 (x≥2), ? (2)函数式可化为 y=
?-(x-12)2+49 (x<2).

其图象如图①所示.

??1+x 1-x

(x<0),

? (3)函数式化为 y= 1 (0≤x<1),

??-1 (x>1).

其图象如图②所示.

(4)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移 1 个单位长度,保留 x 轴 上方的部分,将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如 图③所示.

(5)先作出 y=2x 的图象,再将其图象在 y 轴左边的部分去掉,并作出 y 轴右 边的图象关于 y 轴对称的图象,即得 y=2|x|的图象,再将 y=2|x|的图象向右平移 1 个单位长度,即得 y=2|x-1|的图象,如图④所示.

11.已知函数

f(x)=-ax+a

(a>0 a



a≠1).(1)证明:函数

y=f(x)的图象关于点

(12,-12)对称;(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 解:(1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y),它关于点(12,-12)

对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由已知,y=-ax+a a,则-1-y=-1+ax+a a

=-ax+ax

a.,f(1-x)=-a1-x+a

=- a

a

aax+

a=-a+a·aa·xax=-ax+ax

. a

∴-1-y=f(1-x).即函数 y=f(x)的图象关于点(12,-12)对称. (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x).即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 12.设函数 f(x)=axx+-b1(x∈R,且 a≠0,x≠1a).(1)若 a=12,b=-32,指出 f(x)

与 g(x)=1x的图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab+1≠0, 则 f(x)的图象必关于直线 y=x 对称.

解:(1)a=12,b=-32,f(x)=12xx--321=2xx--23=2+x-1 2, ∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位,再沿 y 轴上移 2 个单位 得到,f(x)的图象的对称中心为点(2,2). (2)证明:设 P(x0,y0)为 f(x)图象上任一点,则 y0=axx00+-b1,P(x0,y0)关于 y =x 的对称点为 P′(y0,x0).由 y0=axx00+-b1得 x0=ayy00+-b1.∴P′(y0,x0)也在 f(x) 的图象上.故 f(x)的图象关于直线 y=x 对称.
第四章 函数应用
A组 1.已知函数 f(x)=?????xx((xx+ -44)), ,xx<≥00,. 则函数 f(x)的零点个数为________.
解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图象与 x 轴有三个交点,即函 数的零点有 3 个.答案:3 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___.

x

-1 0 1

2

3

ex

0.37 1 2.72 7.39 20.09

x+2

1

2

3

4

5

解析:据题意令 f(x)=ex-x-2,由于 f(1)=e1-1-2=2.72-3<0,f(2)=e2

-4=7.39-4>0,故函数在区间(1,2)内存在零点,即方程在相应区间内有根.

答案:(1,2)

3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)·f(a)<0,则方程 f(x)=0 在

区间[-a,a]内根的个数是__________.

解析:由题意函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)·f(a)<0,根据

零点存在定理知:在区间[0,a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0,又函数

f(x)是偶函数,故其在[-a,0]也惟一存在一个零点,所以方程 f(x)=0 在区间[-a, a]内根的个数为 2.答案:2

4.(2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分

时计价.该地区的电网销售电价表如下:

高峰时间段用电价格表

低谷时间段用电价格表

高峰月用电量 (单位:千瓦时)

高峰电价 (单位:元/千
瓦时)

低谷月用电量 (单位:千瓦时)

低谷电价 (单位:元/千瓦
时)

50 及以下的部分

0.568

50 及以下的部分

0.288

超过 50 至 200 的部 分

0.598

超过 50 至 200 的部分

0.318

超过 200 的部分

0.668

超过 200 的部分

0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元
解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元).答案:148.4 5.(原创题)已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最 小值为________.

解析:作 f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即 f(x)=a,当 a=1 时,g(x)有无 数个零点;当 a>1 时,g(x)有 2 个零点;∴a 的最小值为 1.答案:1

??0.1+15lna-a x,x≤6, ??? 6.(2009 年高考上海卷)有时可用函数 f(x)= xx--44.4,x>6,

描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数 (x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关.
(1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 解:(1)证明:当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)=(x-30).(4x-4).而当 x≥7 时,函数 y =(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. (2)由题意可知 0.1+15lna-a 6=0.85,整理得a-a 6=e0.05, 解得 a=e0e.005.-05 1·6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127]. 由此可知,该学科是乙学科.
B组 1.(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的 一组试验数据:

x 1.99 3

4 5.1 6.12

y 1.5 4.04 7.5 12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的

一个是________ ①y=2x-2

②y=(12)x

③y=log2x

④y=12(x2-1)

解析:代入点(2,1.5),(3,4)检验.答案:④ 2.(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____.
①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 解析:因为 f(0)=-6<0,f(1)=2+1-7=-4<0,f(2)=22+2-7=-1<0, f(3)=23+3-7=4>0,所以函数的零点在区间(2,3)内.答案:③ 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[12,2]内的零点的个数是______.
解析:易知 g(x)=x 与 h(x)=log2x 均为增函数,故函数 f(x)为增函数,且 f(2)·f(12)<0,故函数有且只有一个零点.答案:1
4.(2010 年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与 细胞数 n(单位:个)的部分数据如下:

t 0 20 60 140

n 1 2 8 128
根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟.
t
解析:由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n=220,令 n=1000,
t
得 220=1000,又 210=1024,所以时刻 t 最接近 200 分钟.答案:200

5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生

产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)=12n(n+1)(2n+1)吨,但如果

年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条

生产线拟定最长的生产期限是________年.

解析:由题知第一年产量为 a1=12×1×2×3=3;以后各年产量分别为 an=

f(n)-f(n-1)=12n·(n+1)(2n+1)-12n·(n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*),令 3n2≤150,

得 1≤n≤5 2?1≤n≤7,故生产期限最长为 7 年.答案:7

6.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下:

起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但

不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每

千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付

费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km.

解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意可得:

f(x)



8+1, x∈(0,3]

9+(x-3)×2.15, x∈(3,8]

9+5×2.15+(x-8)×2.85, x∈(8, +∞)

令 f(x)=22.6,解得 x=9.答案:9 7.(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案, 他分别以 A、B、C、D 为圆心,以 b(0<b≤32)为半径画圆,由正方形内的圆弧与

正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形,则这些 图形中实线部分总长度的最小值为________.
解析:由题意实线部分的总长度为 l=4(3-2b)+2πb= (2π-8)b+12,l 关于 b 的一次函数的一次项系数 2π-8<0, 故 l 关于 b 的函数单调递减,因此,当 b 取最大值时,l 取
得最小值,结合图形知,b 的最大值为32,代入上式得 l 最小
=(2π-8)×32+12=3π.答案:3π 8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg,火 箭(除燃料外)的质量 m kg 的函数关系是 v=2000·ln(1+M/m).当燃料质量是火箭 质量的________倍时,火箭的最大速度可达 12 km/s.
解析:由题意得 2000ln(1+Mm)≤12000,∴Mm≤e6-1.答案:e6-1 9 . (2010 年 浙 江 省 宁 波 市 十 校 高 三 联 考 ) 定 义 域 为 R 的 函 数 f(x) =

???|x-1 1|, x≠1 ??1, x=1

若关于 x 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+12有 5 个不同的零点 x1,x2,

x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 等于________.

解析:假设关于 t 的方程 t2+bt+12=0 不存在 t=1 的根,则使 h(x)=0 的 f(x)

的值也不为 1,而显然方程 f(x)=k 且 k≠1 的根最多有两个,而 h(x)是关于 f(x) 的二次函数,因此方程 h(x)=0 的零点最多有四个,与已知矛盾,可见 t=1 时 t2

+bt+12=0,即得 b=-32,所以 h(x)=f 2(x)-32f(x)+12=12(f(x)-1)(2f(x)-1),而

方程 f(x)-1=0 的解为 x=0,1,2,方程 2f(x)-1=0 的解为 x=-1,3,由此可见五

根分别为-1,0,1,2,3,因此直接计算得上述五数的平方和为 15.答案:15

10.(2010 年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价 的 80%出售.同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应

金额的奖券:,

消费金额(元)的范围

[200, 400)

[400,500)

[500,700)

[700,900) …

获得奖券的金额(元) 30

60

100

130



根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价

为 400 元的商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=

110(元).设购买商品的优惠率=购买商商品品获的得标的价优惠额.试问:

(1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少?

(2)对于标价在[500,800)(元)的商品,顾客购买标价为多少元的商品时,可得

到不小于13的优惠率? 解:(1)1000×1000.20+130=13030,即顾客得到的优惠率是13030. (2)设商品的标价为 x 元,则 500≤x<800.则消费金额满足 400≤0.8x<640. 当 400≤0.8x<500,即 500≤x<625 时,由0.2xx+60≥13解得 x≤450,不合题
意;当 500≤0.8x<640.即 625≤x<800 时,由0.2x+x 100≥13解得 625≤x≤725. 因此,当顾客购买标价在[625,725](元)内的商品时,可得到不小于13的优惠率.
11.已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对 国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策 略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有 员工的 5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若待岗 员工人数为 x,则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-18010x)万元.为使企业 年利润最大,应安排多少员工待岗?
解:设重组后,该企业年利润为 y 万元.依题意得 y=(2000-x)(3.5+1-18010x)-0.5x=-5(x+32x4)+9000.81, ∴y=-5(x+32x4)+9000.81(0<x≤100 且 x∈N), y=-5(x+32x4)+9000.81≤-5×2 324+9000.81=8820.81, ∴当且仅当 x=32x4,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. 即为使企业年利润最大,应安排 18 人待岗. 12.(2010 年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润 =(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加, 则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(-x2+2x+53),则当 x 为何值时, 本年度的年利润最大?最大利润为多少? 解:(1)由题意得:上年度的利润为(13-10)×5000=15000 万元; 本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x)万元; 本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x)万元; 本年度年销售量为 5000×(1+0.4x)辆. 因此本年度的利润为 y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+ 0.4x)=-1800x2+1500x+15000(0<x<1).

由-1800x2+1500x+15000>15000,解得

5 0<x<6.

为使本年度的年利润比上年度有所增加,则

5 0<x<6.

(2)本年度的利润为

f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×3240×(-x2+2x+53)=3240×(0.9x3-

4.8x2+4.5x+5),

则 f′(x)=3240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3).

令 f′(x)=0,解得 x=59或 x=3(舍去).

当 x∈(0,59)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;

当 x∈(59,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.

∴当 x=59时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(59)=20000.

即当 x=59时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元

第五章三角函数

第一节 角的概念的推广与弧度制

A组 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运 动π3弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为________.

解析:由于点 P 从(-1,0)出发,顺时针方向运动π3弧

长到达 Q 点,如图,因此 Q 点的坐标为(cos23π,sin23π),



Q(-12,

23).答案:(-12,

3 2)

2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________.

①tanα2 ②sinα2 ③cosα2 ④cos2α

解析:α

为第四象限角,则α2为第二、四象限角,因此

α tan2<0

恒成立,应填

①,其余三个符号可正可负.答案:①

3.(2008 年高考全国卷Ⅱ改编)若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第_______象限的角. 答案:三

4.函数 y=|ssiinnxx|+|ccoossxx|+|ttaannxx|的值域为________. 解析:当 x 为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3; 当 x 为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1;

当 x 为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1; 当 x 为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:{-1,3}

5.(原创题)若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα·cosα= 43,则 a 的值 为________.
解析:依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且

sinα·cosα= 43,易得 tanα= 3或 33,则 a=-4 3或-43 3.答案:-4 3或-43 3

6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα= 42y,求 cosα, tanα 的值.

解:因为 sinα= 42y=

y

,所以 y2=5,

(- 3)2+y2

当 y= 5时,cosα=- 46,tanα=- 315;

当 y=-

5时,cosα=- 46,tanα=

15 3.

B组

1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________.

解析:当 a>0 时,点 P(a,a)在第一象限,sinα= 22;



a<0

时,点

P(a,-a)在第二象限,sinα=

22.答案:

2 2

2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____.

解析:设扇形的圆心角为 α rad,半径为 R,则

??2R+α·R=6

???12R2·α=2

,解得 α=1 或 α=4.答案:1 或 4

3.如果一扇形的圆心角为 120°,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. 解析:S=12|α|r2=12×23π×100=1030π(cm2).答案:1300π cm2
4.若角 θ 的终边与 168°角的终边相同,则在 0°~360°内终边与θ3角的终边相同 的角的集合为__________.答案:{56°,176°,296°} 5.若 α=k·180°+45°(k∈Z),则 α 是第________象限.
解析:当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故 α 为 第三象限角;当 k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,故 α 为第一象限角.
答案:一或三 6.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________.

解析:∵x=-6a,y=-8a,∴r= (-6a)2+(-8a)2=10|a|, ∴sinα-cosα=yr-xr=-81a0+|a|6a=-5|aa|=±15.答案:±15 7.(2010 年北京东城区质检)若点 A(x,y)是 300°角终边上异于原点的一点,则yx的

值为________. 解析:yx=tan300°=-tan60°=- 3.答案:- 3
8.(2010 年深圳调研)已知点 P(sin34π,cos34π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π), 则 θ 的值为________.
3π 解析:由 sin34π>0,cos34π<0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ=cos34π=-1,θ∈[0,2π),
sin 4

∴θ=74π.答案:74π

9.已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=kx 上,若 sinα= 2 , 5
且 cosα<0,则 k 的值为________. 解析:设 α 终边上任一点 P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx,

∴r= x2+(kx)2= 1+k2|x|.又 sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0,

∴r=-

1+k2x,且 k<0.∴sinα=yr=-

kx =- 1+k2x

k ,又 1+k2

sinα=

2 .
5

∴-

k= 1+k2

2 ,∴k=-2.答案:-2 5

10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.若 α=60°,R=10 cm,求扇 形的弧长及该弧所在的弓形面积.

解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60°=π3,R=10,∴l=130π(cm),

S 弓=S 扇-S△=12·130π·10-12·102sin60°=50(π3- 23)(cm2). 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm.
(1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,

??2r+l=8, (1)由题意可得???12lr=3,

解得???r=3, 或???r=1 ??l=2, ??l=6,

∴α=rl=23或 α=rl=6. (2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r=2+8 α.∴S 扇=12αr2=12α·(2+64α)2=α+3α42+4≤4,

当且仅当 α=α4,即 α=2 时,扇形面积取得最大值 4.此时,r=2+8 2=2 (cm),

∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm). 12.(1)角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα+cosα 的值;

(2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,用三角函数定义求 sinβ 的值.

解:(1)根据题意,有 x=4t,y=-3t,所以 r= (4t)2+(-3t)2=5|t|, ①当 t>0 时,r=5t,sinα=-35,cosα=45,所以 2sinα+cosα=-65+45=-25. ②当 t<0 时,r=-5t,sinα=--35tt=35,cosα=-4t5t=-45,

所以 2sinα+cosα=65-45=25.

(2)设 P(a, 3a)(a≠0)是角 β 终边 y= 3x 上一点,若 a<0,则 β 是第三象

限角,r=-2a,此时 sinβ=-32aa=- 23;若 a>0,则 β 是第一象限角,r=2a,

此时

sinβ=

23aa=

3 2.

第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

A组 1.若 cosα=-35,α∈(π2,π),则 tanα=________.
解析:cosα=-35,α∈(π2,π),所以 sinα=45,∴tanα=csoinsαα=-43. 答案:-43 2.(2009 年高考北京卷)若 sinθ=-45,tanθ>0,则 cosθ=________. 解析:由 sinθ=-45<0,tanθ>0 知,θ 是第三象限角,故 cosθ=-35. 答案:-35 3.若 sin(π6+α)=35,则 cos(π3-α)=________. 解析:cos(π3-α)=cos[π2-(π6+α)]=sin(π6+α)=35.答案:35 4.(2010 年合肥质检)已知 sinx=2cosx,则52ssiinnxx- +ccoossxx=______. 解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴52ssiinnxx-+ccoossxx=52ttaannxx- +11=95. 答案:95 5.(原创题)若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________. 解析:由 cos2θ+cosθ=0,得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ=-1 或 cosθ
=12,当 cosθ=-1 时,有 sinθ=0,当 cosθ=12时,有 sinθ=± 23.于是 sin2θ+sinθ
=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3.答案:0 或 3或- 3 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)=16609,且 α∈(π4,π2),求 cosα,sinα 的值.

解:由题意,得 2sinαcosα=112609.①又∵sin2α+cos2α=1,②

①+②得:(sinα+cosα)2=218699,②-①得:(sinα-cosα)2=14699.

又∵α∈(π4,π2),∴sinα>cosα>0,即 sinα+cosα>0,sinα-cosα>0,

∴sinα+cosα=1137.③sinα-cosα=173,④

③+④得:sinα=1132.③-④得:cosα=153.

B组

1.已知 sinx=2cosx,则 sin2x+1=________. 解析:由已知,得 tanx=2,所以 sin2x+1=2sin2x+cos2x=2ssiinn22xx++ccooss22xx=

2ttaann22xx++11=95.答案:95

2.(2010 年南京调研)cos103π=________.

解析:cos103π=cos43π=-cosπ3=-12.答案:-12

3.(2010 年西安调研)已知 sinα=35,且 α∈(π2,π),那么scions22αα的值等于________.

解析:cosα=- 1-sin2α=-45, scions22αα=2sicnoαsc2αosα=2csoisnαα=2-×435=-32. 5

答案:-32

4.(2010 年南昌质检)若 tanα=2,则ssiinnαα+ -ccoossαα+cos2α=_________________.

解析:ssiinnαα+ -ccoossαα+cos2α=ssiinnαα+-ccoossαα+sin2αco+s2cαos2α=ttaannαα+ -11+tan21α+1=

156.答案:156

5.(2010 年苏州调研)已知 tanx=sin(x+π2),则 sinx=___________________.

解析:∵tanx=sin(x+π2)=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得

sinx=

52-1.答案:

5-1 2

6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. 解析:由 cosθ(sinθ+cosθ)=1?sinθ·cosθ=1-cos2θ=sin2θ?sinθ(sinθ-cosθ)

=0?sinθ=0 或 sinθ-cosθ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0 或π4.答案:0 或π4

7.已知 sin(α+1π2)=13,则 cos(α+71π2)的值等于________.

解析:由已知,得 cos(α+71π2)=cos[(α+1π2)+π2]=-sin(α+1π2)=-13. 答案:-13 8.(2008 年高考浙江卷改编)若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________.

解析:由???scions2αα++2csoisn2αα==-1,

5, ②



将①代入②得( 5sinα+2)2=0,∴sinα=-2 5 5,cosα=- 55,∴tanα=2. 答案:2 9.已知 f(α)=sin(π-α)cocso(s2(π--πα-)tαa)n(-α+32π),则 f(-313π)的值为________. 解析:∵f(α)=sinα-·cocsoαs·αcotα=-cosα,∴f(-331π)=-cosπ3=-12.答案:-12 10.求 sin(2nπ+23π)·cos(nπ+43π)(n∈Z)的值. 解:(1)当 n 为奇数时,sin(2nπ+23π)·cos(nπ+43π)=sin23π·cos[(n+1)π+π3]

=sin(π-3π)·cosπ3=sinπ3·cosπ3=

23×12=

3 4.

(2)当 n 为偶数时,sin(2nπ+23π)·cos(nπ+43π)=sin23π·cos43π=sin(π-π3)·cos(π

+π3)=sin3π·(-cosπ3)=

23×(-12)=-

3 4.

11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求

△ABC 的三内角.

解:由已知,得??sinA= 2sinB,



? 3cosA= 2cosB, ②

①2+②2

得:2cos2A=1,即

cosA=±

2 2.

(1)当 cosA= 22时,cosB= 23,又 A、B 是三角形内角,∴A=π4,B=π6,∴C

=π-(A+B)=172π.(2)当 cosA=- 22时,cosB=- 23.又 A、B 是三角形内角,∴A =34π,B=56π,不合题意.综上知,A=π4,B=6π,C=172π.
12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). (1)若 a∥b,且 α∈[0,2π),将 m 表示为 α 的函数,并求 m 的最小值及相应的
α 值;(2)若 a⊥b,且 m=0,求cos(π2-coαs()π·s-inα(π)+2α)的值.

解:(1)∵a∥b,∴ 3cosα-1·(sinα-m)=0,∴m=sinα- 3cosα=2sin(α-

π3).

又∵α∈[0,2π),∴当 sin(α-π3)=-1 时,mmin=-2.

此时 α-π3=32π,即 α=161π.

(2)∵a⊥b,且 m=0,∴

3sinα+cosα=0.∴tanα=-

3 3.

∴cos(π2-coαs()π·s-inα(π)+2α)=sinα-·(-cossiαn2α)=tanα·2sinα·cosα

=tanα·si2ns2iαn+α·ccoossα2α=tanα·1+2tatannα2α=12.

第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质

A组

1.(2009 年高考四川卷改编)已知函数 f(x)=sin(x-π2)(x∈R),下面结论错误的是.

①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0,π2]上是增函数

③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数

解析:∵y=sin(x-π2)=-cosx,y=-cosx 为偶函数,

∴T=2π,在[0,π2]上是增函数,图象关于 y 轴对称.答案:④

2.(2009 年高考广东卷改编)函数 y=2cos2(x-π4)-1 是________.

①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为

π2的奇函数 ④最小正周期为π2的偶函数

解析:y=2cos2(x-π4)-1=cos(2x-π2)=sin2x,∴T=π,且为奇函数.

答案:①

3.(2009 年高考江西卷改编)若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x<2π,则 f(x)的最

大值为________.

解析:f(x)=(1+ 3·csoinsxx)·cosx=cosx+ 3sinx=2sin(x+6π),

∵0≤x<π2,∴π6≤x+π6<23π,∴当 x+π6=π2时,f(x)取得最大值 2.答案:2

4.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x=1π2,则 a 的

值为________.

解析:∵x=1π2是对称轴,∴f(0)=f(π6),即

cos0=asinπ3+cos3π,∴a=

3 3.

答案:

3 3

5.(原创题)设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x=π3对称,它的最 小正周期是 π,则 f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可).
解析:∵T=2ωπ=π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线 x=π3对称,所以有

sin(2×π3+φ)=±1,∴φ=k1π-π6(k1∈Z),由 sin(2x+k1π-π6)=0 得 2x+k1π-6π=

k2π(k2∈Z),∴x=1π2+(k2-k1)2π,当 k1=k2 时,x=1π2,∴f(x)图象的一个对称中 心为(1π2,0).答案:(1π2,0)

6.(2010 年宁波调研)设函数 f(x)=

3cos2x+sinxcosx-

3 2.

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间;

(2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和.

解:(1)f(x)= 23(cos2x+1)+12sin2x- 23= 23cos2x+12sin2x=sin(2x+π3),

故 T=π.由 2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),得 kπ-152π≤x≤kπ+1π2,

所以单调递增区间为[kπ-152π,kπ+1π2](k∈Z).

(2)令 f(x)=1,即 sin(2x+π3)=1,则 2x+π3=2kπ+π2(k∈Z).于是 x=kπ+1π2

(k∈Z),∵0≤x<3π,且 k∈Z,∴k=0,1,2,则1π2+(π+1π2)+(2π+1π2)=134π.

∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为143π. B组
1.函数 f(x)=sin(23x+2π)+sin23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________.

解析:f(x)=cos23x+sin23x= 2sin(23x+π4),相邻的两条对称轴之间的距离是 半个周期,T=22π=3π,∴T2=32π.答案:32π

3

2.(2010 年天津河西区质检)给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x=π3

对称.则下列四个函数中,同时具有性质 ab 的是________.

①y=sin(2x+6π)

②y=sin(2x+π6)

③y=sin|x| ④y=sin(2x-6π)

解析:④中,∵T=2ωπ=π,∴ω=2.又 2×π3-6π=π2,所以 x=π3为对称轴. 答案:④

3.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)若4π<x<π2,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为__.

解析:π4<x<π2,tanx>1,令 tan2x-1=t>0,则 y=tan2xtan3x=12-tatna4nx2x=2(t-+t1)2 =-2(t+1t +2)≤-8,故填-8.答案:-8 4.(2010 年烟台质检)函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[-23π,θ]上的最大值为 1, 则 θ 的值是________.
解析:因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其 在区间[-23π,θ]上的最大值为 1,可知 θ 只能取-π2. 答案:-π2 5.(2010 年苏北四市调研)若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[-23π,23π]上单调递增,则 ω 的最大值为________.
解析:由题意,得42ωπ≥23π,∴0<ω≤34,则 ω 的最大值为34.答案:34 6.(2010 年南京调研)设函数 y=2sin(2x+π3)的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[-π2,0],则 x0=________.
解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y=2sin(2x0+π3)=0, x0∈[-π2,0],得 x0=-π6.答案:-π6 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为π2, 直线 x=π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________. ①y=4sin(4x+π6)②y=2sin(2x+π3)+2③y=2sin(4x+π3)+2 ④y=2sin(4x+π6)+2
解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0,所以?????mA+-mA==04 ,解得 A =m=2,又最小正周期为2ωπ=2π,所以 ω=4,又直线 x=π3是其图象的一条对称 轴,将 x=π3代入得 sin(4×π3+φ)=±1,所以 φ+43π=kπ+2π(k∈Z),即 φ=kπ-56π (k∈Z),当 k=1 时,φ=π6.答案:④ 8.有一种波,其波形为函数 y=sinπ2x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰 (图象的最高点),则正整数 t 的最小值是________.
解析:函数 y=sinπ2x 的周期 T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则 t≥54T=5.答案:5
9.(2009 年高考安徽卷改编)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图 象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是________.

解析:∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+6π),且由函数 y=f(x)与直线 y=2 的 两个相邻交点间的距离为 π 知,函数 y=f(x)的周期 T=π,∴T=2ωπ=π,解得 ω =2,∴f(x)=2sin(2x+π6).令 2kπ-π2≤2x+6π≤2kπ+2π(k∈Z),得 kπ-π3≤x≤kπ +π6(k∈Z).答案:[kπ-π3,kπ+6π](k∈Z) 10.已知向量 a=(2sinωx,cos2ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x) =a·b,若 f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意 实数 x∈[6π,π3],恒有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 的取值范围.
解:(1)f(x)=a·b=(2sinωx,cos2ωx)·(cosωx,2 3)=sin2ωx+ 3(1+cos2ωx) =2sin(2ωx+3π)+ 3.∵相邻两对称轴的距离为 π,∴22ωπ =2π,∴ω=12,
∴f(x)=2sin(x+π3)+ 3. (2)∵x∈[π6,π3],∴x+3π∈[π2,23π],∴2 3≤f(x)≤2+ 3.又∵|f(x)-m|<2, ∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意 x∈[π6,π3],恒有|f(x)-m|<2 成立,则有

?-2+m≤2 ?

3,

解得

3≤m≤2+2

3.

?2+m≥2+ 3,

11.设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; (2)当 x∈[0,π6]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 解:(1)∵f(x)=a·b=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+6π)+m+1, ∴函数 f(x)的最小正周期 T=22π=π. 在[0,π]上的单调递增区间为[0,π6],[23π,π]. (2)当 x∈[0,π6]时,∵f(x)单调递增,∴当 x=π6时,f(x)取得最大值为 m+3,
即 m+3=4,解之得 m=1,∴m 的值为 1. 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2ω2x+m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0, π]时,函数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)= 1,且 2sin2B=cosB+cos(A-C),求 sinA 的值.
解:(1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+π6)-1+m. 依题意,函数 f(x)的最小正周期为 3π,即2ωπ=3π,解得 ω=23. ∴f(x)=2sin(23x+π6)-1+m.

当 x∈[0,π]时,6π≤23x+π6≤56π,12≤sin(23x+π6)≤1,

∴f(x)的最小值为 m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin(23x+π6)-1.

(2)由题意,得 f(C)=2sin(23C+6π)-1=1,∴sin(23C+π6)=1.

而π6≤23C+π6≤56π,∴23C+π6=π2,解得 C=π2.∴A+B=π2.

在 Rt△ABC 中,∵A+B=π2,2sin2B=cosB+cos(A-C).

∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得 sinA=-12±

5.∵0<sinA<1,∴sinA=

5-1 2.

第四节 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像

A组

1.(2009 年高考浙江卷改编)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可

能是________.

解析:函数的最小正周期为 T=2|aπ|,∴当|a|>1 时,T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π, 观察图形中周期与振幅的关系,发现④不符合要求.答案:④ 2.(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后, 得到函数 y=sin(x-π6)的图象,则 φ 等于________.
解析:y=sin(x-6π)=sin(x-π6+2π)=sin(x+116π).答案:161π
3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函 数为奇函数,则 φ 的最小值为________.
解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x-π6),f(x)的图象向右平移 φ 个单位所 得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小值为56π.
答案:56π 4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π), x∈R 的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为

________. ①函数 f(x)的最小正周期为π2;

②函数 f(x)的振幅为 2 3; ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x=172π; ④函数 f(x)的单调递增区间为[1π2,172π]; ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x-23π). 解析:据图象可得:A= 3,T2=56π-π3?T=π,故 ω=2,又由 f(71π2)= 3? sin(2×71π2+φ)=1,解得 φ=2kπ-23π(k∈Z),又-π<φ<π,故 φ=-23π,故 f(x)= 3 sin(2x-23π),依次判断各选项,易知①②是错误的,由图象易知 x=71π2是函数图 象的一条对称轴,故③正确,④函数的单调递增区间有无穷多个,区间[1π2,71π2] 只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推导易知正确.答案:③⑤

5.(原创题)已知函数 f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立,则 ω 的最小值为________.
解析:显然结论成立只需保证区间[x1,x1+2010]能够包含函数的至少一个 2π

完整的单调区间即可,且 f(x)=sinωx+cosωx=

2sin(ωx+π4),则

2010≥

ω 2

?

ω≥20π10.答案:20π10

6.(2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx·sin(ωx+π2)+2cos2ωx,

x∈R(ω>0),在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6. (1)求 ω;

(2)若将函数 f(x)的图象向右平移π6个单位后,再将得到的图象上各点横坐标

伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大

值及单调递减区间.

解:(1)f(x)= 23sin2ωx+12cos2ωx+32=sin(2ωx+π6)+32, 令 2ωx+π6=π2,将 x=π6代入可得:ω=1. (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+π6)+32, 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin(12x-π6)+32, 当 x=4kπ+43π,k∈Z 时,函数取得最大值52. 令 2kπ+π2≤12x-6π≤2kπ+32π(k∈Z),

∴4kπ+43π≤x≤4kπ+130π(k∈Z). 即 x∈[4kπ+43π,4kπ+130π],k∈Z 为函数的单调递减区间.
B组 1.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象 如图所示,则 φ=________.
解析:由图可知,T2=2π-34π, ∴T=52π,∴2ωπ=52π,∴ω=45, ∴y=sin(45x+φ). 又∵sin(45×34π+φ)=-1, ∴sin(35π+φ)=-1, ∴35π+φ=32π+2kπ,k∈Z. ∵-π≤φ<π,∴φ=190π. 答案:190π 2.(2010 年南京调研)已知函数 y=sin(ωx+ φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ=________. 解析:由图象知 T=2(23π-π6)=π. ∴ω=2Tπ=2,把点(π6,1)代入,可得 2×π6+ φ=π2,φ=6π.答案:π6 3.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周 期为 π,为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象________. 解析:∵f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, ∴2ωπ=π,故 ω=2. 又 f(x)=sin(2x+π4)∴g(x)=sin[2(x+π8)+π4]=sin(2x+π2)=cos2x. 答案:向左平移π8个单位长度 4 . (2009 年高 考 辽 宁 卷改 编 )已 知 函 数 f(x)= Acos(ωx+φ) 的图象如图所示,f(π2)=-23,则 f(0) =________. 解析:T2=1112π-172π=π3,∴ω=2Tπ=3.

又(172π,0)是函数的一个上升段的零点,

∴3×172π+φ=32π+2kπ(k∈Z),得 φ=-π4+2kπ,k∈Z,

代入 f(2π)=-23,得 A=23 2,∴f(0)=23. 答案:23

5.将函数 y=sin(2x+π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图

象关于点(-1π2,0)中心对称.

解析:由 y=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)可知其函数图象关于点(-π6,0)对称,因

此要使平移后的图象关于(-1π2,0)对称,只需向右平移1π2即可.答案:右

π 12

6.(2010 年深圳调研)定义行列式运算:???aa13 aa24???=a1a4-a2a3,将函数 f(x)=
???1 3 scinosxx???的图象向左平移 m 个单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,
则 m 的最小值是________.

解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( 23sinx-12cosx)=2sin(x-π6),

其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x-π6+m),平移后其对称轴为 x-π6

+m=kπ+π2,k∈Z.若为偶函数,则 x=0,所以 m=kπ+23π(k∈Z),故 m 的最小

值为23π.答案:23π

7.(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y=tan(ωx+π4)(ω>0)的图象向右平移π6个

单位长度后,与函数 y=tan(ωx+π6)的图象重合,则 ω 的最小值为________.

解析:y=tan(ωx+π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式 y=tan[ω(x-6π)

+π4],即 y=tan(ωx+π4-π6ω),显然当π4-π6ω=π6+kπ(k∈Z)时,两图象重合,此

时 ω=12-6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0 时,ω 的最小值为12.答案:12

8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+π3)|的最小正周期是π2;②函数 y=sin(x-32π)

在区间[π,32π]上单调递增;③x=54π是函数 y=sin(2x+56π)的图象的一条对称轴.其 中真命题的个数是________.
解析:由于函数 y=sin(2x+π3)的最小正周期是 π,故函数 y=|sin(2x+π3)|的最

小正周期是π2,①正确;y=sin(x-32π)=cosx,该函数在[π,32π)上单调递增, ②

正确;当 x=54π时,y=sin(2x+56π)=sin(52π+56π)=sin(π2+56π)=cos56π=- 23,不 等于函数的最值,故 x=54π不是函数 y=sin(2x+56π)的图象的一条对称轴,③不 正确.答案:2 9.(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 时,不等式 sinπ2x≥kx 恒成立,则实数 k 的取 值范围是________.
解析:当 0≤x≤1 时,y=sinπ2x的图象如图所示,y =kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1]上的图象恒在 x 轴下方,原不等 式成立.
当 k>0,kx≤sinπ2x时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sinπ2x≥kx.答案:k≤1
10.(2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周 期为23π.(1)求 ω 的值;(2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移π2个单 位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间.
解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx·cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx +2= 2sin(2ωx+π4)+2,依题意,得22ωπ=23π,故 ω=32.
(2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x-π2)+π4]+2= 2sin(3x-54π)+2. 由 2kπ-π2≤3x-54π≤2kπ+π2(k∈Z),解得23kπ+π4≤x≤23kπ+71π2(k∈Z). 故 g(x)的单调增区间为[23kπ+π4,23kπ+71π2](k∈Z). 11.(2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ<π2) 的周期为 π,且图象上一个最低点为 M(23π,-2). (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0,1π2]时,求 f(x)的最值. 解:(1)由最低点为 M(23π,-2)得 A=2.由 T=π 得 ω=2Tπ=2ππ=2. 由点 M(23π,-2)在图象上得 2sin(43π+φ)=-2,即 sin(43π+φ)=-1, ∴43π+φ=2kπ-π2(k∈Z),即 φ=2kπ-116π,k∈Z.又 φ∈(0,2π),∴φ=π6, ∴f(x)=2sin(2x+π6). (2)∵x∈[0,1π2],∴2x+π6∈[π6,3π],∴当 2x+π6=π6,即 x=0 时,f(x)取得最

小值 1;当 2x+π6=π3,即 x=1π2时,f(x)取得最大值 3. 12.(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|<2π.
(1)若 cosπ4cosφ-sin34πsinφ=0,求 φ 的值; (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3, 求函数 f(x)的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单 位后所对应的函数是偶函数. 解:法一:(1)由 cosπ4cosφ-sin34πsinφ=0 得 cosπ4cosφ-sinπ4sinφ=0, 即 cos(π4+φ)=0.又|φ|<π2,∴φ=π4. (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+π4).依题意,T2=π3,又 T=2ωπ,故 ω=3, ∴f(x)=sin(3x+π4).函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+π4],g(x)是偶函数当且仅当 3m+π4=kπ+π2(k∈Z), 即 m=k3π+1π2(k∈Z).从而,最小正实数 m=1π2. 法二:(1)同法一. (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+π4).依题意,T2=π3.又 T=2ωπ,故 ω=3, ∴f(x)=sin(3x+π4). 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+π4]. g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, 亦即 sin(-3x+3m+π4)=sin(3x+3m+π4)对 x∈R 恒成立. ∴sin(-3x)cos(3m+π4)+cos(-3x)·sin(3m+π4) =sin3xcos(3m+4π)+cos3xsin(3m+π4), 即 2sin3xcos(3m+π4)=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+π4)=0,故 3m+π4=kπ +π2(k∈Z),∴m=k3π+1π2(k∈Z),从而,最小正实数 m=1π2.
第六章 三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
A组
1.已知 sinα= 55,sin(α-β)=- 1100,α、β 均为锐角,则 β 等于________.

解析:∵α、β 均为锐角,∴-2π<α-β<π2,∴cos(α-β)=

1-sin2(α-β)=3

10 10 .

∵sinα= 55,∴cosα=

1-(

55)2=2 5

5 .

∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=

2 2.

∵0<β<π2,∴β=π4.答案:4π

2.已知 0<α<2π<β<π,cosα=35,sin(α+β)=-35,则 cosβ 的值为________.

解析:∵0<α<2π,π2<β<π,∴π2<α+β<32π.∴sinα=45,cos(α+β)=-45,

∴cosβ

= cos[(α +

β)

- α]



cos(α +

β)cosα +

sin(α



β)sinα



(



4 5



3 5



(



35)×45=-2254.答案:-2245

3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则csoins((αα+-ββ))=________.

解析:tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,则csoins((αα+-ββ))=scionsααccoossββ++csoinsααssiinnββ

=1t+anαta+nαttaannββ=1-3 3=-32.答案:-32

4.(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α-6π)+sinα=45 3,则 sin(α+76π)的值是___.

解析:由已知得 23cosα+12sinα+sinα=45 3,即12cosα+ 23sinα=45,

得 sin(α+π6)=45,sin(α+76π)=-sin(α+π6)=-45.答案:-45

5.(原创题)定义运算 a

b=a2-ab-b2,则

π sin12

1π2=________.

解析:sin1π2

1π2=sin21π2-sin1π2cos1π2-cos21π2=-(cos21π2-sin21π2)-12

×2sin1π2cos1π2=-cosπ6-12sinπ6=-1+42 3.答案:-1+42 3

6.已知

α∈(π2,π),且

sinα2+cosα2=

6 2.

(1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求 cosβ 的值.

解:(1)因为 sinα2+cosα2= 26,两边同时平方得 sinα=12.

又π2<α<π.所以

cosα=-

3 2.

(2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2.

又 sin(α-β)=-35,得 cos(α-β)=45.

cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

=- 23×45+12×(-35)=-4

3+3 10 .

B组 1.1+cossi2nα2α·11+ -ttaannαα的值为________.
解析:1+cossi2nα2α·11+ -ttaannαα=(csoinsα2α+-csoisnα2α)2·11+ -ttaannαα

=csionsαα+-csoinsαα·11+ -ttaannαα=11- +ttaannαα·11+ -ttaannαα=1. 2.已知 cos(π4+x)=35,则sin21x--ta2nsxin2x的值为________.

解析:∵cos(π4+x)=35,∴cosx-sinx=35 2, ∴1-sin2x=1285,sin2x=275,∴sin21x--ta2nsxin2x=2sincxo(scxo-sxs-insxinx)=sin2x=275.

cosx

3.已知 cos(α+3π)=sin(α-π3),则 tanα=________.

解析:cos(α+π3)=cosαcosπ3-sinαsinπ3=12cosα- 23sinα,sin(α-π3)

=sinαcosπ3-cosαsinπ3=12sinα- 23cosα,

由已知得:(12+ 23)sinα=(12+ 23)cosα,tanα=1.

4.设 α∈(π4,34π),β∈(0,π4),cos(α-π4)=35,sin(34π+β)=153,则 sin(α+β)=________.

解析:α∈(π4,34π),α-π4∈(0,π2),又 cos(α-π4)=35,∴sin(α-4π)=45.

∵β∈(0,π4),∴34π+β∈(34π,π).∵sin(34π+β)=153,∴cos(34π+β)=-1123,

∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(34π+β)]

=-cos(α-π4)·cos(34π+β)+sin(α-π4)·sin(34π+β)=-35×(-1132)+45×153=5665,

即 sin(α+β)=6556.

5.已知 cosα=13,cos(α+β)=-13,且 α,β∈(0,π2),则 cos(α-β)的值等于________.

解析:∵α∈(0,π2),∴2α∈(0,π).∵cosα=13,∴cos2α=2cos2α-1=-79,

∴sin2α= 1-cos22α=49 2,而 α,β∈(0,π2),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=

1-cos2(α+β) = 2 3 2 , ∴cos(α - β) = cos[2α - (α + β)] = cos2αcos(α + β) +

sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+4 9 2×2 3 2=2273. 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα=35,则1+ si2nc(oαs+(2π2α)-π4)=________.
解析:∵α 在第一象限,且 cosα=35,∴sinα=45,则1+ si2nc(oαs+(2π2α)-4π)=

1+

2(

22cos2α+ cosα

2 2 sin2α)=2cos2α+co2ssαinαcosα=2(sinα+cosα)=2(45+35)=154.

7.已知 a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈(π2,π),若 a·b=25,则 tan(α+4π)

的值为________.

解析:a·b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=25,

∴sinα=35,又 α∈(π2,π),∴cosα=-45,tanα=-34,∴tan(α+π4)=t1a-nαt+anα1=17.

8.tan70°t-ant1a0n°1t0a°n+70t°an120°的值为______. 解析:由 tan(70°-10°)=1t+ant7a0n°7-0°t·atann1100°°= 3,

故 tan70°-tan10°= 3(1+tan70°tan10°),代入所求代数式得:

3(1+tatna7n07°0ta°tna1n01°0)°+tan120°=

tan70°tan10° 3(1+tan70°tan10°)-

= 3

tan70°tan10° 3tan70°tan10°



3 3.

9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则sin2sαi+n(αc+os2π4α)+1的值等于________.

解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=-14,∴sin2sαi+n(αc+os2π4α)+1=4co2sα=- 2. 10.求值:csoins2200°°·cos10°+ 3sin10°tan70°-2cos40°.

解:原式=cos2s0in°2c0o°s10°+ 3sicno1s07°0s°in70°-2cos40° =cos20°cos10°s+in203°sin10°cos20°-2cos40° =cos20°(coss1in02°+0° 3sin10°)-2cos40° =2cos20°(cos10°ssiinn3200°°+sin10°cos30°)-2cos40°

=2cos20°sin40s°in-202°sin20°cos40°=2. 11.已知向量 m=(2cos2x,1),n=(sin2x,1)(x∈R),设函数 f(x)=m·n-1.
(1)求函数 f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)=153,f(B)=35,求 f(C)的值.
解:(1)f(x)=m·n-1=(2cos2x,1)·(sin2x,1)-1=2cos2xsin2x+1-1=sinx. ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. (2)∵f(A)=153,f(B)=35,∴sinA=153,sinB=35. ∵A,B 都为锐角,∴cosA= 1-sin2A=1123,cosB= 1-sin2B=45. ∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =153×45+1123×35=6556.∴f(C)的值为6556. 12.(2010 年南京调研)已知:0<α<π2<β<π,cos(β-π4)=13,sin(α+β)=45. (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+π4)的值.

解:(1)法一:∵cos(β-π4)=cos4πcosβ+sin4πsinβ= 22cosβ+ 22sinβ=13,

∴cosβ+sinβ= 32,∴1+sin2β=29,∴sin2β=-79. 法二:sin2β=cos(π2-2β)=2cos2(β-π4)-1=-79. (2)∵0<α<π2<β<π,∴π4<β-π4<34π,π2<α+β<32π,∴sin(β-π4)>0,cos(α+β)<0.

∵cos(β-4π)=13,sin(α+β)=45,∴sin(β-4π)=23 2,cos(α+β)=-35.

∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)

=-35×13+45×2 3 2=8

2-3 15 .

第二节 两角和与差及二倍角的三角函数

A组 1.若 sinα=35,α∈(-2π,π2),则 cos(α+54π)=________.
解析:由于 α∈(-2π,π2),sinα=35得 cosα=45,由两角和与差的余弦公式得:

cos(α+54π)=-

22(cosα-sinα)=-

2 10 .

2.已知 π<θ<32π,则 12+21 21+12cosθ=________.

解析:∵π<θ<32π,∴π2<θ2<34π,π4<θ4<38π.

21+21 21+21cosθ=

12+12

cos2θ2

= 21-12cosθ2=sinθ4.

3.(2010 年南京市调研)计算:cos101°-+co3s8si0n°10°=________.

解析:cos101°-+co3s8si0n°10°=2cos2(1s0in°2-406°0°)=

2cos50°= 2sin40°

2.

4.(2009 年高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1

= 2sin(2x+π4)+1≥1- 2.

5.(原创题)函数 f(x)=(sin2x+20101sin2x)(cos2x+20101cos2x)的最小值是________. 解析:f(x)=(2010si2n04x1+021si)n(22x0c1o0sc2oxs4x+1) =20102sin4xco2s04x1+022si0n120x(csoisn24xx+cos4x)+1

=sin2xcos2x+201022s0in121xcos2x-20210≥20210( 2011-1).

6.已知角 α∈(π4,π2),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0.

(1)求 tan(α+π4)的值;(2)求 cos(π3-2α)的值.

解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0,

又 α∈(π4,π2),∴tanα=43,sinα=45,cosα=35,

(1)tan(α+4π)=1t-anαta+nαttaannπ4π4=431+-143=-7.

(2)cos2α=2cos2α-1=-275,sin2α=2sinαcosα=2245,

cos(π3-2α)=cos3πcos2α+sinπ3sin2α=12×(-275)+

23×2254=24

3-7 50 .

B组

1.若 tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,则 tan(α+π4)=_____.

解析:tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=1t+an(taαn+(αβ+)-β)ttaann((ββ--π4π4))=1+25-52×14 14=232.

2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则cos2α+1 sin2α的值为________. 解析:由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则cos2α+1 sin2α=coss2iαn2+α+2scinoαs2cαosα
=99ssiinn22αα-+6ssiinn22αα=130.
3.设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c= 26,则 a、b、c 的大小关系是
解析:a= 2sin59°,c= 2sin60°,b= 2sin61°,∴a<c<b. 或 a2=1+sin28°<1+12=32,b2=1+sin32°>1+12=32,c2=32,∴a<c<b.
4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4.
5.若 tanα+ta1nα=130,α∈(π4,π2),则 sin(2α+π4)的值为_________.
解析:由题意知,tanα=3,sin(2α+π4)= 22(sin2α+cos2α),而 sin2α=1+2tatannα2α =35,cos2α=11- +ttaann22αα=-45.∴sin(2α+4π)= 22(35-45)=-102. 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x·sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________.
解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x,所以 T=24π=π2. 7.(2010 年无锡质检)2cosc5o°-s25s°in25°的值为________.
解析:由已知得:原式=2cos(30°- cos2255°°)-sin25°= c3ocso2s52°5°= 3. 8.向量 a=(cos10°,sin10°),b=(cos70°,sin70°),|a-2b|=________________.
解析:|a-2b|2=(cos10°-2cos70°)2+(sin10°-2sin70°)2=5-4cos10°cos70° -4sin10°sin70°=5-4cos60°=3,∴|a-2b|= 3. 9.(2010 年江苏省南通市调研)已知1s-inαccooss2αα=1,tan(β-α)=-13,则 tan(β-2α) =________.
解析:因为1s-inαccooss2αα=1,即 1-11+-ttaann22αα=12×1+2tatannα2α,所以 2tanα=1,即 tanα=12,所以 tan(β-2α)=tan(β-α-α)=1t+an(taβn-(βα-)-α)ttaannαα=-131--1612=-1. 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+π4)的值;(2)sin2α1++ccooss22(πα-α)的值.
解:(1)∵tan(α+π4)=11+ -ttaannαα,tanα=2,∴tan(α+π4)=11+ -22=-3. (2)sin2α1++ccooss22(απ-α)=2sinαc2ocsoαs+2α cos2α=2sin2αc+osαcosα=tanα+12=52.

11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在 第一、二象限,点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,△AOB

是正三角形,若点 A 的坐标为(35,45),记∠COA=α.

(1)求11++csoins22αα的值;(2)求|BC|2 的值.

解:(1)∵A 的坐标为(35,45),根据三角函数的定义可 知,sinα=45,cosα=35,∴11++csoins22αα=1+22csoinsα2αcosα=4198.

(2)∵△AOB 为 正 三 角 形 , ∴∠AOB = 60°.∴cos∠COB = cos(α + 60°) =

cosαcos60°-sinαsin60°.=35×12-45× 23=3-140 3,

∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|·|OB|cos∠COB=1+1-2×3-140

3=7+54

3 .

12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC=

csoinsAA++scionsBB,sin(B-A)=cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c.

解:(1)因为 tanC=csoinsAA++scionsBB,即csoinsCC=csoinsAA++scionsBB,

所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), 即 2C=A+B,得 C=π3,所以 B+A=23π.

又因为 sin(B-A)=cosC=12,则 B-A=π6或 B-A=56π(舍去),

得 A=4π,B=51π2.故 A=π4,C=π3.

(2)S△ABC=12acsinB=

6+ 8

2ac=3+

3,又sianA=sincC,即

a=c, 23

22

得 a=2 2,c=2 3.

第七章 解三角形

第一节 正弦定理与余弦定理

1.(2008·陕西理,3)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,

b= 6 ,B=120°,则 a 等于

()

A. 6

B.2

C. 3

D. 2

答案 D

2.(2008·福建理,10)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)

tanB= 3 ac,则角 B 的值为( )

A. ?

B. ?

C. ? 或 5?

6

3

66

答案 D

3.下列判断中正确的是

A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解

B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解

C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解

D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解

答案 B

4. 在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是

D. ? 或 2?
33
()
()

A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形

答案 B

5. 在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B 的值为
sin C

A. 8

B. 5

C. 5

5

8

3

答案 D

6.△ABC 中,若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C 的度数是

A.60°

B.45°或 135°

C.120°

答案 B

() D. 3
5





D.30°

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7 ,c= 3 ,则

B=

.

答案 5?
6

8. 在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为

.

答案 10 3

9. (2008·浙江理,13)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若

( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA=

.

答案 3
3

10. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 和 c.

解 ∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解.

由正弦定理得 sinA= a sin B = 3 sin 45? = 3 ,

b

2

2

则 A 为 60°或 120°.

①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,

c= b sin C = 2 sin 75? = 2 sin(45? ? 30?) = 6 ? 2 .

sin B sin 45?

sin 45?

2

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,

c= b sin C = 2 sin15? = 2 sin(45? ? 30?) = 6 ? 2 .

sin B sin 45?

sin 45?

2

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c= 6 ? 2 或 A=120°,C=15°,c= 6 ? 2 .

2

2

11. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos B =- b .
cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小;(2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

解 (1)由余弦定理知:cosB= a2 ? c2 ? b2 ,cosC= a2 ? b2 ? c2 .

2ac

2ab

将上式代入 cos B =- b 得: a2 ? c2 ? b2 · 2ab =- b

cos C 2a ? c

2ac

a2 ? b2 ? c2 2a ? c

整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB= a2 ? c2 ? b2 = ?ac =- 1

2ac

2ac 2

∵B 为三角形的内角,∴B= 2 ? .
3

(2)将 b= 13 ,a+c=4,B= 2 ? 代入 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac-2accosB
3

∴b2=16-2ac ??1? 1 ?? ,∴ac=3.∴S△ABC= 1 acsinB= 3 3 .

? 2?

2

4

12. 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin (A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.

解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)

-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA

由正弦定理可知上式可化为:sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA

∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 ?

得 2A=2B 或 2A= ? -2B,即 A=B 或 A= ? -B,∴△ABC 为等腰或直角三角形.
2

方法二 同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB

由正、余弦定理,可得 a2b b2 ? c2 ? a2 = b2a a2 ? c2 ? b2 ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)

2bc

2ac

即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b 或 a2+b2=c2∴△ABC 为等腰或直角三角形.

13. 已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2,求 tanC 的值.

解 依题意得 absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.

所以,absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC,所以 2sin C cos C =4cos2 C

22

2

C

化简得:tan C =2.从而 tanC=

2 tan 2

=- 4 .

2

1? tan 2 C 3

2

14. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差

数列,且 2cos2B-8cosB+5=0,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状.

解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.

∴4cos2B-8cosB+3=0,

即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.

解得 cosB= 1 或 cosB= 3 (舍去).∴cosB= 1 .∵0<B< ? ,∴B= ? .

2

2

2

3

∵a,b,c

成等差数列,∴a+c=2b.∴cosB=

a2

?

c2

? b2

=

a2

? c2

?(a

? c )2 2

=

1



2ac

2ac

2

化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c.又∵B= ? ,∴△ABC 是等边三角形.
3
方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.

解得 cosB= 1 或 cosB= 3 (舍去).∴cosB= 1 ,∵0<B< ? ,∴B= ? ,

2

2

2

3

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin ? = 3 .
3

∴sinA+sin ?? 2? ? A?? = 3 ,∴sinA+sin 2? cos A -cos 2? sin A = 3 .

?3 ?

3

3

化简得 3 sinA+ 3 cosA= 3 ,∴sin ?? A ? ? ?? =1.

2

2

? 6?

∴A+ ? = ? ,∴A= ? ,∴C= ? ,∴△ABC 为等边三角形.

62

3

3

15. (2008·广东五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,

已知 a+b=5,c= 7 ,且 4sin2 A ? B -cos2C= 7 .

2

2

(1)求角 C 的大小;(2)求△ABC 的面积.

解 (1)∵A+B+C=180°,由 4sin2 A ? B -cos2C= 7 ,得 4cos2 C -cos2C= 7 ,

2

2

2

2

∴4· 1? cos C -(2cos2C-1)= 7 ,整理,得 4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC= 1 ,

2

2

2

∵0°<C<180°,∴C=60°.

(2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab,

由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= 1 absinC= 1 ×6× 3 = 3 3 .

2

2

22

第二节 正弦定理、余弦定理的应用

1.从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ?、 ? 的关系为

()

A. ? > ?

B. ? = ?

C. ? + ? =90° D. ? + ? =180°

答案 B

2.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°,

则 A、C 两地的距离为

()

A.10 km

B. 3 km

C.10 5 km

D.10 7 km

答案 D

3. 为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角

为 30°,测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是





A. 20(1? 3 ) m
3

B. 20(1? 3 ) m
2

C. 20(1? 3) m

D.30

m

答案 A

4.如图,位于港口 O 正东 20 海里 B 处的渔船回 港时出现故障.位于港口南偏西 30°,距港口 10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海 里/小时的速度沿直线 CB 去营救渔船,则拖轮到 达 B 处需要________小时.

解析:由余弦定理得 BC=

202+102-2×10×20cos120°=10

7,从而需

7 3

小时到达

B

处.答案:

7 3

5.(2010 年南京市高中联考)如图,海岸线上有相距 5 海

里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海

上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75°,与 A

相距 3 2海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60°方向,

与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘轮船之间的距离为________海里.
解析:连结 AC.则 AC=5,在△ACD 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45°,
由余弦定理得 CD= 13.答案: 13 6.(2010 年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶,看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在 南偏西 60°方向上,另一灯塔在南偏西 75°方向上,则该船的速度是________海 里/小时.
解析:假设该船从 A 处航行到了 D 处,两座灯塔分 别在 B、C 位置,如图,设 AD 长为 x,则 AB=xtan60°, AC=xtan75°,所以 BC=xtan75°-xtan60°=10,解得 x=5, 所以该船的速度 v=05.5=10(海里/小时).答案:10
7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行 于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分 钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速 度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米.
解析:连结 OC,在三角形 OCD 中,OD=100,CD =150,∠CDO=60°,由余弦定理可得 OC2=1002+1502-2×100×150×12=
17500,∴OC=50 7.答案:50 7 8.(原创题)在 Rt△ABC 中,斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大值为 ________.
解析:∵r=a+2b-c=a+2 b-1,∵4=a2+b2≥(a+2b)2,∴(a+b)2≤8,∴a
+b≤2 2,∴r≤ 2-1.答案: 2-1 9.(2009 年高考辽宁卷)如图,A、B、C、D 都在 同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°,于水面 C 处 测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km. 试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相 等,然后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01
km, 2≈1.414, 6≈2.449).

解:在△ACD 中,∠DAC=30°,

∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以 CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA.

在△ABC 中,sin∠ABBCA=sin∠ACABC,所以 AB=ACsinsi1n56°0°=3

2+ 20

6 .

同理,BD=3

2+ 20

6≈0.33(km),

故 B、D 的距离约为 0.33 km.

第八章 数列

1.已知数列?an?满足条件 ( n ? 1 )an?1 ? ( n ? 1 )( an ? 1 ) ,且 a2 ? 6 ,设 bn ? an ? n ,那么数列?an?的通项公式是 an ? 2n2 ? n

2、x= ab 是 a、x、b 成等比数列的( D ) 条件
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要
3、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a? R, a ? 0 ),则数列{an}( C )

A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是等比 D.既非等差又非等比

4、弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛,

使剩下的弹子尽可能的少,那么剩余的弹子有

(B )

A. 0 颗

B.4 颗

C.5 颗

D.11 颗

5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷

款 a 元,为还清这笔贷款,该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还

确定的金额,计划恰好在贷款的 m 年后还清,若银行按年利息为 p 的复利计

息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长

每年的偿还金额是

(D )

a

ap(1 ? p)m?1

ap(1 ? p)m?1

ap(1 ? p)m

A.m

B.(1 ? p)m?1 ?1 C. pm ?1

D.(1 ? p)m ?1

6 、 已 知 ?an ? 为 等 比 数 列 , a1 ? 2, q ? 3 , 又 第 m 项 至 第 n 项 的 和 为

720 (m ? n) ,则 m ?

3 , n?

6

新疆 王新敞

奎屯

? ? 7、数列 an 对任意 n ? N * 都满足 an?22 ? an ? an?4 ,且 a3 ? 2, a7 ? 4, an ? 0 ,

则 a11 ?

8

新疆 王新敞

奎屯

8、已知函数

f

(x)

?

1

x ?

2
x

2

,那么

1

1

17

f (1) ? f (2) ? f (

) ? f (3) ? f (

) ? f (4) ? f (

)?

新疆 王新敞

奎屯

2

3

42

9、一个项数为偶数的等比数列,首项是 1,且所有奇数项之和是 85,所有偶数

项之和是

170,则此数列共有___8

_项 新疆 王新敞

奎屯

10、在各项为正数的等比数列?an ?中,已知 a3 ? a4 ? 11a2 ?a 4 ,且前 2n 项的和

等于它的前 2n 项中偶数项之和的 11 倍,则数列 ?an ? 的通项公式 an ?

1

新疆

王新敞

10n?2

奎屯

11、已知数列 ?an ?中,a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3 ,那么| a1 | ? | a2 | ??? | a30 | 的值

为 765



12 、 等 差 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 0 , 且 3a8 ? 5a13 , 则 {Sn } 中 最 大 项 为

S 20



13、已知一个等差数列前五项的和是 120,后五项的和是 180,又各项之和是 360,

则此数列共有

12

项。

14、设 f (x) ? 1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求 3x ? 3
得: f (?12) ? f (?11) ? f (?10) ? ?? f (0) ? ?? f (11) ? f (12) ? f (13) 的值为

13 3 3
15 、 已 知 数 列 ?an ? 的 通 项 an ? (2n ?1) ? 2 n?1 , 前 n 项 和 为 S n , 则 S n =
1? (2n ?1)2n 。

16 、 数 列 1 , 1 , 1 , 1 ,? 前 n 项 的 和 等 于 12 ? 2 22 ? 4 32 ? 6 42 ? 8

3 ? 2n ? 3



4 2(n ?1)(n ? 2)

17、已知数列 {an} 是首项为 a1 ,公差为 d(0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列

{cosan }是等比数列,则其公比为( B )

A. 1

B. ?1

C. ?1

D. 2

? ? 18 、 已 知 在 数 列 an 中 , a1 ? 1, a2n ? qa2n?1,a2n?1 ? a2n +d

( q、d ? R,q >0) .

(1)若 q ? 2, d ? ?1, 求 a3, a4 并猜测 a2006 ;
(2)若 ?a2n ??1 是等比数列,且?a2n?是等差数列,求 q, d 满足的条件.
解:(1)? a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a2 ?1 ? 1, a4 ? 2a3 ? 2,?猜测 a2006 ? 2 . (2)由 a2n ? qa2n?1,a2n?1 ? a2n + d (q, d 喂R, q 0),得 a2n?1 ? qa2n?1 ? d .
? ? 当 d ? 0 时,显然 a2n?1 ? qa2n?1 , a2n?1 是等比数列. ? ? 当 d ? 0 时,因为 a1 ? 1, 只有 a2n?1 ? 1 时, a2n?1 才是等比数列.
由 a2n?1 ? qa2n?1 ? d ,得 q ? d ? 1, 即 d ? 0, q ? 0 ,或 q + d = 1.
由 a2n ? qa2n?1,a2n?1 ? a2n?2 ? d 得 a2n ? qa2n?2 ? qd (n ? 2) .
当 q ? 1, a2n ? a2n?2 ? d (n ? 2) ,显然?a2n?是等差数列,
当 q ? 1时, a2 ? qa1 ? q ,
只有 a2n ? q 时,?a2n?才是等差数列.
由 a2n?2 ? q(a2n ? d ) ,得 q ? d ? 1, 即 q ? 1, q ? d ? 1.
综上所述: q + d = 1.

19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310,前 20 项和是 1220,试求其前 n 项和。

解:由题设: S10 ? 310

S20 ? 1220

得:

???2100aa11??14950dd

? 310 ? 1220

?

???ad1

? ?

4 6



Sn

?

4n ?

n(n ?1) ? 6 2

? 3n2

?n

第九章 平面向量

1.已知三个向量 a=(cos?1 ,sin?1 ),b=(cos? 2 ,sin? 2 ),c= (cos?3 ,sin? 3 ),满

足 a ? b ? c ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为

2?

3

2、.下列命题:

(1)若 a 与 b 为非零向量,且 a∥b 时,则 a—b 必与 a 或 b 中之一的方向相同;

(2)若 e 为单位向量,且 a∥e,则 a=|a|e;

(3)a·a·a=|a|3

(4)若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线

(5)若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AC+BD=BC+AD

正确的命题个数为( D )

A、1

B、2

3、若 o 为平行四边形 ABCD

的中心,

? AB

C、3

=4

? e

1,

? BC

?

D、0

? 6e2

,

则3e?2

?

? 2e1

等于

( B ?)

?

?

?

4



A. AO



? a

?

(5,?7),

? b

B. BO ? (?1,2) , 且 (

? a

C.?CO ? ?b )

?

? b

D. DO ,则实数 ?

的值为

19
______ ______.
5

5、已知 | a |?| b |? 2 ,a 与 b 的夹角为 ? ,则 a ? b 在 a 上的投影为

3



3

6、在直角坐标平面上,向量 OA ? (4,1) ,向量 OB ? (2,?3) ,两向量在直线 l 上

的正射影长度相等,则直线 l 的斜率为

3或 - 1 2

7、设平面向量 a =(-2,1), b =(1, ? ),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是

(??,? 1 ) ? (? 1 ,2)



2

2

8、.已知向量 OB ? (2,0),OC ? (2,2),CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,则向量 OA, OB 的

夹角范围是

[ ? , 5? ] 。 12 12
?
9、将函数 y ? 2x 的图象按向量 a 平移后得到 y ? 2x ? 6 的图象,给出以下四

个命题:

?
① a 的坐标可以是 (?3,0) ;

?
② a 的坐标可以是 (?3,0) 和 (0,6) ;

?
③ a 的坐标可以是 (0,6) ;

?
④ a 的坐标可以有无数种情况。

上述说法正确的是

①②③④



10、已知 ?ABC 中,CB ? a, CA ? b, a ? b

? 0, S?ABC

? 15 ,| a |? 3,| b |? 5 ,则 a 4

与b



夹角为 1500 。

11、若△ABC 三边长 AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 等于

?5



12.已知| a |? 4, | b |? 3, a,b 的夹角为 120°,且 c ? a ? 2b ,d ? 2a ? kb ,当 c ? d

时,k=

.

13.已知 A(3,y),B( ? 5 ,2),C(6, ? 9 )三点共线,则 y=_________.

14. 若 a =(1,2), b =( ? 3,2), k 为何值时:

(1)k a + b 与 a -3 b 垂直;(2)k a + b 与 a -3 b 平行?

15. 已知| a |=4,| b |=3,(2 a -3 b )·(2 a + b )=61,求:(i) a 与 b 的夹角θ ; (ii) | a ? 2b | .
16. 已知 ?ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求 cos A .

17. 设 a =(sinx-1,cosx-1), b =( 2 , 2 ). (1)若 a 为单位向量,求 22
x 的值;(2)设 f(x)= a ·b ,则函数 y=f(x)的图象是由 y=sinx 的图象如何 平移得到?

18.已知 a ? (cos 3 x,sin 3 x), b ? (cos x , ?sin x) ,且 x ?[0, ? ] .

22

22

2

(i)求 a ? b 及 a ? b ; (ii)求函数 f (x) ? a ? b ? a ? b sin x 的最小值.

第十章 算法
第一节 程序框图 A组
1.(2009 年高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序,输出的结果是________.
解析:试将程序分步运行: 第一循环:S=1-1 2=-1,n=2; 第二循环:S=1-(1-1)=12,n=3; 第三循环:S=1-1 12=2,n=4.答案:4 2.(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的程序 框图,输入 x=-2,h=0.5,那么输出的各个数的和等于 ________. 解析:由框图可知,当 x=-2 时,y=0; 当 x=-1.5 时,y=0;当 x=-1 时,y=0; 当 x=-0.5 时,y=0;当 x=0 时,y=0; 当 x=0.5 时,y=0.5;当 x=1 时,y=1; 当 x=1.5 时,y=1;当 x=2 时,y=1. ∴输出的各数之和为 3.5. 答案:3.5 3.(2009 年高考山东卷改编)执行下面的程序框图,输出的 T=________.

第2题 解析:据框图依次为:

第3题

??S=5, ?n=2, ??T=2,

??S=10, ?n=4, ??T=6,

??S=15, ?n=6, ??T=12,

??S=20, ?n=8, ??T=20,

??S=25, ?n=10, ??T=30,

故此时应输出 T=30.答案:30 4.(2010 年南京市高三调研)阅读下面的流程图,若输入 a=6,b=1,则输出的 结果是________.

解析:a=6,b=1,则 x=5>2,再次进入循环得 a=4,b=6,此时 x=2, 退出循环.故输出 2.答案:2 5.(2010 年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 的值是多少?

第5题

第6题

解析:由循环结构可得 S=100+99+…+3+2=5049.

故输出的变量 S 的值为 5049.答案:5049

6.(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头 a 指向①时,输出

的结果为 S=m,当箭头 a 指向②时,输出的结果为 S=n,求 m+n 的值.

解:(1)当箭头 a 指向①时,输出 S 和 i 的结果如下:

S 0+1 0+2 0+3 0+4 0+5

i2 3 4 5 6

∴S=m=5.

(2)当箭头 a 指向②时,输出 S 和 i 的结果如下:

S 0+1 0+1+2 0+1+2+3 0+1+2+3+4

i2

3

4

5

S 0+1+2+3+4+5

i

6

∴S=n=1+2+3+4+5=15,于是 m+n=20.

B组

1.(2010 年温州调研)如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 s=720,

则在判断框中应填入的关于 k 的判断条件是__________.

解析:s=10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8,判断条件为“是”时进入循环体,7≥8

判断条件为“否”,跳出循环,输出 s.答案:k≥8

(第 1 题)

(第 2 题)

(第 3 题)

2.若 R=8,则下列流程图的运行结果为___4___.

3.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等,

则 x 的可能值的个数为________.

解析:x≤2 时,x2=x,∴x=0 或 x=1;2<x≤5 时,2x-3=x,∴x=3;

x>5 时,1x=x,∴x=-1 或 x=1(都舍去).所以共有 3 个可取值.答案:3

4.如图,该程序运行后输出的结果为________.

解析:A=1≤9,“是”,则 S=0+1,A 变为 2;A=2≤9,“是”,则 S

=0+1+2,A 变为 3;…;A=9≤9,“是”,则 S=0+1+…+9,A 变为 10;

A=10≤9,“否”,则输出 S=45.

答案:45

5.已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判

断框内①处应填____.

解析:a=1 时进入循环,此时 b=21=2;a=2 时再进入循环,此时 b=22

=4;a=3 时再进入循环,此时 b=24=16,∴a=4 时应跳出循环,∴循环满足

的条件为 a≤3,∴填 3.

答案:3

(第 4 题)

(第 5 题)

(第 6 题)

6.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值

是________.

解析:A=1≤M,“是”,则 S=2×1+1=3,A 变为 2;

A=2≤M,“是”,则 S=2×3+1=7,A 变为 3;

A=3≤M,“是”,则 S=2×7+1=15,A 变为 4;

A=4≤M,“是”,则 S=2×15+1=31,A 变为 5;

A=5≤M,“是”,则 S=2×31+1=63,A 变为 6;

A=6≤M,“否”,则跳出循环,故填 5.

7.(2009 年高考广东卷改编)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三

分球个数如下表所示:

队员 i

12345

6

三分球个数

a1 a2 a3 a4 a5

a6

下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则

图中判断框应填______,输出的 s=______.

(注:框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“:=”)

(第 7 题)

(第 8 题)

解析:由题意该程序框图实际上是求该 6 名队员在最近三场比赛中投进三分

球总数,故判断框应填 i≤6 或 i<7,输出 s 为 a1+a2+a3+a4+a5+a6.

8.(2009 年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示,则输出量 y 与输入量 x 满

足的关系式是________.

解析:由程序框图的条件结构知:x>1 时,y=x-2;x≤1 时,y=2x.

故 y=?????2x-x 2(x≤(x1>)1,). 9.某流程如图所示,现输入如下四个函数
①f(x)=x2;②f(x)=1x;③f(x)=lnx;④f(x)=sinx. 则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________. 解析:由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时,输出与输入函数必 是同一函数,分析上述四个函数,易知只有 y=sinx 满足条件.答案:④

(第 9 题)

(第 10 题)

10 . 如 图 所 示 的 算 法 中 , 令 a = tanθ , b = sinθ , c = cosθ , 若 在 集 合

???θ??-π4<θ<34π,θ≠0,π4,2π

??中,给
?

θ

取一个值,输出的结果是

sinθ,求

θ

值所在的范围.

解:由框图知,要输出 a、b、c 中最大的,当 θ∈(π2,34π)时,sinθ 最大.

∴θ 值所在的范围为(π2,34π).

11.画出计算 1+12+13+…+19+110值的一个算法的流程图.

(第 11 题)

(第 12 题)

12.到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时,银行要收取一定的手续费.汇

款额不超过 100 元,收取 1 元手续费;超过 100 元但不超过 5000 元,按汇款

额的 1%收取;超过 5000 元,一律收取 50 元手续费.设计算法求汇款额为 x

元时,银行收取的手续费 y 元,只画出流程图.

解:要计算手续费,首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式,依题意

?? 1

(0<x≤100),

知 y=?x×0.01 (100<x≤5000),

??50 (5000<x≤1000000).

流程图如上图所示.

第二节 程序语句
A组 1.(2010 年徐州调研)如图,给出一个算法的伪代码,
则 f(-3)+f(2)=____-8____.

Input x If x≤0 Then
f(x)←4x Else
f(x)←2x End If
Print f(x)

Input x If x<0 Then
y←(x+1)(x- 1) Else y←(x-1)2 End If Print y

T←1 I←3 While I<50 T←T+I I←I+2 End While Print T

End

(第 1 题)

(第 2 题)

(第 3 题)

2.输入 x=5,运行下面的程序之后得到的 y 等于___16_____. 3.(2010 年泰州质检)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为___625_____. 4.(2009 年高考安徽卷改编)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 ___127_____.

Input n S←0 I←1 While________ S←S+I I←I+1 Wend Print “S=”;S End

(第 4 题)

(第 5 题)

(第 6 题)

5.(原创题)编写程序求 S=1+2+3+…+n 的和(n 由键盘输入),程序如图,则

横线上应填_____ I≤n ___.

6.(2009 年高考江苏卷改编)下图是一个算法的流程图,求最后输出的 W 的值.

解:第一次:T=1,S=12-0=1;

第二次:T=3,S=32-1=8;

第三次:T=5,S=52-8=17.

此时满足 S≥10.

所以 W=S+T=17+5=22.

B组 1.右面程序执行后输出的结果是___0_____.

n←5

2.下列程序的功能是:判断任意输入的数 x 是否是正数,若 是,输出它的平方值;若不是,输出它的相反数.则填入的条 件应该是_____ x≤0___.

S←0 While S<15
S←S+n n←n-1

x←Input(“x=”)

End While

If________

Print n

y←-x;

Else y←x2

End If

Print y

3.程序如下:

a←Input(“a =”)

b←Input(“b =”)

c←Input(“c =”)

a←b
b←c
c←a
Print a,b,c 若输入 10,20,30,则输出结果为____20,30,20____.
4.(2010 年南通调研)程序如下: t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i+1
End While Print t 以上程序输出的结果是____24____. 5.有下面算法:
p←1

For k From 1 To 10 Step 3 p←p+2×k-6

End For

Print p

则运行后输出的结果是____21____. 6.(2010 年南京第一次调研)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为 ___5_____.
S←1 I←1
While S<5 S←S×I+I 1
I←I+1
End While
Print I

7.现欲求 1+13+15+…+2n1-1的和(其中 n 的值由键盘输入),已给出了其 程序框图,请将其补充完整并设计出程序.
解:①i←i+1 ②S←S+2i-1 1 程序如下: Input n S←0 i←0 While i<n i←i+1 S←S+2i-1 1 Wend Print S End
8.已知函数 y=x2+2x(x∈[-10,10],x∈Z),编写 程序,求该函数的最大值.

第十一章 概率
第一节 古典概型
A组 1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下, 出现乙级品和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级品)的概率 为________.
解析:记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事 件 C,这三个事件彼此互斥,因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为 P(A)=1- P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.答案:0.92 2.某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20,0.30,0.10, 则此射手在一次射击中不够 8 环的概率为________.
解析:射中 8 环及以上的概率为 0.20+0.30+0.10=0.60,故不够 8 环的概 率为 1-0.60=0.40.答案:0.40 3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________.
解析:从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为:甲乙、甲丙、 甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,满足题意的有:甲乙、甲丙、甲丁,所以概率为 P= 36=12.答案:12 4.(2010 年佛山第二次质检)从一个信箱中任取一封信,记一封信的重量为 ξ(单 位:克),如果 P(ξ<10)=0.3,P(10≤ξ≤30)=0.4,则 P(ξ>30)=________.
解析:P(ξ>30)=1-P(ξ<10)-P(10≤ξ≤30)=1-0.3-0.4=0.3.答案:0.3 5.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的,有 3 个这样的电子元 件,则出现至少有一个接通的概率为________.
解析:设电子元件接通记为 1,没有接通记为 0.又设 A 表示“3 个电子元件
至少有一个接通”,显然 A 表示“3 个电子元件都没有接通”,Ω 表示“3 个电
子元件的状态”,则 Ω={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1), (1,1,1)(0,0,0)}.Ω 由 8 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的, A ={(0,0,0)},事件 A 由 1 个基本事件组成,因此 P( A )=18,∵P(A)+P( A ) =1,∴P(A)=1-P( A )=1-18=78.答案:78 6.(2010 年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓 球队各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支球队, 具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员, (1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球 队”为事件 A,则 P(A)=3+250+4=35.故随机抽取一名队员,该队员只属于一支 球队的概率为35. (2)记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件 B,则 P(B)

=1-P( B )=1-220=190.
故随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为190. B组
1.(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条, 则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
解析:从四条线段中任取三条有 4 种取法:(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5), 其中能构成三角形的取法有 3 种:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概率为34.
答案:34 2.甲射手击中靶心的概率为13,乙射手击中靶心的概率为12,甲、乙两人各射击 一次,那么,甲、乙不全击中靶心的概率为________.
解析:P=1-13×12=56.答案:56 3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球 的概率是 0.42,摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是________.
解析:P=1-0.42-0.28=0.30.答案:0.30 4.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年 卡送给同一人的概率是________.
解析:(甲送给丙,乙送给丁),(甲送给丁,乙送给丙),(甲、乙都送给丙), (甲、乙都送给丁)共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种.
答案:12 5.(2008 年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是___.
解析:基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个.故 P =6×3 6=112.答案:112
6.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数 字 1、2、3、4,把两个玩具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整 除的概率为________.
解析:由于正四面体各面都完全相同,故每个数字向上都是等可能的,被 5 整除的可能为(2,3),(3,2),(1,4),(4,1)共 4 种,而总共有 4×4=16(种),故 P=146
=14.答案:14 7.有一个奇数列 1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组,第一组有 1 个数为 1,第二 组有 2 个数为 3、5,第三组有 3 个数为 7、9、11,…,依此类推,则从第十组 中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为________.
解析:由已知可得前九组共有(1+2+3+…+9)=45(个)奇数,第十组共有 10 个奇数且依次构成公差为 2 的等差数列,且第一个奇数为 a1=1+2×(46-1) =91,所以,第十组的奇数为 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这十个数字,

其中恰为 3 的倍数的数有 93,99,105 三个,故所求概率为 P=130.答案:130

8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、

6),骰子朝上的面的点数分别为 x、y,则满足 log2xy=1 的概率为________. 解析:由 log2xy=1 得 y=2x,满足条件的 x、y 有 3 对,而骰子朝上的点数
x、y 共有 6×6=36,∴概率为336=112.答案:112

9.(2010 年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为____________.

解析:一枚骰子掷两次,其基本事件总数为 36,方程有实根的充要条件为 b2≥4c.

b

123456

使 b2≥4c 的基本事 件个数

0

1

2

4

6

6

由此可见,使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+6+6=19,于是方程

有实根的概率为 P=3169.答案:3169

10.如图,四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,

若每个小三角形用 4 种不同颜色中的任一种涂染,求出现

相邻三角形均不同色的概率.

解:若不考虑相邻三角形不同色的要求,则有 44=

256(种)涂法,下面求相邻三角形不同色的涂法种数:①若

△AOB 与△COD 同色,它们共有 4 种涂法,对每一种涂

法,△BOC 与△AOD 各有 3 种涂法,所以此时共有 4×3×3=36(种)涂法.②若

△AOB 与△COD 不同色,它们共有 4×3=12(种)涂法,对每一种涂法△BOC 与

△AOD 各有 2 种涂法,所以此时有 4×3×2×2=48(种)涂法.故相邻三角形均

不同色的概率 P=362+5648=2614.

11.在数学考试中,小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0.18,在 80~89 分的概

率是 0.51,在 70~79 分的概率是 0.15,在 60~69 分的概率是 0.09,计算小明在

数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率.

解:设小明的数学考试成绩在 90 分及以上,在 80~89 分,在 70~79 分,

在 60~69 分分别为事件 B,C,D,E,这 4 个事件是彼此互斥的.

根据互斥事件的加法公式,小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B+

C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.

小明考试及格的概率,即成绩在 60 分及以上的概率为 P(B+C+D+E)=P(B)

+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.

而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件,所以小明考试不及格的概

率为 1-P(B+C+D+E)=1-0.93=0.07.

12.盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取 2 次,每次

只取 1 只,试求下列事件的概率:(1)取到的 2 只都是次品;(2)取到的 2 只中正

品、次品各 1 只;(3)取到的 2 只中至少有 1 只正品. 解:从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次,每次只取 1 只,共有 62=36(种)不同

取法.

(1)取到的 2 只都是次品的情况有 22=4(种),因而所求概率为 P=346=19. (2)由于取到的 2 只中正品、次品各 1 只有 2 种可能:第一次取到正品,第 二次取到次品;第一次取到次品,第二次取到正品,所以所求的概率为

P=4× 362+23×64=49. (3)由于“取到的 2 只中至少有 1 只正品”是事件“取到的 2 只都是次品” 的对立事件,因而所求的概率为 P=1-19=89.

第二节 概率的应用

A组 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数 字外完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________.
解析:当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有{1,2}一种取法;当取出的 小球标注的数字之和为 6 时,有{1,5},{2,4}两种取法,所以符合条件的取法种

数为 3 种,而所有的取法有 10 种,故所求的概率为130.答案:130

2.已知 k∈Z,A→B=(k,1),A→C=(2,4),若|A→B |≤4,则△ABC 是直角三角形的概

率为________.

解析:|A→B |≤4,k2+1≤16,k2≤15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3.

B→C =(2-k,3).若

A→B ·B→C =-k2+2k+3=0,则

k=-1,k=3;若

→→ B C ·A C

=0,则 k=8(舍);若 A→B ·A→C =0,则 k=-2.故 P=37.答案:37

3.(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片,乙盒子里

装有分别标有数字 1,4 的 2 张卡片.若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则

2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是________.

解析:数字之和为奇数的有(1,4),(2,1),(4,1),(7,4)共 4 种情形,而从两个

盒子中各抽取一张卡片共有 8 种情况,所以所求概率为12.答案:12

4 . (2009 年 高 考 江 苏 卷 ) 现 有 5 根 竹 竿 , 它 们 的 长 度 ( 单 位 : m) 分 别 为

2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m

的概率为________.

解析:在 5 个长度中一次随机抽取 2 个,则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),

(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共 10 种

情况.满足长度恰好相差 0.3 m 的基本事件有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共 2 种情况,

所以它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 P=120=15.答案:15

5.(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m,n,向量 a=(m,n),b=(-1,1),若

在△ABC 中,A→B 与 a 同向,C→B 与 b 反向,则∠ABC 是钝角的概率是________.

解析:要使∠ABC 是钝角,必须满足 A→B ·C→B <0,即 a·b=n-m>0.连掷两

次骰子所得点数 m,n 共有 36 种情形,其中 15 种满足条件,故所求概率是152.

6.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除颜色外其他特征完全相同, 已知蓝色球 3 个.若从袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是16.
(1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球,2 号 蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各 取一个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率. 解:(1)设红色球有 x 个,依题意得2x4=16,解得 x=4,∴红色球有 4 个. (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A,所有的基本事件有(红 1, 白 1),(红 1,蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3), (蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 2,蓝 3),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3, 蓝 2),共 12 个.事件 A 包含的基本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 3, 红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 5 个,所以 P(A)=152.
B组 1.(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k, k+1,其中 k=0,1,2,…,19.从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两 个数的各位数字之和(例如:若取到标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数 字之和为 9+1+0=10)不小于 14”为 A,则 P(A)=________.
解析:对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况: (7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19),而基本事件有 20 种,因此 P(A)=14. 答案:14 2.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形,则按此规律第 100 个图形中有白色地砖________块;现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中, 则豆子落在白色地砖上的概率是________.

解析:白色地砖构成等差数列:8,13,18,…,5n+3,…

∴an=5n+3,a100=503,第 100 个图形中有地砖 503+100=603,故所求概

率 P=650033.答案:503

503 603

3.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确

定平面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件

Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为________. 解析:分别从 A 和 B 中各取 1 个数,一共有 6 种等可能的取法,点 P(a,b)

恰好落在直线 x+y=2 上的取法只有 1 种:(1,1);恰好落在直线 x+y=3 上的取

法有 2 种:(1,2),(2,1);恰好落在直线 x+y=4 上的取法也有 2 种:(1,3),(2,2);

恰好落在直线 x+y=5 上的取法只有 1 种:(2,3),故事件 Cn 的概率分别为16,13,

13,16(n=2,3,4,5),故当 n=3 或 4 时概率最大.答案:3 和 4

4.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放回地随

机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________.

解析:基本事件共有 4×4=16 个,其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5

的情况有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1),

共 10 种,所以所求概率为1160=58.答案:58

5.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二

次出现的点数为 b,向量 m=(a,b),n=(1,-2),则向量 m 与向量 n 垂直的概

率是________.

解析:显然 m·n=a-2b=0,所有可能的结果为(a,b)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基

本事件总数为 36,则概率为112.答案:112

6.(2010 年南京高三调研)如图,将一个体积为 27 cm3 的正

方体木块表面涂上蓝色,然后锯成体积为 1 cm3 小正方体,

从中任取一块,则这一块恰有两面涂有蓝色的概率



.

解析:据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是

大正方体的各条棱的中点时满足条件.正方体共 12 条棱,

所以两面涂色的小正方体有 12 个,而所有小正方体有 27 个,所以,所求的概率

为 P=2172=49.答案:49

7.集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一

元素 n,则所取两数 m>n 的概率是________.

解析:基本事件总数为 25 个.m=2 时,n=1;m=4 时,n=1,3;m=6 时,

n=1,3,5;m=8 时,n=1,3,5,7;m=10 时,n=1,3,5,7,9;共 15 个.故 P=1255=

0.6.答案:0.6

8.集合 A={(x,y)|y≥|x-1|},集合 B={(x,y)|y≤-

x+5}.先后掷两颗骰子,设掷第一颗骰子得点数记作

a,掷第二颗骰子得点数记作 b,则(a,b)∈A∩B 的概

率等于

.

解析:如图:满足(a,b)∈(A∩B)的(a,b)值共有

8 个,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,2).∴P=6×8 6=29.答案:29

9.(2010 年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2,|y|≤2,点 P

的坐标为(x,y),则当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2)2 +(y-2)2≤4 的概率为________.

解析:由|x|≤2,|y|≤2,x、y∈Z,则基本事件

总数为 n=25,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4,∴满足

条件的整点有(0,2),(1,2),(2,2),(1,1),(2,1),(2,0)6

个,故 P=265.答案:265

10.(2010 年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体,六个面上 分别为 1,2,3,4,5,6 点),所得点数分别为 x,y. (1)求 x<y 的概率;(2)求 5<x+y<10 的概率.
解:记基本事件为(x,y),则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共 36 个基本事件.
其中满足 x<y 的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4)(1,5)(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个.
满足 5<x+y<10 的基本事件有(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2), (6,3),共 20 个.
(1)x<y 的概率 P(x<y)=1356=152; (2)5<x+y<10 的概率 P(5<x+y<10)=2306=59. 11.晚会上,主持人面前放着 A、B 两个箱子,每箱均装有 3 个完全相同的球, 各箱的 3 个球分别标有号码 1,2,3.现主持人从 A、B 两箱中各摸出一球. (1)若用(x,y)分别表示从 A、B 两箱中摸出的球的号码,请写出数对(x,y) 的所有情形,并回答一共有多少种;
(2)求所摸出的两球号码之和为 5 的概率; (3)请你猜这两球的号码之和,猜中有奖.猜什么数获奖的可能性最大?说 明理由.
解:(1)数对(x,y)的所有情形为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1), (3,2),(3,3),共 9 种.
(2)记“所摸出的两球号码之和为 5”为事件 A,则事件 A 包含的基本情形有 (2,3),(3,2),共 2 种,所以 P(A)=29.
(3)记“所摸出的两球号码之和为 i”为事件 Ai(i=2,3,4,5,6), 由(1)可知事件 A2 的基本结果为 1 种,事件 A3 的基本结果为 2 种,事件 A4 的基本结果为 3 种,事件 A5 的基本结果为 2 种,事件 A6 的基本结果为 1 种,所 以 P(A2)=19,P(A3)=29,P(A4)=39,P(A5)=29,P(A6)=19. 故所摸出的两球号码之和为 4 的概率最大,即猜 4 获奖的可能性最大. 12.从某学校高三年级共 800 名男生中随 机抽取 50 人测量身高.据测量,被测学 生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间, 将测量结果按如下方式分成八组:第一组
[155,160);第二组[160,165);…;第八组 [190,195].如图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图的一部分.已知第一组与
第八组人数相同,第六组、第七组、第八
组人数依次构成等差数列.
(1)估计这所学校高三年级全体男生 身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数;

(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身 高分别为 x、y,求满足“|x-y|≤5”的事件的概率. 解 : (1) 由 频 率 分 布 直 方 图 得 前 五 组 频 率 为 (0.008 + 0.016 + 0.04 + 0.04 + 0.06)×5=0.82,后三组频率为 1-0.82=0.18,人数为 0.18×50=9, 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144. (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×50=2,设第 六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m= 7-m,又 m+2=2(7-m),解得 m=4,所 以第六组人数为 4,第七组人数为 3,频率 分别等于 0.08,0.06. 频率 组距分别等于 0.016,0.012.其完整的频

率分布直方图如图.

(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4,设为 a、b、c、d,身高在[190,195]内的 人数为 2,设为 A、B,若 x,y∈[180,185)时,有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种情况;

若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况; 若 x,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有 aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、 dB,共 8 种情况. 所以基本事件总数为 6+1+8=15, 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+1=7,∴P(|x-y|≤5)=175.
第三节 几何概型

A组 1.在长为 1 的线段上任取两点,则这两点之间的距 离小于12的概率为________. 解析:利用几何概型知识,结合线性规划可求出答

案,如图.

|x-y|<12?-12<x-y<12,x∈(0,1),y∈(0,1),设阴影 部分的区域面积为 d,可知 d=34,整个正方形的面 积为 D,可知 D=1,则所求概率 P=Dd =34.答案:34 2.在等腰直角三角形 ABC 中,若 M 是斜边 AB 上的点,则 AM 小于 AC 的概率 为________.

解析:可用相应线段长度之比来度量,易知 P=

a= 2a

22.答案:

2 2

3.(2009 年高考山东卷)在区间[-π2,π2]上随机取一个数 x,则 cosx 的值介于 0

到12之间的概率为________.

解析:当-π2≤x≤π2时,由 0≤cos x≤12,得-2π≤x≤-π3或π3≤x≤π2,

根据几何概型概率公式得所求概率为13.答案:13

4.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离

为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意投掷在这

个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概

率是________.

解析:如图所示,当硬币中心落在阴影区域

时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为13.答案:13

5.(原创题)向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则

△PBC 的面积小于S2的概率为________.



析:∵S△PBC<

1 2

S△ABC



∴h′<

h 2

(





h′为

△PBC 中 BC 边上的高,h 为△ABC 中 BC 边上的高),

设 DE 为△ABC 的中位线,则点 P 应在梯形 BCED

内(如图阴影部分),∴P=S梯S△形ABBCCED=34. 答案:34

B组 1.(2009 年高考福建卷)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上
随机取一点 B,则劣弧 的长度小于 1 的概率为________.
解析:设事件 M 为“劣弧 的长度小于 1”,则满足事件 M 的点 B 可以
在定点 A 的两侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随机取一点,由几何概型的
概率公式得:P(M)=23.答案:23
2.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的 矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 粒黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 600 粒,则可 以估计出阴影部分的面积约为________.
解析:设所求的面积为 S,由题意得1600000=5×S12, ∴S=36.答案:36 3.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离 小于等于 a 的概率为________.
解析:P=18×a433πa3=π6.答案:π6 4.(2010 年扬州调研)已知集合 A{x|-1<x<5},B={x|x3--2x>0},在集合 A 中任取 一个元素 x ,则事件“x∈A∩B”的概率是________.
解析:由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由几何概型知:在集合 A 中任取一个元素 x,则 x∈A∩B 的概率为 P=16.答案:16 5.某公共汽车站每隔 10 分钟就有一趟车经过,小王随机赶到车站,则小王等车 时间不超过 4 分钟的概率是________.
答案:25 6.如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上 等可能地任取一点 N,连结 MN,则弦 MN 的长度超过 2 R 的概率是________.

解析:连结圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使∠MON=90°, 这样的点有两个,分别记为 N1,N2,仅当点 N 在不包含点 M 的半圆弧上取值时,满足 MN> 2R,此时∠N1ON2=180°, 故所求的概率为138600°°=12.
答案:12 7.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},E={(x,y)|x-2y≥0,x≤4,y≥0}, 若向区域 Ω 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 E 的概率为________.
解析:如图,区域 Ω 表示的平面区域为△AOB 边 界及其内部的部分,区域 E 表示的平面区域为△COD 边界及其内部的部分,所以点 P 落入区域 E 的概率为 SS△△CAOODB =1212× ×26× ×46=29.答案:29 8.已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a、b 都是从区间[0,4]任取的一个数,则 f(1)> 0 成立的概率是________.
解析:f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1,如图:

9 A(1,0),B(4,0),C(4,3),S△ABC=92,P=S△SA矩BC=4×2 4= 392.答案:392 9.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)=12x3+ax-b 在区间[-1,1] 上有且仅有一个零点的概率为________. 解析:f′(x)=32x2+a,故 f(x)在 x∈[-1,1]上单调递增,又因为函数 f(x)=12x3 +ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点,即有 f(-1)·f(1)<0 成立,即(-12-a-b)(12

0≤a≤1
?? 0≤b≤1

? +

a



b)<0





(

1 2



a



b)(

1 2



a



b)>0









12+a-b>0



??12+a+b>0

0≤a≤1
?? 0≤b≤1 ?12+a-b<0, ??12+a+b<0

由线性规划知识在平面直角坐标系 aOb 中画出这两个不等

式组所表示的可行域,再由几何概型可以知道,函数 f(x)=12x3+ax-b 在[-1,1] 上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线 a=0,a=1,b=0,b=1 围成的正方形的面积,计算可得面积之比为78.答案:78
10.设不等式组?????00≤ ≤xy≤ ≤66 表示区域为 A,不等式组?????0x-≤yx≥≤06 表示的区域为 B.
(1)在区域 A 中任取一点(x,y),求点(x,y)∈B 的概率; (2)若 x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域 B 中的概率. 解:(1)设集合 A 中的点(x,y)∈B 为事件 M,区域 A 的面积为 S1=36,区域 B 的面积为 S2=18,∴P(M)=SS21=1386=12. (2)设点(x,y)在区域 B 为事件 N,甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x,y) 的个数为 36 个,其中在区域 B 中的点(x,y)有 21 个,故 P(N)=2316=172. 11.(2010 年江苏南通模拟)已知集合 A={x|-1≤x≤0},集合 B={x|ax+b·2x-1 <0,0≤a≤2,1≤b≤3}. (1)若 a,b∈N,求 A∩B≠?的概率;(2)若 a,b∈R,求 A∩B=?的概率. 解:(1)因为 a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3)共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b·2x-1,x∈[-1,0],则 f′(x)=a+bln2·2x. 因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0,即 f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+b2-1.要使 A∩B≠?,只需-a+b2-1<0, 即 2a-b+2>0.所以(a,b)只能取(0,1),(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)7 组.所以 A∩B≠?的 概率为79. (2)因为 a∈[0,2],b∈[1,3], 所以(a,b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图), 面积为 4. 由(1)可知,要使 A∩B=?, 只需 f(x)min=-a+b2-1≥0?2a-b+2≤0,所以满足 A∩B=?的(a,b)对应 的区域是如图阴影部分.

1

所以 S 阴影=12×1×12=14,所以 A∩B=?的概率为 P=44=116.

12.将长为 1 的棒任意地折成三段,求:三段的长度都不超过 a(13≤a≤1)的概率.

解:设第一段的长度为 x,第二段的长度为 y, 第三段的长度为 1-x-y, 则基本事件组所对应的几何区域可表示为 Ω={(x,y)|0<x<1,0<y<1,0<x

+y<1},此区域面积为12.

事件“三段的长度都不超过 a(13≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为 A=

{(x,y)|(x,y)∈Ω,x<a,y<a,1-x-y<a}.

即图中六边形区域,此区域面积:当13≤a≤12时,

为 (3a - 1)2/2 , 此 时 事 件 “ 三 段 的 长 度 都 不 超 过

1 a( 3

≤a≤1)”的概率为 P=(3a-1/21)2/2=(3a-1)2;

当12≤a≤1 时,为12-3(1-2 a)2.此时事件“三段的长

度都不超过 a(13≤a≤1)”的概率为 P=1-3(1-a)2.

第十二章 导数

1、函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的可导函数,则 f / (x0) ? 0 是函数在 x ? x0 时取得极 值的________条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 2、函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的可导函数,则 y ? f (x) 为 R 上的单调增函数是

f / (x) ? 0 的________条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

3、已知 f (x) ? 2x3 ? 6x2 ? m(m为常数),在[?2,2] 上有最大值为 3,那么此函数在 [-2,2]上的最小值为

A、-37

B、-29

C、-5

D、-11

4、若函数 f (x) ? x3 ? 3x ? a 当x ?[0,3]上时,m ? f (x) ? n恒成立,则n ? m的最小值为

A、2

B、4

C、18

D、20

5、方程 2x3 ? 6x2 ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

A、0

B、1

C、2

D、3

6、若函数 y ? ? 4 x3 ? bx有三个单调区间,则b的取值范围为
3

A、b ? 0

B、b ? 0

C、b ? 0

7、函数 f (x) ? 2x3 ? 3x2 ? a的极大值为6,则a 的值为

A、0

B、1

C、5

D、b ? 0
D、6

8、曲线 y ? 2x4上的点到直线y ? ?x ?1的距离的最小值为

A、 2

B、22

C、32

D、5162

9、已知曲线 y ? x6 上一点 P 处的切线与直线 y ? 1 x ? 3 垂直,则此切线方程为
6

A、 x ? 6y ? 5 ? 0 B、 6x ? y ? 5 ? 0 C、 x ? 6y ? 5 ? 0

D、 6x ? y ? 5 ? 0

10、设点 P 是 y ? x3 ?

3x ?

2 3

上的任一点,P

点处的切线倾斜角为α

,则角α

的取

值范围为

A、

[0,

? 2

)

?[

2? 3

,?

)

B、

[0,

? 2

)

?[

5? 6

,?

)

C、 [

2? 3

,?

)

D、

(?2

,

5? 6

)

11、 函数y ? f (x)导函数f / (x) 的图像如图(1)所示,则 y ? f (x) 的图像最有可能的 是

y 1 O
2x

y 12
O x

y O1 2 x

y O1 2 x

y O 12 x

图(1)

A

B

C

D

12、已知 f (x) ? x2 ? 2xf / (1),则f / (0) 等于

A、0

B、-4

C、-2

D、2

13、已知函数 y ? a ? xa?b的导数为y/ ? 6x2,则a ? ,b ?



14 、 若 函 数 f (x) ? x3 ? 3x在区间[ m2 ? 1, 2 ]上的最小值为m2 ? 2,则m 的 值





15、若直线 y ? x是曲线y ? x3 ? 3x2 ? ax 的切线,则 a ?



16 、 函 数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? 4在(3,??) 上 是 增 函 数 , 则 实 数 a
3





17







的取值范围 数

f

(x)

?

k2x4

?

2 3

x3

?

kx2

?

2x

?

1 2

在(1,2)上单调递减,在(2,??)上单调递增,则k

?



18、已知曲线 s : y ? x3 ? px2 ? qx的图像与x 轴相切于不同于原点的一点,又函数有

极小值为-4,求 p、q 的值。

19、设函数 y ? f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d的图像与y轴 交于点 P,若过 P 的切线方程为 24x ? y ?12 ? 0 ,且当 x=2 时,函数 f (x) 取极值-16,试求 f (x) 的解析式,并 求这个函数的单调递减区间。

20、已知函数

f (x)

?

?x3

? ax2 ?1(a ? R)

.(1)若函数

y

?

f

(x)

在区间

(0,

2 3

)

上递增,

在区间

[

2 3

,??)

上递减,求实数

a

的值;(2)当

x ?[0,1] 时,设函数

y

?

f (x) 图

像上任意一点处的切线的倾斜角为 ?

,若给定常数

a

?

(

2 3

,+

?)

,求?

的取

值范围。

第十三章 不等式

1 、 若 f (x) 为 R 上 的 减 函 数 , 且

f (0) ? 3, f (3) ? ?1,设P ? {x | f (x ? t) ?1| <2},Q ? {x | f (x)<?1},若x ? P是x ?Q 的 充 分

不必要条件,则实数 t 的取值范围为

()

A、t≤0 B、t≥0 C、t≤-3

D、t≥-3

2、已知 a>0,集合A ? {x || x ? 2 | <a}, B ? {x | ax>1},若A ? B ? ?,则实数a 的取值范围为

A、(2,?? )

B(0,1) C、(0,1)? (2,??)

D、(0,1)? (1,??)

3、已知奇函数 f (x)在(??,0)上单调递减,且f (2) ? 0,则不等式(x ?1) f (x ?1) ? 0的解集为

A、?x | ?3 ? x ? ?1? B、?x | ?1 ? x ? 1或1 ? x ? 3? C、?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? D、?x | ?3 ? x ? 1或x ? 2?

4、f (x) 是定义在(0,3)上的函数,f (x) 的图象如图所示,则不等式 f (x) cos x ? 0

的解集 是

y

A.(0,1) ? (2,3)B. (1, ? ) ? (? ,3)
22
C.(0,1) ? (? ,3) D.(0,1) ? (1,3)
2

1. .

O

23 x

.

5、函数 f (x) 在(-1,1)上有定义且 f (x) ? x3 ? x,当f (1? a) ? f (1? a2)>0时a 的取值

范围为

A、(-2,1)

B、(0, 2 )

C、(0,1)

6、已知函数 f (x) ?| log3 x | ,若 f (x) ? f (3.5) ,则 x 的取值范围为

A、 (0, 2 ) ? (1, 7)

7

2

B、 ( 7 ,??)
2

C、 (0, 2 ) ? ( 7 ,??)
72

D、(-2, 2 ) D、 ( 2 , 7 )
72

7、设奇函数 f (x) 在[-1,1]上是增函数,且 f (?1) ? ?1,若函数 f (x) ? t2 ? 2at ?1对

所有的 x ?[?1,1] 都成立,当 a ?[?1,1]时 t 的取值范围为

A、[-2,2]

B、

[?

1 2

,

1 2

]

C、 (??,?2]?]2,??) ?{0}

D、

(?? ,?

1 2

]

?

[

1 2

?

?)

? {0}

8、设点 (a,b)在区域???xx??0y, y??20内,则点(a ? b,a ? b) 所在的区域的面积为

A、1

B、2

C、4

D、8

y

9、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),

目标函数 z ? x ? ay 取得最优解有无数个,则 a 的一个可能值为

C(4, 2) B(5,

A、-3

B、3

D、-1

D、1

a(1,
O 1)

1) x

10、若关于 x 不等式 x | x ? a |? 2a2(a ? (??,0)) 的解集为



11









x







ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的解集为? ? x ? ?,其中? ? ? ? 0,则不等式cx2 ? bx ? a ? 0 的

解集为



12、若关于 x 不等式 | x ? 2 | ? | x ?1| <a的解集为?,则a 的取值范围是 (??,3] ,若

此不等式有解,则 a 的取值范围是 (3,??)

13 、 f (x)、g(x) 为 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 , 不 等 式

f (x) ? 0的解集为(m, n),g(x) ? 0的解集为( m , n ),其中0 ? m ? n ,则

22

2

不等式 f (x) ? g(x) ? 0 的解集为



14 、已 知 关于

x

的不等式

ax ? 5 x2 ? a2

<0的解集为M,3 ?

M且5

?

M

, 则实数a的

取值范围





15 、 不 等 式 x4 ? ax2 ?1 ? 0 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围





16 、 已 知

x,

y

?

R?且x

?

y

?

4,则

使

不 等 式1
x

?

4 y

?m

恒成立的实数

m

的取值范围





17、关于

x

的方程

x2

?

ax

?

2b

?

0

的两根分别在区间(0,1)与(1,2),则

b?2 a?1

的取值

范围为



18、设

x,

y

?

R?且x

?

y

?

1,则xy

?

1 xy

的最小值为



19、设

x,

y

?

R?且x2

?

1 4

y2

? 1,则x

1? y2

的最大值为



20、设

a

?

b

?

0,则a2

?

16 b(a?b)

的最小值为



21、解关于

x

的不等式

ax x ?1

?

1

22.若 a,b∈R,求证: a ? b ≤ a + b .
1? a ?b 1? a 1? b
证明 当|a+b|=0 时,不等式显然成立. 当|a

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