平面向量小结与复习1_图文


平面向量 小结与复习

向量定义:既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念:
(1)零向量: 长度为0的向量,记作0. (2)单位向量:长度为1个单位长度的向量.

(3)平行向量:也叫共线向量,方向相同或相反
的非零向量. (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

向 有向线段 量 几何表示 : ? ??? ? 的 字母表示 : a 、AB 等 表 坐标表示 : (x,y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =

B(x2,y2)

(x2 - x1 , y2 - y1)

向量的模(长度) 1. 设 a = ( x , y ), 则 a ?

x ?y
2

2

2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ,则

a ? AB ?

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

平面向量复习
1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC OA+OB= OC
A
B O A

C

平行四边形法则
B
C

重要结论:AB+BC+CA= 0

坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )

注 : AB ? a , AD ? b (1) a ?
? ? ?

?

?

?

?

b , 则四边形是什么图形?
?

( 2) a ? b ?

a ? b , 则四边形是什么图形?

?

?

平面向量复习
2.向量的减法运算 1)减法法则: OA-OB = BA 2)坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a - b= (x1 - x2 , y1 - y2)
3.加法减法运算率 1)交换律: 2)结合律:
O A B

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)

平面向量 复习
实数λ与向量 a 的积
定义:λa是一个

向量.

它的长度 |λa| = |λ| |a|; 它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向

与a方向相同;

(2) 当λ<0时,λa 的方向 与a方向相反.

其实质就是向量的伸长或缩短!
坐标运算: 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)

= (λ x , λ y)

数量积
1、数量积的定义: a ? b ?| a || b | cos?
其中: a ? 0, b ? 0

?是a和b的夹角,范围是0 ? ? ? ?
注意:两个向量的数量积是数量,而不是向量.

规定: 0 ? a ? 0
数量积的坐标公式: 其中:

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 )

2、数量积的几何意义:

B

b
?
O
| b | cos?

a ? b ? a ? b ? cos?
a
a ? b ? b ? a cos?
A

a ?b ? b ? a

数量积a ? b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量b cos?的乘积.

3、数量积的物理意义:F
?
F ? cos?

S

如果一个物体在力F的作用下产生位移s, 那么力F所做的功W 可用公式计算 :

W ? F ? S ?| F || S | cos?

4、数量积的主要性质及其坐标表示:

设a, b是两个非零向量

?1?a ? b ? a ? b ? 0

当a ? 0时, a ? b ? 0, 不能推出b ? 0

设非零向量a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?2?.当a与b同向时, a ? b ? a ? b ;当向量a与b反向时, a ? b ? ? a ? b
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a
用于计算向量的模 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为?x1 , y1 ?, ?x2 , y2 ?, 那么
2

内积为零是判定两向量垂直的充要条件

设a ? ?x, y ?, 则 a ? x 2 ? y 2
a?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2 .
a ?b .

这就是平面内两点间的距离公式

?3?. cos? ?

a?b 设a ? ? x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 则 cos? ?

用于计算向量的夹角

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

?4?. a ? b ? a ? b

5、数量积的运算律: ⑴交换律: a ? b ? b ? a ⑵对数乘的结合律: (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b) ⑶分配律: (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

注意: 数量积不满足结合律

即 : (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

重要定理、公式
?1.平行向量基本定理

如果a ? ? b则a // b; 反之,如果a // b, 且b ? 0, 则一定存在唯一一个实数?,使a ? ? b
应用1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC
?2.平面向量基本定理

A,B,C三点共线

?

如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那 么对该平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 λ1、λ2,使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

重要定理、公式
3.两个向量平行的充要条件

向量表示

当b ? 0,时 a // b ? a ? ? b
设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 )则

坐标表示

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
4.两个非零向量垂直的充要条件 规定:对任意 向量表示 a ? b ? a ? b ? 0 向量 a,都有
设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则

坐标表示 a ? b ? x x ? y y ? 0 1 2 1 2

0 // a, 0 ? a

常见问题
向量具有大小和方向两个要素。 ? 共线向量与平面向量的两条基本定理。 ? 向量的数量积是一个数。 ? 根据向量的数量积,计算向量的长度、平面 内两点间的距离、两个向量的夹角等。 ? 数量积不满足结合率。
?


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