《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1椭圆的几何性质(一)_图文


2.1.2(一)

2.1.2 椭圆的几何性质(一)
【学习要求】
本 专 题 栏 目 开 关

1.理解椭圆的简单几何性质. 2.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题. 【学法指导】 通过几何图形观察,代数方程验证的学习过程,体会数形结合 的数学思想.通过几何性质的代数研究,养成辩证统一的世界观.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(一)

1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置
本 专 题 栏 目 开 关

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准 方程 范围

y2 x2 x2 y2 + =1 (a>b>0) 2+ 2=1 (a>b>0) a2 b2 a b -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(一)

顶点 轴长
本 专 题 栏 目 开 关

A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

2b 2a 短轴长=____,长轴长=____
(± a2-b2,0) (0,± a2-b2)

焦点 焦距 对称性 离心率

2 a2-b2 |F1F2|=________
x 轴、y 轴 原点 对称轴:________ 对称中心:____

c (0,1) a e=____∈______

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2(一)

2. 离心率的作用
本 专 题 栏 目 开 关

接近1 当椭圆的离心率越________,则椭圆越扁;当椭圆离心率越 接近0 ________,则椭圆越接近于圆.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

探究点一 椭圆的简单几何性质 x2 y2 问题 1 如图,观察椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的 a b 形状,你能从图中看出它的范围吗?它具 有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?

答案 (1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;
(2)对称性:椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称; (3)特殊点:顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b).

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

问题 2

如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的

几何性质?
本 专 题 栏 目 开 关

y2 x2 答案 ①范围:由方程变形得 2=1- 2≥0, b a x2 ∴ 2≤1,即-a≤x≤a. a 同理得,-b≤y≤b.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

结论(ⅰ):椭圆位于直线 x=± 和 y=± 所围成的矩形框里. a b ②对称性:
本 专 题 栏 目 开 关

1° .把椭圆标准方程中的 x 换成-x,方程并未发生改变,说 明当点 P(x,y)在椭圆上时,它关于 y 轴的对称点 P1(-x,y) 也在椭圆上,所以椭圆关于 y 轴对称. 2° 同理把椭圆标准方程中的 y 换成-y,可以说明椭圆关于 x 轴对称;把椭圆标准方程中的 x 换成-x,y 换成-y,可以 说明椭圆关于原点对称.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

结论(ⅱ):椭圆关于 x 轴、y 轴对称,同时关于原点对称. x2 y2 ③顶点:在方程 2+ 2=1 里,令 x=0,得 y=± b,令 y=0, a b 得 x=± a. 结论(ⅲ):椭圆与对称轴有四个交点(± a,0),(0,± b).这四个 交点叫做椭圆的顶点.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

问题 3 观察不同的椭圆,椭圆的扁平程度不一样,怎样刻 画椭圆的扁平程度呢?
x2 y2 答案 在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中, 若保持 a b
本 专 题 栏 目 开 关

a 不变,改变 c,可以发现 c 越接近于 a, 椭圆越扁平,可以用 a,c 两个量来刻画椭 圆的扁平程度.

动画演示
c 结论:我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心 a c 率,用 e 表示,即 e= . a e 越接近于 1,椭圆越扁;e 越接近于 0,椭圆越接近于圆.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

b c 问题 4 (1) 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?为什么? a b c (2)你能运用三角函数的知识解释,为什么 e= 越大,椭圆 a c 越扁?e= 越小,椭圆越圆吗? a a2-c2 b 2 答案 (1)都能.由 = 2 = 1-e (0<e<1)可知,当 e a a b 越趋近于 1 时, 越趋近于 0,椭圆越扁;当 e 越趋近于 0 时, a b 越趋近于 1,椭圆越接近于圆.当且仅当 a=b 时,c=0, a 两焦点重合,图形变为圆,方程为 x2+y2=a2.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

(2)如图,在 Rt△BF2O 中, c c cos∠BF2O= , 越大,∠BF2O 越小,椭 a a c 圆越扁; 越小,∠BF2O 越大,椭圆越圆. a

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

问题 5 比较下列各组中椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更 扁?为什么? x2 y2 (1)4x2+9y2=36 与 + =1; 25 20 x2 y2 (2)9x2+4y2=36 与 + =1. 12 16 x2 y2 答案 (1)将椭圆方程 4x2+9y2=36 化为标准方程 + = 9 4

本 专 题 栏 目 开 关

1,则 a2=9,b2=4,所以 a=3,c= a2-b2= 5,故离 5 x2 y2 心率 e= ;椭圆 + =1 中,a2=25,b2=20,则 a= 3 25 20 5 2 2 5,c= a -b = 5,故离心率 e= . 5 由于前一个椭圆的离心率较大,因此前一个椭圆更扁,后 一个椭圆更圆.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

y2 x2 (2)将椭圆 9x2+4y2=36 化为标准方程 + =1,则 a2=9, 9 4 5 2 2 2 b =4,所以 a=3,c= a -b = 5,则离心率 e= ; 3 x2 y2 椭圆 + =1 中,a2=16,b2=12,则 a=4,c= a2-b2= 12 16 1 2,故离心率 e= . 2 由于前一个椭圆的离心率较大,因此前一个椭圆更扁,后一 个椭圆更圆.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

例 1 求椭圆 m2x2+4m2y2=1 (m>0)的长轴长、短轴长、 焦点坐标、顶点坐标和离心率. 解 椭圆的方程 m2x2+4m2y2=1 (m>0)可转化为 x2 y2 1 + 1 =1. m2 4m2 1 1 2 2 ∵m <4m ,∴ 2> 2,∴椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半 m 4m 1 1 3 轴长 a= ,短半轴长 b= ,半焦距长 c= . m 2m 2m

本 专 题 栏 目 开 关

研一研·问题探究、课堂更高效 2 1 ∴椭圆的长轴长 2a= ,短轴长 2b= , m m ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 焦点坐标为?- ,0?,? ,0?, ? ? 2m ? ?2m ?
本 专 题 栏 目 开 关

2.1.2(一)

?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 顶点坐标为? ,0?,?- ,0?,?0,- ?,?0, ?. 2m? ? 2m? ?m ? ? m ? ?

3 c 2m 3 离心率 e= = = . a 1 2 m 小结 已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准

形式,不确定的要分类讨论,找准 a 与 b,才能正确地写出焦 点坐标、顶点坐标等.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

跟踪训练 1 已知椭圆方程为 4x2+9y2=36,求椭圆的长轴长、 短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

本 专 题 栏 目 开 关

x2 y2 把椭圆的方程化为标准方程 9 + 4 =1.

可知此椭圆的焦点在 x 轴上,且长半轴长 a=3, 短半轴长 b=2; 又得半焦距 c= a2-b2= 9-4= 5. 因此,椭圆的长轴长 2a=6,短轴长 2b=4;两个焦点的坐标分 别是(- 5,0),( 5,0);四个顶点的坐标分别是(-3,0),(3,0), c 5 (0,-2),(0,2);离心率 e= = 3 . a

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二

2.1.2(一)

由椭圆的几何性质求方程 6 例 2 椭圆过点(3,0),离心率 e= ,求椭圆的标准方程. 3 解
本 专 题 栏 目 开 关

∵所求椭圆的方程为标准方程,

又椭圆过点(3,0),∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,(3,0)为右顶点,则 a=3, c 6 6 6 ∵e= = 3 ,∴c= 3 a= 3 ×3= 6, a ∴b2=a2-c2=32-( 6)2=9-6=3, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 9 3

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

②当椭圆的焦点在 y 轴上时,(3,0)为右顶点,则 b=3, c 6 6 ∵e= = ,∴c= a, a 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴b =a -c =a - a = a , 3 3 y2 x2 ∴a2=3b2=27,∴椭圆的方程为 + =1. 27 9 x2 y2 y2 x2 综上可知,椭圆的标准方程是 9 + 3 =1 或27+ 9 =1. 小结 在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐

标轴,从而确定方程的形式;若不能确定焦点所在的坐标轴,则 应进行讨论,然后列方程确定 a,b.

研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

2.1.2(一)

2 (1)长轴在 x 轴上,长轴的长等于 12,离心率等于 ; 3 (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且椭圆过点(-2,-4). c 2 解 (1)由已知 2a=12,e= =3, a 得 a=6,c=4,从而 b2=a2-c2=20, 又长轴在 x 轴上, x2 y2 故所求椭圆的标准方程为36+20=1.

本 专 题 栏 目 开 关

研一研·问题探究、课堂更高效
(2)∵2a=2×2b,∴a=2b,

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

x2 y2 当焦点在 x 轴上时,设方程为 2+ 2=1, 4b b 4 16 ∵点(-2,-4)在椭圆上,∴ 2+ 2 =1,∴b2=17. 4b b x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1, 68 17 x2 y2 当焦点在 y 轴上时,设方程为 2+ 2=1, b 4b 4 16 ∵点(-2,-4)在椭圆上,∴ 2+ 2=1, b 4b x2 y2 ∴b2=8,∴椭圆的标准方程为 + =1. 8 32 x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 68 17 8 32

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 求椭圆的离心率

2.1.2(一)

例 3 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,A,B 是椭圆的顶点,P 是椭圆上一点, 且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率.
本 专 题 栏 目 开 关



x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b

如题图所示,则有 F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0), 直线 PF1 的方程为 x=-c, ? x2 y2 b2 b2? 代入方程 2+ 2=1,得 y=± ,∴P?-c, ?. a b a a? ?

研一研·问题探究、课堂更高效
又 PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB. |PF1| |AO| b2 b ∴ = ,∴ = ,∴b=2c. |F1F2| |OB| 2ac a c2 1 2 2 2 2 2 ∴b =4c ,∴a -c =4c ,∴ 2= . a 5 1 5 5 2 ∴e = ,即 e= ,所以椭圆的离心率为 . 5 5 5 小结 求椭圆离心率的方法: c (1)直接求出 a 和 c,再求 e= ,也可利用 e= a

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

b2 1- 2求解. a

(2)若 a 和 c 不能直接求出,则看是否可利用条件得到 a 和 c 的 c 齐次等式关系,然后整理成 的形式,并将其视为整体,就变成 a 了关于离心率 e 的方程,进而求解.

研一研·问题探究、课堂更高效
x2 y2 跟踪训练 3 如图,A、B、C 分别为椭圆 2+ 2=1 a b (a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90° ,则该椭 圆的离心率为 -1+ 5 A. 2 2+1 C. 2 ( A ) B. 5-1 D. 2+1

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

解析 ∵∠ABC=90° ,∴|BC|2+|AB|2=|AC|2,
∴c2+b2+a2+b2=(a+c)2,又 b2=a2-c2, 5-1 2 ∴e +e-1=0,又∵0<e<1,∴e= 2 .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(一)

1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( B )
本 专 题 栏 目 开 关

A.5、3、0.8 C.5、3、0.6

B.10、6、0.8

D.10、6、0.6 x2 y2 解析 把椭圆的方程写成标准方程为 + =1, 9 25

知 a=5,b=3,c=4. c ∴2a=10,2b=6, =0.8. a

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(一)

2.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 1 12,离心率为 ,则椭圆的方程是 ( D ) 3 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 144 128 36 20 本 x2 y2 x2 y2 专 C. + =1 D. + =1 32 36 36 32 题
栏 目 开 关

c 1 解析 由 2a=12, =3,解得 a=6,c=2, a ∴b2=62-22=32.

x2 y2 ∵焦点在 x 轴上,∴椭圆的方程为36+32=1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(一)

3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是 ( B ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 解析 由题意有 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b,

本 专 题 栏 目 开 关

又 c2=a2-b2,消去 b 整理得 5c2=3a2-2ac, 3 2 即 5e +2e-3=0,∴e=5或 e=-1(舍去).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(一)

4.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段
本 专 题 栏 目 开 关

→=2 F D,则 C 的离心率为 → BF 的延长线交 C 于点 D,且BF
________.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(一)

解析
本 专 题 栏 目 开 关

方法一

设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图,B(0,b),

→=(c,-b), F(c,0),D(xD,yD),则BF → =(xD-c,yD), FD →,∴?c=2?xD-c?, →=2FD ? ? ∵BF
?-b=2yD, ?

3c ? xD= , ? 2 ∴? ?yD=- b. 2 ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

又∵点 D 在椭圆 C 上, ?3c ? 2 ? b? 2 ? ? ?- ? 1 3 ?2? ? 2? 2 ∴ 2 + 2 =1,即 e = .∴e= . a b 3 3
答案 3 3

练一练·当堂检测、目标达成落实处
方法二

2.1.2(一)

设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如上图所示,B(0,b),
? ? ? ? ? ? ? ?

F(c,0),D(xD,yD),则?BF ?= b2+c2=a. ? ? OF ? ?BF? 2 → =2FD ,得 ???=??? ???= , → 作 DD1⊥y 轴于点 D1,则由BF DD1 ? ?BD? 3 ? ? ? 3? ? 3 3c ? ? ?DD ?= ?OF ?= c,即 x = ∴? 1 ? ? ? . D 2 2 2 ?a2 3c? 3c2 ? ? 由椭圆的第二定义得?FD ?=e? - ?=a- . ? ? 2? 2a ?c 3c2 c2 1 ? ? ? ? 又由?BF ?=2?FD?,得 a=2a- ,整理得 2= , ? ? ? ? a a 3 1 3 2 即 e = ,∴e= . 3 3

本 专 题 栏 目 开 关

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(一)

本 专 题 栏 目 开 关

1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式要先化成标 准形式,再确定焦点的位置,找准 a、b. 2.利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法. 3.求离心率 e 时,注意方程思想的运用.


相关文档

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】2.1.2椭圆的几何性质(二)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.2.2椭圆的几何性质(一)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1抛物线的几何性质(一)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.2.2椭圆的几何性质(二)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】抛物线的几何性质(二)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1椭圆及其标准方程(一)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】2.2.2双曲线的几何性质
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】3-1-3导数的几何意义
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章超几何分布
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-1【配套备课资源】2.2.2椭圆的几何性质(一)
电脑版