2018-2019学年高二数学北师大版选修2-2实用课件:第2章 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义_图文


阶 段 一 §2 导数的概念及其几何意义 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义 阶 段 三 阶 段 二 学 业 分 层 测 评 1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点) 3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 函数 f(x)在 x=x0 处的导数 阅读教材 P32“例 1”以上部分,完成下列问题. 函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率 称为函数 y=f(x)在 x0 点的导数,通常用符 f(x1)-f(x0) f(x0+Δ x)-f(x0) 号 f′(x0)表示,记作 f′(x0)= lim = lim . x - x Δ x △x→0 △x→0 1 0 f(1+Δ x)-f(1) 设函数 y=f(x)可导,则 lim 等于( Δx △x→0 A.f′(1) 1 C. f′(1) 3 B.3f′(1) D.以上都不对 ) 【解析】 由 f(x)在 x=1 处的导数的定义知,应选 A. 【答案】 A 教材整理 2 导数的几何意义 阅读教材 P34~P36,完成下列问题. 函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率 . 函数 y=f(x)在 x0 处 切线的斜率反映了导数的几何意义. 抛物线 y=x2+4 在点(-2,8)处的切线方程为________________. 【解析】 △x→0 (x+Δx)2+4-(x2+4) 因为 y′= lim Δx △x→0 = lim (2x+Δx)=2x, 所以 k=-4, 故所求切线方程为 4x+y=0. 【答案】 4x+y=0 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________ [小组合作型] 求函数在某点处的导数 f(x0+Δ x)-f(x0) (1)若 lim =k, Δx △x→0 f(x0+2· Δ x)-f(x0) 则 lim 等于( Δ x △x→0 A.2k 1 C. k 2 B.k D.以上都不是 ) (2)函数 y= x在 x=1 处的导数是________. (3)求函数 y=2x2+4x 在 x=3 处的导数. 【精彩点拨】 根据导数的概念求解. 【自主解答】 f(x0+2· Δx)-f(x0) (1) lim Δx △x→0 f(x0+2· Δx)-f(x0) = lim ·2 2· Δ x △x→0 f(x0+2· Δx)-f(x0) =2·lim =2k. 2· Δx △x→0 (2)∵Δy= 1+Δx-1, Δy 1+Δx-1 1 ∴ = = , Δx Δx 1+Δx+1 Δy 1 1 当Δx 趋于 0 时, = 趋于2, Δx 1+Δx+1 1 ∴函数 y= x在 x=1 处的导数为2. 1 【答案】 (1)A (2)2 (3)∵f(x)=2x2+4x, ∴Δy=f(3+Δx)-f(3) =2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx. Δy 2(Δx)2+16Δx ∴ = =2Δx+16. Δx Δx Δy 当Δx→0 时, →16,∴f′(3)=16. Δx 1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧, 主要目的是使整个式子的趋近值容易 1+Δx-1 求出.切忌算到 时,就下结论:当Δx 趋于 0 时,分子分母的值都趋 Δx 于 0,所以整个式子的值不确定. 2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤: Δy Δy (1)计算Δy;(2)计算 ;(3)计算 lim . Δx △x→0Δx [再练一题] 1.若 f(x)=x3,f′(x0)=3,则 x0 的值是( A.1 C.±1 B.-1 D.3 3 ) 【解析】 (Δx)3, 2 2 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-x3 0 = 3x 0 Δ x + 3x0( Δ x) + Δy 2 ∴ =3x2 + 3 x Δ x + ( Δ x ) , 0 0 Δx 2 2 ∴f′(x0)= lim [3x2 0+3x0Δx+(Δx) ]=3x0, △x→0 由 f′(x0)=3,得 3x2 1. 0=3,∴x0=± 【答案】 C 求曲线在某点处切线的方程 1 3 4 已知曲线 C:f(x)= x + . 3 3 (1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 【精彩点拨】 出切线方程. (2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解. (1)先求切点坐标,再求 f′(2),最后利用导数的几何意义写 【自主解答】 (1)将 x=2 代入曲线 C 的方程得 y=4,∴切点 P(2,4). Δy f′(2)= lim △x→0Δx 1 4 1 4 3 3 3(2+Δx) +3-3×2 -3 = lim Δx △x→0 1 = lim [4+2Δx+

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