吉林省长春市吉大附中2014届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题


吉林省长春市吉大附中 2014 届高三下学期第三次模拟考试 数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,将本试卷和答 题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)复数 z 满足 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5(i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 为 (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) 5 ? i (D) 5 ? i (2)设全集为R,集合 M ? {x ? R | f ( x) ? 0}, N ? {x ? R | g ( x) ? 0} ,则集合
{x ? R | f ( x) ? g ( x) ? 0} 等于

( RN) (A) (痧 RM )

(B) (?R M )

N

(C) M

(?R N )

( RN) (D) (痧 RM )

(3)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的标 准方程是

7 (A) ( x ? 3)2 ? ( y ? )2 ? 1 3
(C) ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 (4)曲线 y ?

(B) ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

3 (D) ( x ? )2 ? ( y ? 1)2 ? 1 2

x m) 处的切线方程为 y ? kx ? n ,则 m ? n 的值为 在点 ( ?1, x?2 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 ?3 x ? y ? 6 ≥ 0 ? (5)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ≤ 0 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为 ?y ? 3≤ 0 ?
(A ) ? 7 (B) ? 4 (C)1 (D)2 (6)下列说法中表述恰当的个数为

①相关指数 R 2 可以刻画回归模型的拟合效果, R 2 越接近于 1,说明模型的拟合效果越 好; ②在线性回归模型中, R 2 表示解释变量对预报变量的贡献率, R 2 越接近于 1,表示解 释变 量和预报变量的线性相关关系越强; ③若残差图中个别点的残差比较大, 则应确认在采集样本点的过程中是否有人为的错误 或模 型是否恰当. (A)0 (B)1 (C)2
? f (28 ) ?

(D)3

(7)已知 f (3x ) ? x ? log 2 3 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? (A)18 (B)36

(C)72

(D)144

(8)若 f ( x) ? a sin( x ? ) ? 3sin( x ? ) 是偶函数,则 a 的值为 4 4 (A) ?1 (B)1 (C) 3 (D) ?3
b ? 0 ,则下面不等式中不恒成立 (9)设 a ? 0 , 的是 ....

?

?

(A)

1 1 4 ? ≥ a b a?b

(B) a 2 ? b2 ? 1 ? a ? b (D)
2 ≥ ab 1 1 ? a b

(C) | a ? b | ≥ a ? b

1

3 2 1

(10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A)
9 3 4
2

2

2

9 3 (B) 2

(C)

3 3 2

正视图

侧视图

3

(D) 3 3

1 2

俯视图
| a |?| b |) 在同一直角坐标系中的图象可能是 (11)函数 y ? ax2 ? bx 与 y ? log b x(ab ? 0 ,
a

y

y

y

y

1

O 1

x

1 O

1

x

1 O

1

x

1 O

1

x

(A) (12)方程

(B)

(C)

(D)

x| x| y| y| ? ? ?1的曲线为函数 y ? f ( x) 的图象,对于函数 y ? f ( x) ,下面结论 16 9

中正确 的个数是 ① f ( x) 在 R 上单调递减; ②函数 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点; ③函数 y ? f ( x) 的值域是 R ; ④若函数 g ( x) 与 f ( x) 的图象关于原点对称, 则 y ? g ( x) 的图象是方程 确定 的曲线. (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

y| y| x| x| ? ?1所 16 9

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题: ? ) , 若 a // b ,则 tan x 的值等 (13)已知向量 a ? (1, sin 2 x) , b ? (2 , sin 2 x) ,其中 x ? (0 , 于 .
开始 输入m, n(m>n) d=m-n d < n? 是 m=n, n=d d = 0? 是 输出m 结束 否

9 ,执行 (14)如图所示的程序框图,若输入 m, n 的值分别为 12 , 算法后输出的结果是 .

(15)在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1 , S 1 外接圆面积为 S2 ,则 1 ? . 推广到空间几何体中可以得到类 S2 4 似结论:若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1 ,外接球体积为 V 2 , V 则 1 ? . V2 (16) △ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a,b,c,且

m=d



B a2 ? b(b ? c) ,则 ? A 三、解答题. (17) (本小题满分 12 分)



q ? R) , n ? N* . 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? 2n ? q( p ,

(Ⅰ)求 q 的值;

(Ⅱ)若 a1 与 a 5 的等差中项为 18, bn 满足 an ? 2log2 bn ,求数列 {bn } 的前 n 项和.

(18) (本小题满分 12 分) 近年,我国许多地方出现雾霾天气,影响了人们的出行、工作与健康.其形成与 PM 2.5 有关. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物. PM 2.5 日均值越小,空气质量越好.为加强生态文明建设,我国国家环保部于 2012 年 2 月 29 日, 发布了《环境空气质量标准》见下表:
甲 4 3 2 6 9 2 3 4 5 6 7 乙 4 8 1 1 3 1

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在某月中分别随机抽取了甲、乙两市 6 天的 PM 2.5 日均值作为样本,样本数据茎叶图如上图所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)求甲、乙两市 PM 2.5 日均值的样本平均数,据此判断该月中哪个市的空气质量 较好; (Ⅱ)若从甲市这 6 天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气质量等级为 一级 的概率.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 A?B?C ? ? ABC ,延长 CB 到点 D ,使 BD ? BC ,点 E 为 A?D 的中点, ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 2 ,A?A ? 2 . C' A' (Ⅰ)证明: BE // 平面 A?ACC ? ; B' (Ⅱ)求三棱锥 A? ? EB ?C 的体积.

E A D
(20) (本小题满分 12 分) x2 y 2 0) ,离心率为 e . 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (3 , a b 3 (Ⅰ)若 e ? ,求椭圆的方程; 2
(k ? 0) 与椭圆相交于 A ,B 两点,若 AF2 ? BF2 ? 0 ,求 k 2 ? (Ⅱ)设直线 y ? kx

C B

81 a ? 18a2
4

的值.

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e x ? kx2 (k ? R) , g ( x) ? ?e x . (Ⅰ)当 x ? 0 时,设 h( x) ? ? g ( x) ? (a ? 1) x(a ? R) ,讨论函数 h( x ) 的单调性; 1 (Ⅱ)证明:当 k ? ( , 1] 时, f (k ) ≥ g (0) . 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答 时请写清楚题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的一条切线,切点为 B,ADE、CFD 都是圆 O 的割线,AC =AB,CE 交 圆 O 于点 G. (Ⅰ)证明: AC 2 ? AD ? AE ; (Ⅱ)证明:FG∥AC.

C G F O E B D A

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 b ) 在 y 轴 上 , 点 Q(a ,0) 在 x 轴 的 正 半 轴 上 , 且 满 足 已 知 点 H (? 6,0 ), 点 P( 0,
HP ? PQ ,点 M 在直线 PQ 上,且满足 PM =2 MQ . (Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹方程;

? ? x ? 3cos t , (Ⅱ)若点 M 在曲线 C: ? (t 为参数)上,求点 M 对应的参数 t (0<t<2π) ? ? y ? 2 sin t , 的值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 在 △ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a,b,c,证明下面问题.

1 1 1 ? ? ? abc≥2 3 ; a3 b3 c3 1 1 1 9 (Ⅱ) ? ? ≥ . A B C ?
(Ⅰ)

2013—2014 学年下学期高三年级 第三次模拟考试 文科数学(参考答案)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 9 D 10 A 11 A 12 C

二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 1 1 (13) 1 (14) 3 (15) (16) 2 27 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ )当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q , 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 = pn2 ? 2n ? q ? p(n ? 1)2 ? 2(n ? 1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 , 分
∴q ? 0 . {an } 是等差数列,∴ p ? 2 ? q ? 2 p ? p ? 2 , ∵

??2 ??4



a1 ? a5 ,∴ a3 ? 18 . 2 ∴6 p ? p ? 2 ? 18 , ∴p ? 4 , ∴an ? 8n ? 6 , 又 a3 ? 6 p ? p ? 2 ,
(Ⅱ )依题意 a3 ?

??8

分 又 an ? 2log2 bn ,得 bn ? 24n?3 ,
b1 ? 2 , ∴

bn ?1 24( n ?1) ?3 ? 4 n ?3 ? 24 ? 16 ,即 {bn } 是等比数列. bn 2

??10

分 ∴数列 {bn } 的前 n 项和 Tn =

2(1 ? 16n ) 2 ? (16n ? 1) . 1 ? 16 15

??

12 分 (18) (本小题满分 12 分) 解析(Ⅰ)甲市抽取的样本数据分别是 32,33,34,46,62,69; 乙市抽取的样本数据分别是 34,38,51,61,63,71.

x甲 ?


32 ? 33 ? 34 ? 46 ? 62 ? 69 34 ? 38 ? 51 ? 61 ? 63 ? 71 ? 46 , x乙 ? ? 53 . 6 6

??3

因为 x甲 ? x乙 ,所以甲市的空气质量较好.

??5

分 (Ⅱ)由茎叶图知,甲市 6 天中有 3 天空气质量等级为一级,有 3 天空气质量等级为二级,
a2 , a3 ,空气质量等级为二级的 3 天数据为 空气质量等级为一级的三天数据为 a1 , b1 , b2 , b3 ,

则 6 天中抽取两天的所有情况为:
a1a2 , a1a3 , a1b1 , a1b2 , a1b3 , a2a3 , a2b1 , a2b2 , a2b3 , a3b1 , a3b2 , a3b3 , b1b2 , b1b3 , b2b3 .

基本事件总数为 15. 分 记“恰有一天空气质量等级为一级”为事件 A,

??8

a1b2 , a1b3 , a2b1 , a2b2 , a2b3 , a3b1 , a3b2 , a3b3 , 则事件 A 包含的基本事件为: a1b1 ,

事件数 9. 分 所以 P(A) ?

??10

9 3 3 ? . 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为 . 5 15 5

??12

分 (19) (本小题满分 12 分) 解析(Ⅰ)因为 E、B 分别为 A′D、DC 的中点,所以 BE∥A′C 分 又 A′C ? 平面 A′ACC′,且 BE ? 平面 A′ACC′, 所以,BE∥平面 A′ACC′. 分 (Ⅱ)∵ AB ? BC ? 2 , ?ABC ? 90? , ∴AC ? A?A ? 2 , ? ? ? ? ? ? ? 90? ,∴ A?B ? ? B ?C ? , ABC ? A B C ? A B C ∵ 为直三棱柱,∴ 又 BB? ? 平面 A?B ?C ? ,∴ A?B? ? B?B A' ∴ A?B? ? 平面 BCC ?B? . B' 分
E A D B

??2

??6

C'

??8

C

1 1 ∴ VA?? EB?C ? VB?? A?EC ? VB?? A?DC ? VA?? B?DC . 2 2


??10

1 1 1 2 ? [ ? ( ? 2 2 ? 2) 2] ? . 2 3 2 3
分 (20) (本小题满分 12 分) ?c ? 3 ? 解析: (Ⅰ)由题意得 ? c 3 ,所以 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a 又由 a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 b 2 ? 3 . x2 y 2 所以椭圆的方程为 ? ? 1. 12 3 分 ? y ? kx ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? a2b2 ? 0 . ? 2 ? 2 ?1 b ?a B( x2 ,y2 ) ,由根与系数的关系可知, 设 A( x1 ,y1 ) ,
x1 ? x2 ? 0 ,且 x1 x2 ? ?

??12

??4

a 2 b2 . b2 ? a 2 k 2

??7

分 又 AF2 ? (3 ? x1 , ? y1 ) , BF2 ? (3 ? x2 , ? y2 ) . 所以 AF2 ? BF2 ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 9 ? 0 . 即 分 整理得 k 2 ? 11 分 ∴ k2 ? 12 分
? a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0. a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

??9

a4 ? 18a2 ? 81 81 . ? ?1 ? 4 4 2 ?a ? 18a a ? 18a2

??

81 ? ?1 . a4 ? 18a2

??

(21) (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) h?( x) ? e x ? (a ? 1) . 分 当 x ? 0 时, e x ? 1 ,故有: ? ?) , h?( x) ? 0 ; 当 a ? 1 ≤ 1 ,即 a ≤ 0 时, x ? (0 , ? ?) , 当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, x ? (0 , 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? ln( a ?1) ;令 h?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ln( a ?1) , 分
? ?) 上是增函数; 综上,当 a ≤ 0 时, h( x) 在 (0 , ln(a ? 1)) 上是减函数,在 (ln(a ? 1) , ? ?) 上是增函数. 当 a ? 0 时, h( x) 在 (0 ,

??2

??5

(Ⅱ)令 m(k ) ? f (k ) ? g (0) ? (k ?1)e k ? k 3 ?1 ,则 m?(k ) ? k (ek ? 3k ) , 1 令 ? (k ) ? ek ? 3k , k ?( , 1] ,则 ? ?( x) ? ek ? 3 ≤ e ? 3 ? 0 , 2 1 所以 ? (k ) 在 ( , 1] 上单调递减, 2 分

??8

1 3 1 而 ? ( ) ? e ? ? 0 , ? (1) ? e ? 3 ? 0 ,所以存在 x0 ? ( , 1) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 , 2 2 2 1 所以,当 k ? ( ,x0 ) , ? (k ) ? 0 ,故 m?(k ) ? 0 ;当 k ? ( x0 , 1) , ? (k ) ? 0 ,故 m?(k ) ? 0 , 2 1 1) 上单调递减. 所以, m(k ) 在 ( ,x0 ) 上单调递增,在 ( x0 , 2 1 1 7 1 又 m( ) ? ? e ? >0 ,m(1)=0,所以 m(k ) ≥ 0 在 ( , 1] 上恒成立. 2 2 8 2 1 所以,当 k∈ ( , ??12 1] 时, f ( x) ≥ f (0) 恒成立. 2
分 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)因为 AB 为 O 的切线, ADE 为 O 的割线, 所以 AB 2 ? AD ? AE ,又 AB ? AC ,所以 AC 2 ? AD ? AE . 分

C G F O E B D

??5

AC AE (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,又 ?DAC 为公共角, ? AD AC
所以 △CDA ∽△EAC ,所以 ?ACD ? ?AEC ???① 又四边形 DEGF 为 O 的内接四边形, 所以 ?CFG ? ?CED ???②

A

由①②知 ?CFG ? ?ACD , 所以 FG // AC . 分 ??10

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解析: (Ⅰ )设点 M 的坐标为 ( x ,y ) ,则 HP ? (6 , b) , PQ ? (a , ? b) ,

PM ? ( x , y ? b) , MQ ? (a ? x , ? y) ,
由 HP ? PQ ,得 6a ? b2 ? 0 .

3 ? ? x ? 2(a ? x) ?a ? x 由 PM =2 MQ ,得 ? ,即 ? 2 , ? y ? b ? ?2 y ? ? b ? 3y 2 2 由 6a ? b ? 0 得 y ? x ,故点 M 的轨迹 C 为 y 2 ? x ( x ? 0) .


??5

(Ⅱ)依题意 2sin 2 t ? 3cos t ,即 2cos2 t ? 3cos t ? 2 ? 0 ,∴ cos t ? 又 0<t<2π,∴ t ? 分 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 b, c 为正实数, 证明: (Ⅰ)因为 a ,

?
3



5? . 3

1 , 2
??10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 由均值不等式可得 3 ? 3 ? 3 ≥3 3 ? 3 ? 3 ,即 3 ? 3 ? 3 ≥ a b c a b c a b c abc 1 1 1 3 所以 3 ? 3 ? 3 ? abc≥ ? abc , a b c abc 3 3 1 1 1 ? abc≥2 ? abc ? 2 3 ,所以 3 ? 3 ? 3 ? abc≥2 3 . 而 abc abc a b c

3

??5


1 1 1 1 ? (Ⅱ) ? ? ≥3 A B C ABC
3

3
3

ABC



3 9 ? . A? B ?C ? 3

??10




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